TS Fonctions sinus et cosinus Modèles de rédaction

TS Fonctions sinus et cosinus Modèles de rédaction
Exercice 1 :équations et inéquations
1) Résoudre dans ;, l’équation sin2x1
2
2) Résoudre dans l’équation 2cos2x3cosx20
3) Résoudre dans 0 ; 2l’inéquation cos 2t
61 2
Solution
1) Dans ;:
sin2x1
22x 62kavec kou 2x5 62kavec k
x
12 kavec kou x5 12 kavec k
Dans ;,S11
12 ;7 12 ; 12 ;5 12
2) Dans :
2cos2x3cosx20Xcosxet 2X23X20
Xcosxet X2X1
20
cosx2ou cosx1
2Or l’équation cosx2n’a pas de solution réelle donc
cosx1
2
x2
32kavec kou x2 32kavec k.
S2
32kavec k  2 32kavec k
3) Dans 0 ; 2:
cos 2t
61 2 32k2t 6 32kavec k
22k2t 62kavec k
4kt 12 kavec k
Dans 0 ; 2,S0 ; 
12 3 4;13 12 7 4; 2
Exercice 2 :dérivées et primitives
1) Déterminer la fonction dérivées des fonctions suivantes sur l’intervalle Idonné.
a)fxcos 2x
4I
b)fxxsinx I 
c)fxsinx
cosxI
2; 2
d)fxcosx3I
2) Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle Idonné.
a)fxcos3xI
b)fxxsinx21I
c)fxsinx
cosxI0 ; 
2
Solution
1)
a)fest dérivable sur comme composée de fonctions dérivables. x,fx2sin 2x
4
b)fest dérivable sur comme produit de fonctions dérivables. x,fxsinxxcosx
c)fest dérivable sur 
2; 2comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule
1

pas.
x  
2; 2,fxcos2xsin2x
cos2x1 cos2x
d)fest dérivable sur comme composée de fonctions dérivables. x,fx3sinxcosx2
2)a)fest continue sur donc admet des primitives.
Une primitive de fest la fonction Fdéfinie sur par Fx1
3sin3x
b)fest continue sur donc admet des primitives.
Une primitive de fest la fonction Fdéfinie sur par Fx1
2cosx21
c)fest continue sur 0 ; 
2donc admet des primitives.
Une primitive de fest la fonction Fdéfinie sur 0 ; 
2par Fxln|cosx|lncosx
Exercice 3 :calcul de limite
Déterminer lim
x0cosx1
x
Solution
x,cosx1
xcosxcos0
x0
Or cos est dérivable sur donc en 0donc lim
x0cosx1
xlim
x0cosxcos0
x0cos0sin00
Exercice 4 :étude de fonction
On considère la fonction fdéfinie sur par fx2sinxsin2x
1) Montrer que fest périodique de période 2.
2) Etudier la parité de f.
3) Dresser le tableau des variations de fsur 0 ; 
Solution
1)x,x2
x,fx22sinx2sin2x2 2sinxsin2x42sinxsin2xfx.
Donc fest périodique de période 2.
2)x,x
x,fx2sinxsin2x2sinxsin2xfx.
Donc fest impaire .
3)fest dérivable sur 0 ; comme composée et somme de fonctions dérivables.
x0 ; ,fx2cosx2cos2x2cosx22cos2x14cos2x2cosx2.
On veut factoriser le trinôme 4X22X2. Son discriminant est   36. Ses racines sont X11et X21
2
Donc 4X22X24X1X1
2.Donc x0 ; ,fx4cosx1cosx1 2
x0 ; , 4cosx10donc fxest du signe de cosx1
2.
Or sur 0 ; , cosx1
20cosx1 20x 3
x0
3
signe de fx00
3 3
2
variations de f 
0 0
2