Homologie de l`espace des lacets d`un CW

Homologie de l’espace des lacets d’un
CW-complexe simplement connexe
Résumé
Soient X un CW-complexe simplement connexe, x0 un point de X. Soit
Ωx0 (X) l’espace des lacets de X de longueur variable basés en x0 . L’espace des chaı̂nes cubiques de Ωx0 (X), CU∗ (Ωx0 (X)), admet une structure
d’algèbre associative. La construction cobar décrite par Adams [4] permet de définir une algèbre associative différentielle F (C(X)). Le but est
de montrer l’existence d’un quasi-isomorphisme d’algèbres F (C(X)) →
CU∗ (Ωx0 (X)).
Sommaire
1 Homologie singulière
1.1 Homologie singulière cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Homologie singulière simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Application d’Alexander-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
2 CW-complexes
6
3 Cogèbres
7
4 Espace des lacets
4.1 Produit sur l’espace des lacets Ωx0 (X) . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Produit sur les chaı̂nes de Ωx0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
5 Suites spectrales
5.1 Couples exacts . . . . . . . . . . . . .
5.2 Suite spectrale associée à une filtration
5.3 Théorème de Moore . . . . . . . . . .
5.4 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
10
11
13
13
6 Construction cobar
15
6.1 L’algèbre différentielle F (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Le complexe de chaı̂nes C ⊗ F (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
7 Théorème
20
7.1 Construction de ϕ : C(X) ⊗ F (C(X)) → CU (L(X)) . . . . . . . 20
7.2 Enoncé et preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
1
Homologie singulière
Soit X un espace topologique.
1.1
Homologie singulière cubique
Définition 1.1.1. Un n-cube singulier de X est une application continue T :
I n → X, où I = [0, 1].
Un n-cube T : I n → X est dit dégénéré s’il existe un entier i, 1 ≤ i ≤ n, tel que
T (x1 , ..., xn ) ne dépend pas de xi .
Soit Qn (X) le groupe abélien libre engendré par tous les n-cubes de X, Dn (X)
le sous-groupe de Qn (X) engendré par les n-cubes dégénérés.
Les éléments de Cn (X) = Qn (X)/Dn (X) sont appelés les n-chaı̂nes cubiques
de X.
Soit T un n-cube, n > 0. Pour 1 ≤ i ≤ n, on définit les (n-1)-cubes
Ai T :
I n−1
→
X
(x1 , ..., xn−1 ) 7→ T (x1 , ..., xi−1 , 0, xi , ..., xn−1 )
Bi T :
I n−1
(x1 , ..., xn−1 )
→
X
7→ T (x1 , ..., xi−1 , 1, xi , ..., xn−1 )
Pn
Définition-proposition 1.1.2. Le bord d’un n-cube T est ∂n (T ) = i=1 (−1)i (Ai T −
Bi T ) L’opérateur de bord ∂n : Qn (X) → Qn−1 (X) est un morphisme qui vérifie :
∂n−1 ∂n = 0
∂n (Dn (X)) ⊂ Dn−1 (X)
Alors ∂n induit un morphisme ∂n : Cn (X) → Cn−1 (X) tel que ∂n−1 ∂n = 0.
On définit le groupe des n-cycles Zn (X) = Ker∂n ⊂ Cn (X), et Bn (X) =
Im∂n+1 ⊂ Zn (X).
Le n-ième groupe d’homologie singulière cubique de X est Hn (X) = Zn (X)/Bn (X).
1.2
Homologie singulière simpliciale
Définition 1.2.1. Le n-simplexe standard ∆n est l’enveloppe convexe de {e0 , ..., en }
dans Rn+1 , avec ek = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), le coefficient 1 étant à la (k + 1)-ième
place.
Un n-simplexe singulier est une application continue σ : ∆n → X.
Sn (X) est le groupe abélien libre engendré par tous les n-simplexes singuliers de
X, pour n ≥ 0, et S−1 (X) = {0}.
Les éléments de Sn (X) sont appelées les n-chaı̂nes singulières de X.
Pour tous n et i, on définit l’application ǫi : ∆n−1 → ∆n telle que :
(t0 , ..., ti−1 , 0, ti , ..., tn−1 )
si n ≥ 1
ǫi (t0 , ..., tn−1 ) =
(0, t0 , ..., tn−1 )
si n = 0
3
Définition 1.2.2. Le bord d’un n-simplexe est
Pn
i
n
i=0 (−1) σǫi ∈ Sn−1 (X)
∂n σ =
0
si n ≥ 1
si n = 0
Le morphisme ∂n : Sn (X) → Sn−1 (X) vérifie ∂n ∂n+1 = 0.
Soient Zn (X) = Ker∂n et Bn (X) = Im∂n+1 (X), ce sont des sous-groupes de
Sn (X), et Bn (X) ⊂ Zn (X).
Le n-ième groupe d’homologie singulière simpliciale de X est Hn (X) = Zn (X)/Bn (X)
Remarque: Eilenberg et MacLane [3] montrent que pour tout n, le n-ième
groupe d’homologie singulière cubique et le n-ième groupe d’homologie singulière
simpliciale de X sont isomorphes.
1.3
Application d’Alexander-Whitney
Soient (C∗′ , ∂ ′ ), (C∗′′ , ∂ ′′ ) des complexes de chaı̂nes.
Définition 1.3.1. Le produit tensoriel C∗ = C∗′ ⊗C∗′′ est le complexe de chaı̂nes
défini par :
M
Cn =
Cp′ ⊗ Cq′′
p+q=n
′
′
On note d la différentielle sur C , d′′ la différentielle sur C ′′ . La différentielle
sur Cn est définie par
dn (x ⊗ y) = d′p (x) ⊗ y + (−1)p x ⊗ d′′q (y) pour x ∈ Cp′ , y ∈ Cq′′
Définition 1.3.2. Pour 0 ≤ i ≤ n, on définit :
λni :
∆i
(t0 , .., ti )
→
∆n
7→ (t0 , ..., ti , 0, ..., 0)
µni :
∆i
(t0 , .., ti )
→
∆n
7→ (0, ..., 0, t0 , ..., ti )
Proposition 1.3.3.
µdm+k µm+k
= µdk
k
λdn+m λn+m
= λdn
n
µn+m+k
λm+k
= λn+m+k
µn+m
m
n+m
m
m+k
Théorème 1.3.4. (Théorème d’Alexander-Whitney)
Soient X et Y deux espaces topologiques. Soient ΠX : X × Y → X la projection
sur X et ΠY : X × Y → Y la projection sur Y.
On définit l’application AW : S∗ (X × Y ) → S∗ (X) ⊗ S∗ (Y ) par :
X
σ ′ λi ⊗ σ ′′ µj
AWn (σ) =
i+j=n
4
où σ : ∆n → X × Y est un n-simplexe, σ ′ = ΠX σ, et σ ′′ = ΠY σ.
L’application AW est une équivalence de complexes de chaı̂nes qui est naturelle en X et Y, c’est-à-dire que pour toutes applications continues f : X →
X ′ , g : Y → Y ′ , le diagramme suivant commute :
S(X × Y )
AW
/ S(X) ⊗ S(Y )
(f ×g)∗
f∗ ⊗g∗
S(X ′ × Y ′ )
AW
/ S(X ′ ) ⊗ S(Y ′ )
Proposition 1.3.5. Soient X, Y, Z des espaces topologiques.
L’application AW est coassociative, c’est-à-dire que le diagramme suivant est
commutatif :
S(X × Y × Z)
AW X×Y,Z /
S(X × Y ) ⊗ S(Z)
AW X,Y ⊗1
AW X,Y ×Z
1⊗AW Y,Z
/ S(X) ⊗ S(Y ) ⊗ S(Z)
S(X) ⊗ S(Y ⊗ Z)
Démonstration. Pour tout n-simplexe σ ∈ Sn (X × Y × Z), montrons que
(AW X,Y ⊗ 1)AW X×Y,Z σ = (1 ⊗ AW Y,Z )AW X,Y ×Z σ
(AW X,Y ⊗ 1)AW X×Y,Z σ = (AW X,Y ⊗ 1)(
X
ΠX×Y σλni ⊗ ΠZ σµnj )
i+j=n
=
X
(AW
X,Y
(ΠX×Y )σλni ) ⊗ ΠZ σµnj
i+j=n
=
X
(
X
ΠX σλni λip ⊗ ΠY σλni µiq ) ⊗ ΠZ σµnj
i+j=n p+q=i
n
X
X
ΠX σλnp ⊗ ΠY σλni µiq ) ⊗ ΠZ σµnn−i
(
=
i=0 p+q=i
=
n X
i
X
(ΠX σλnp ⊗ ΠY σλni µii−p ) ⊗ ΠZ σµnn−i
i=0 p=0
5
(1 ⊗ AW Y,Z )AW X,Y ×Z σ = (1 ⊗ AW Y,Z )(
X
ΠX σλni ⊗ ΠY ×Z σµnj )
i+j=n
=
X
X
Π
σλni
=
ΠX σλni ⊗ (
=
X
Π
σλni
X
p+q+i p+q
ΠY σµp+q
λp ⊗ ΠZ σµnq )
n−i
n X
X
⊗(
X
ΠY σλnp+i µp+i
⊗ ΠZ σµnq )
p
p+q=j
i+j=n
=
ΠY σµnj λjp ⊗ ΠZ σµnj µjq )
p+q=j
i+j=n
X
X
p+q=j
i+j=n
X
⊗(
(ΠX σλni ⊗ (ΠY σλnp+i µp+i
⊗ ΠZ σµnn−i−p )
p
i=0 p=0
=
n X
n
X
(ΠX σλni ⊗ (ΠY σλnr µrr−i ⊗ ΠZ σµnn−r )
i=0 r=i
=
n X
r
X
(ΠX σλni ⊗ (ΠY σλnr µrr−i ⊗ ΠZ σµnn−r )
r=0 i=0
Alors (AW X,Y ⊗ 1)AW X×Y,Z = (1 ⊗ AW Y,Z )AW X,Y ×Z , AW est coassociative.
2
CW-complexes
Soit X un espace topologique séparé.
On note E n = {x ∈ R; |x| ≤ 1} le disque unité fermé de dimension n
U n = {x ∈ R; |x| < 1} le disque unité ouvert de dimension n
S n = {x ∈ R; |x| = 1} la sphère de dimension n-1
On suppose que :
1. X’ est un sous-ensemble fermé de X tel que X \X ′ soit la réunion disjointes
d’ouverts (enλ )λ∈Λ .
2. Tout enλ est homéomorphe à U n . On dit que enλ est une cellule de dimension
n.
3. Toute n-cellule est attaché à X par une application fλ : E n → enλ telle que
la restriction de fλ à U n est un homéomorphisme entre U n et enλ
4. Un sous-ensemble A de X est fermé si et seulement si A ∩ X est fermé et
fλ−1 (A) est fermé pour tout λ ∈ Λ.
On dit alors que X s’obtient à partir de X ′ en lui attachant des n-cellules.
Définition 2.0.6. La donnée d’une structure de CW-complexe sur X est la
donnée d’une suite de sous-espaces fermés de X (X n )n≥0 telle que :
6
1. X 0 ⊂ X 1 ⊂ ...
2. X 0 est muni de la topologie discrète.
3. Pour n > 0, X n est obtenu en recollant des n-cellules à X n−1 de la
manière décrite précédemment.
S
4. X = n≥0 X n
5. Un sous-ensemble A de X est fermé si et seulement si A ∩ en est fermé
pour toute n-cellule.
3
Cogèbres
Définition 3.0.7. Une cogèbre C sur un corps K est un K-espace vectoriel
muni de deux applications K-linéaires, le coproduit ∆ : C → C ⊗ C et la counité ǫ : C → K qui vérifient :
(1 ⊗ ∆)∆ = (∆ ⊗ 1)∆ (Coassociativité)
(1 ⊗ ǫ)∆ = (ǫ ⊗ 1)∆
La coassociativité équivaut à dire que le diagramme suivant commute :
C
∆
/ C ⊗C
∆⊗1
∆
C ⊗C
1⊗∆
/ C ⊗C⊗C
(C, ∆, d) est une cogèbre différentielle si c’est une cogèbre, si d est une différentielle
sur C et si ∆ est un morphisme de complexes de chaı̂nes sur C : ∆d =
((d ⊗ 1) + (1 ⊗ d))∆.
Exemple: Soit X un espace topologique. L’espace des chaı̂nes singulières simpliciales C∗ (X) est une cogèbre coassociative.
Démonstration. La diagonale ∆ : X → X ×X induit ∆∗ : C∗ (X) → C∗ (X ×X).
Montrons que AW ∆∗ : C∗ (X) → C∗ (X) ⊗ C∗ (X) est un coproduit coassociatif
sur C∗ (X), c’est-à-dire que (1 ⊗ AW ∆∗ )AW ∆∗ = (AW ∆∗ ⊗ 1)AW ∆∗ .
D’après le théorème 1.3.4, l’application d’Alexander-Whitney est naturelle, donc
le diagramme suivant commute :
C∗ (X × X)
AW
/ C∗ (X) ⊗ C∗ (X)
(1×∆)∗
1⊗∆∗
C∗ (X × X × X)
AW
/ C∗ (X) ⊗ C∗ (X × X)
7
Alors on a :
(1 ⊗ AW ∆∗ )AW ∆∗ = (1 ⊗ AW )(1 ⊗ ∆∗ )AW ∆∗
= (1 ⊗ AW )AW (1 × ∆)∗ ∆∗ par commutativité
= (AW ⊗ 1)AW (∆ × 1)∗ ∆∗ par coassociativité de AW
= (AW ⊗ 1)(∆∗ ⊗ 1)AW ∆∗ car AW est naturelle
= (AW ∆∗ ⊗ 1)AW ∆∗
(C∗ (X), AW ∆∗ ) est une cogèbre coassociative.
Proposition 3.0.8. Le dual d’une cogèbre est une algèbre.
Démonstration. Soit (C, ∆) une cogèbre, le coproduit ∆ : C → C ⊗ C induit
∆∗ : (C ⊗ C)∗ → C ∗ .
On définit l’application Ψ : C ∗ ⊗ C ∗
f ⊗g
→ (C ⊗ C)∗
7→ Ψ(f ⊗ g)
telle que (Ψ(f ⊗ g))(x ⊗ y) = f (x)g(y).
Alors ∆∗ Ψ : C ∗ ⊗ C ∗ → C ∗ est un produit sur C ∗ , le dual de la cogèbre C est
une algèbre.
Remarque: Le dual d’une algèbre n’est pas une cogèbre en général.
En effet, si (A, µ) est une algèbre, µ : A ⊗ A → A induit µ∗ : A∗ → (A ⊗ A)∗ ,
mais il n’y a pas de flèche naturelle de (A ⊗ A)∗ vers A∗ ⊗ A∗ .
4
4.1
Espace des lacets
Produit sur l’espace des lacets Ωx0 (X)
Soit x0 un point de X.
Définition 4.1.1. Soit Ωx0 (X) = {γ : [0, s] → Xcontinue; s ≥ 0, γ(0) = γ(s) =
x0 } l’espace des lacets de X basés en x0 .
Il y a une fonction injective de Ωx0 (X) dans X I × R. La topologie sur X I est
la topologie compacte ouverte : elle est engendrée par les ensembles de la forme
V (K, O) = {f : I → X; f (K) ⊂ O}, où K est un compact de I et O un ouvert
de X. La topologie sur l’image de Ωx0 (X) est induite par le produit de la topologie sur X I et de la topologie usuelle sur R.
Le produit de deux lacets γ1 : [0, s1 ] → X et γ2 : [0, s2 ] → X est le lacet
Φ(γ1 , γ2 ) : [0, s1 + s2 ] → X, défini par :
γ1 (t)
si 0 ≤ t ≤ s1
Φ(γ1 , γ2 )(t) =
γ2 (t − s1 )
si s1 ≤ t ≤ s1 + s2
Proposition 4.1.2. Φ est un produit associatif sur Ωx0 (X).
8
Démonstration. Soient γ1 : [0, s1 ] → X, γ2 : [0, s2 ] → X, γ3 : [0, s3 ] → X des
lacets.
Φ(γ1 , γ2 )(t)
si 0 ≤ t ≤ s1 + s2
Φ(Φ(γ1 , γ2 ), γ3 )(t) =
γ3 (t)
si s1 + s2 ≤ t ≤ s1 + s2 + s3

si 0 ≤ t ≤ s1
 γ1 (t)
γ2 (t − s1 )
si s1 ≤ t ≤ s1 + s2
=

γ3 (t)
si s1 + s2 ≤ t ≤ s1 + s2 + s3
Φ(γ1 , Φ(γ2 , γ3 ))(t) =
γ1 (t)
Φ(γ2 , γ3 )(t − s1 )

 γ1 (t)
γ2 (t − s − 1)
=

γ3 (t − (s1 + s2 ))
si 0 ≤ t ≤ s1
si s1 ≤ t ≤ s1 + s2 + s3
si 0 ≤ t ≤ s1
si s1 ≤ t ≤ s1 + s2
si s1 + s2 ≤ t ≤ s1 + s2 + s3
Donc Φ : Ωx0 (X) × Ωx0 (X) → Ωx0 (X) vérifie Φ(Φ × 1) = Φ(1 × Φ), le produit
sur l’espace de lacets Ωx0 (X) est associatif.
Proposition 4.1.3. Φ : Ωx0 (X) × Ωx0 (X) → Ωx0 (X) est une application continue.
Démonstration. Soit K un compact de [0, +∞[, O un ouvert de X. Montrons
que Φ−1 (V (K, O)) est un ouvert de Ωx0 (X) × Ωx0 (X). Soient γ1 : [0, s1 ] →
X, γ2 : [0, s2 ] → X tels que K ⊂ [0, s1 + s2 ].
(γ1 , γ2 ) ∈ Φ−1 (V (K, O)) ⇔ (γ1 · γ2 )(K) ⊂ O
γ1 (K ∩ [0, s1 ]) ⊂ O
⇔
γ2 (K ∩ [0, s2 ]) ⊂ O
⇔ (γ1 , γ2 ) ∈ V (K ∩ [0, s1 ], O) × V (K ∩ [0, s2 ], O)
S
Donc Φ−1 (V (K, O)) = s1 ≥0,s2 ≥0,K⊂[0,s1 +s2 ] V (K∩[0, s1 ], O)×V (K∩[0, s2 ], O).
V (K∩[0, s1 ], O) et V (K∩[0, s2 ], O) sont des ouverts de Ωx0 (X) donc leur produit
est un ouvert de Ωx0 (X) × Ωx0 (X). Alors Φ−1 (V (K, O)) est un ouvert, donc Φ
est continue.
4.2
Produit sur les chaı̂nes de Ωx0 (X)
Définition 4.2.1. Le produit sur C∗ (Ωx0 (X)) est
µ : C∗ (Ωx0 (X)) × C∗ (Ωx0 (X)) → C∗ (Ωx0 (X))
tel que pour deux cubes de Ωx0 (X), x1 : I m → Ωx0 (X) et x2 : I n → Ωx0 (X),
µ(x1 , x2 ) : I m+n
(s, t)
→
Ωx0 (X)
7→ Φ(x1 (s), x2 (t))
9
Proposition 4.2.2. Le produit µ sur C∗ (Ωx0 (X)) est associatif.
Démonstration. x1 : I m → Ωx0 (X), x2 : I n → Ωx0 (X), x3 : I p → Ωx0 (X).
Pour tous s ∈ I m , t ∈ I n , u ∈ I p ,
µ(µ(x1 , x2 ), x3 )(s, t, u) = Φ(Φ(x1 (s), x2 (t)), x3 (u))
= Φ(x1 (s), Φ(x2 (t), x3 (u)))
= µ(x1 , µ(x2 , x3 ))(s, t, u)
Remarque: Soit LX = {γ : [0, s] → Xcontinue; s ≥ 0, γ(s) = x0 } l’espace des
chemins de X arrivant en x0 . Comme pour Ωx0 (X), on définit la topologie sur
LX et un produit associatif sur LX.
Ωx0 (X) agit à gauche sur LX. En effet, si γ ∈ LX, ω ∈ Ωx0 (X), alors γ·ω ∈ LX.
On en déduit que C∗ (LX) est un C∗ (Ωx0 (X))-module :
Le produit LX × Ωx0 (X) → LX induit C∗ (LX × Ωx0 (X)) → C∗ (LX). En
utilisant l’application d’Eilenberg-Zilber,
EZ
C∗ (LX) ⊗ C∗ (Ωx0 (X)) −→ C∗ (LX × Ωx0 (X)) −→ C∗ (LX)
on a le produit µ : C∗ (LX) ⊗ C∗ (Ωx0 (X)) → C∗ (LX)
5
5.1
Suites spectrales
Couples exacts
Définition 5.1.1. Un couple exact est une suite exacte de groupes abéliens
AO
k
B
i
/A
~
~
~
~~
~~ j
où i, j, k sont des morphismes de groupes. Soit d = jk : B → B. Comme on a
une suite exacte, Imj = Kerk, donc d2 = j(kj)k = 0. Alors Imd est un sousgroupe de Kerd, on peut définir le groupe d’homologie H(B) = Kerd/Imd.
Pour un couple exact donné, le couple dérivé est
AO ′
k′
B′
i′
/ A′
}
}
}}
}} ′
~} j
}
défini par :
10
1. A′ = i(A), B ′ = H(B)
2. i′ est induit par i : pour tout a′ = ia ∈ A′ , i′ (a′ ) = i(a′ )
3. Pour tout a′ = ia ∈ A′ , j ′ a′ = [ja] la classe d’homologie de ja dans H(B).
4. k ′ est induit par k : Pour [b] ∈ B ′ = H(B), b ∈ Kerd un représentant de
[b], k ′ ([b]) = k(b).
Remarque:
1. j ′ est définie car pour tout a′ = ia, a ∈ A, ja est un cycle et [ja] ne dépend
pas du choix de a :
d(ja) = jkj(a) = 0 car Imj = Kerk
Si a′ = ia, a ∈ A, alors a − a ∈ Keri = Imk, a − a = k(b), b ∈ B, donc
j(a − a) = jk(b) = db, [ja] = [ja].
2. k ′ est bien définie de B ′ dans A′ :
Pour b ∈ Kerd, 0 = db = jk(b), kb ∈ Kerj = Imi, il existe a ∈ A tel que
k ′ ([b]) = kb = ia ∈ A′
Lemme 5.1.2. Le couple dérivé est un couple exact.
Démonstration. Vérifions par exemple que Imi′ = Kerj ′ .
Imi′ ⊂ Kerj ′ : Pour tout a′ = ia ∈ A′ , j ′ (i′ a′ ) = j ′ (i(ia)) = [j(ia)] = [0] car
Imi = Kerj.
Kerj ′ ⊂ Imi′ : Pour a′ = ia ∈ Kerj ′ , 0 = j ′ a′ = [ja] donc ja = db = jk(b), b ∈
B. Alors a−kb ∈ Kerj = Imi, a−kb = ia, a ∈ A. Donc a′ = ia = i(ia+i(kb) =
i′ (ia) ∈ Imi′ .
5.2
Suite spectrale associée à une filtration
Définition 5.2.1. Soit K un complexe différentiel de différentielle D : K est
un groupe abélien et D : K → K un morphisme de groupes tel que D2 = 0. Un
sous-complexe K ′ de K est un sous-groupe tel que DK ′ ⊂ K ′ .
Une filtration (croissante) sur K est une suite de sous-complexes 0 = K0 ⊂
K1 ⊂ K2 ⊂ .... Pour p < 0, on pose Kp = {0}. Le complexe gradué associé à K
est
+∞
M
GK =
Kp+1 /Kp
p=0
Une filtration (Kp ) est de longueur l si Kl−1 6= Kl et Kp = Kl pour tout p ≥ l.
L+∞
L
Soit A = p∈Z Kp , B = p=0 Kp+1 /Kp . A et B sont des complexes différentiels,
la différentielle est induite par D. On définit i : A → A par l’inclusion Kp ֒→
Kp+1 , j : A → B est la projection de A sur B. Alors on a une suite exacte
courte :
j
i
0 −→ A −→ A −→ B −→ 0
11
Cette suite exacte induit un couple exact
i1
/ H(A)
v
vv
vv
k1
v
v
{vv j1
H(B)
H(A)
O
i1 : H(A) → H(A), j1 : H(A) → H(B) sont induits respectivement par i et j,
k1 : H(B) → H(A) est défini de la façon suivante :
Soit ẋ ∈ H(B), x ∈ KerD un cycle de B dont la classe d’homologie dans H(B)
est ẋ, x ∈ Kp /Kp+1 . Soit x ∈ Kp tel que jx = x. On a 0 = Dx = Djx = jDx,
donc Dx ∈ Kerj = Imi d’après la suite exacte courte. Il existe x′ ∈ A tel
que Dx = ix′ , et iDx′ = Dix′ = D2 x = 0, donc Dx′ = 0. On définit alors
k1 (ẋ) ∈ H(A) comme la classe d’homologie du cycle x′ dans H(A).
Le couple exact ainsi défini est noté
AO 1
k1
E1
i
/ A1
|
|
||
||
~|| j1
A partir de ce couple exact, on définit une suite de couples exacts, le couple
exact de rang r + 1 étant le couple dérivé du couple exact de rang r :
AO r
kr
Er
i
/ Ar
|
|
||
|| jr
|
~
|
Définition 5.2.2. Une suite de groupes différentiels (Er , dr ) telle que pour tout
r, Er+1 est le groupe d’homologie de Er est appelée une suite spectrale.
Si pour tout p, q, il existe r(p, q) ≥ 0 tel que Erp,q est stationnaire à parp,q
tir du rang r(p, q), alors on note la valeur stationnaire E∞
, et s’il existe
p,q ∼
un groupe gradué H muni d’une filtration (Fp ) tel que pour tout p, q, E∞
=
def
Fp Hp+q /Fp−1 Hp+q = E0p,q , on dit que la suite spectrale converge vers H.
Si (Kp ) est une filtration sur un complexe K, la suite de sous-complexes 0 =
... = 0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ ... induit une suite des groupes d’homologie
{0} → ... → {0} → H(K1 ) → H(K2 ) → ...
Soit Fp l’image de H(Kp ) dans H(K), on a une suite d’inclusions F0 ⊂ F1 ⊂
F2 ⊂ ... ⊂ H(K) qui définit une filtration sur H(K), appelée la filtration induite
sur H(K).
12
L
Soit K = n∈Z K n un complexe gradué muni d’une filtration (Kp ). La filtration
(Kp ) sur K induit une filtration (Kpn ) sur chaque K n , avec Kpn = K n ∩ Kp .
Bott et Tu [7] montrent le résultat suivant :
L
Théorème 5.2.3. Soit K = n∈Z K n un complexe gradué muni d’une filtration (croissante) (Kp ) et soit H(K) l’homologie de K munie de la filtration
induite. On suppose que pour tout n, la filtration (Kpn ) est de longueur finie.
Alors la suite exacte courte
M
M
M
0 −→
Kp −→
Kp+1 −→
Kp+1 /Kp −→ 0
induit une suite spectrale qui converge vers H∗ (K).
5.3
Théorème de Moore
Soient M et M ′ des Λ-modules gradués filtrés, g : M → M ′ un Λ-homomorphisme
compatible avec les graduations, les filtrations et les opérateurs différentiels.
Alors g induit, pour tout r, un homomorphisme gr : Er (M ) → Er (M ′ ) compatible avec les bigraduations et les opérateurs différentiels dr .
Soient U et U ′ deux Λ-modules gradués (avec Un = 0, Un′ = 0 pour n < 0),
h : U → U ′ un Λ-homomorphisme conservant les degrés. Soient N et N ′ deux
Λ-modules différentiels gradués tels que Np = 0, Np′ = 0 pour p < 0, et pour
tout p ≥ 0, Np et Np′ sont Λ-libres. Soit g : N → N ′ un Λ-homomorphisme
compatible avec les graduations et les opérateurs différentiels (notés d, d′ ) sur
N et N ′ .
On suppose qu’on a un diagramme commutatif
E 1 (M )
g1
ψ′
ψ
U ⊗N
/ E 1 (M )
h⊗g
/ U′ ⊗ N′
où ψ et ψ ′ sont compatibles avec les bigraduations, c’est-à-dire que ψ envoie
1
Ep,q
dans Uq ⊗ Np (de même pour ψ ′ ), et avec les opérateurs différentiels dans
U ⊗ N , où d(u ⊗ n) = (−1)q u ⊗ (dn) pour u ∈ Uq (de même pour ψ ′ ).
Cartan [9] montre le résultat suivant :
Théorème 5.3.1. Sous les hypothèses précédentes, si g∗ : H(M ) → H(M ′ ) est
un isomorphisme, si g ∗ : H(N ) → H(N ′ ) est un isomorphisme, et si Λ est un
facteur direct de H0 (N ), alors h : U → U ′ est un isomorphisme.
5.4
Fibrations
Définition 5.4.1. Une fibration p : E → B est une application continue qui
vérifie la propriété de relèvement des homotopies : pour toute application continue g : Y × {0} → E d’un espace topologique Y, et pour toute homotopie
G : Y × I → B telles que pour tout y ∈ Y , p ◦ g(y, 0) = G(y, 0), il existe
13
une homotopie G : Y × I → E telle que pour tout y ∈ Y , G(y, 0) = g(y, 0) et
p◦G=G :
g
/E
Y × {0}
w;
G w
w p
w
w G
/B
Y ×I
Si b ∈ B, p−1 (b) est appelé la fibre de p au-dessus de b.
Exemple: Soient X un espace topologique connexe par arcs et x0 un point base
de X.
Soit LX = {γ : [0, r] → X continue, r ≥ 0, γ(0) = x0 } l’espace des chemins
partant de x0 , muni de la topologie induite par le produit de la topologie compacte ouverte sur X I et de la topologie usuelle sur R.
L’application p : LX
γ
→ X
7→ γ(r)
est une fibration.
En effet, soient g : Y × {0} → LX continue et G : Y × I → X continue telles
que pour tout y ∈ Y , p ◦ g(y, 0) = G(y, 0).
Pour tout y ∈ Y, g(y, 0) : [0, r] → X et pour tout t ∈ I, on pose :
(
r2
si 0 ≤ s ≤ t+r
(g(y, 0))(s t+r
r )
(G(y, t))(s) =
2
r
G(y, s t+r
si t+r
≤s≤r
r − r)
G est bien continue car (g(y, 0))(r) = p ◦ g(y, 0) = G(y, 0). On a défini G :
Y × I → LX continue qui vérifie :
G(y, 0)(s) = (g(y, 0))(s)
p ◦ G(y, t) = (G(y, t))(r) = G(y, t)
p
Donc LX → X est une fibration. La fibre au-dessus de x0 est Ωx0 (X) l’espace
des lacets basés en x0 .
p
Soit F ֒→ E → B une fibration, où B est un CW-complexe, F est la fibre de p.
Soit Js = p−1 (Bs ), où Bs est le s-squelette de B. Comme Bs ⊂ Bs+1 , on a
Js ⊂ Js+1 , donc (Js ) est une filtration croissante sur E. On en déduit une
filtration (Fs ) de C∗ (E) le groupe abélien des chaı̂nes singulières de E. Fs est
défini par Fs C∗ (E) = Im(C∗ (Js ) ֒→ C∗ (E)). On peut alors construire une suite
spectrale qui vérifie le théorème suivant.
p
Théorème 5.4.2. Soit F ֒→ E → B une fibration, où B est connexe par
arcs, F est la fibre de p. Alors il existe une suite spectrale (Er , dr ) telle que
E2p,q = Hp (B; Hq (F )) l’homologie de B à coefficients dans l’homologie de F , et
la suite spectrale converge vers H∗ (E).
14
6
6.1
Construction cobar
L’algèbre différentielle F (C)
SoitΛ un anneau principal, (C, d) un complexe de chaı̂nes.
On suppose que :
1. (C, d) est un complexe de chaı̂nes libreL
sur Λ, c’est-à-dire que (Cn )n≥0
est une suite de Λ-modules libres, C = n≥0 Cn et ∀m, n ≥ 0, Cn Cm ⊂
Cm+n .
On suppose que C0 = Λ, C1 = 0.
Soit x ∈ C, l’entier n tel que x ∈ Cn est appelé le degré de x.
2. ∆ : C → C ⊗ C est un morphisme
P de complexes de chaı̂nes : on a une
suite de morphismes (∆n : Cn → p+q=n Cp ⊗ Cq )n≥0 telle que
∀n ≥ 0, ∆n−1 dn = d′n ∆n
où d′n est la différentielle sur (C ⊗ C)n : pour x ∈ Cp , y ∈ Cq (p + q = n),
d′n (x ⊗ y) = dp x ⊗ y + (−1)p x ⊗ dq y
On note ∆p,q : Cp+q → Cp ⊗ Cq la composante de ∆ sur Cp ⊗ Cq .
3. Pour x ∈ Cp , ∆p,0 x = x ⊗ 1, ∆0,p x = 1 ⊗ x.
4. ∆ est supposée coassociative : (∆ ⊗ 1)∆ = (1 ⊗ ∆)∆.
Alors (C, ∆, d) est une cogèbre différentielle.
On a une augmentation sur C, c’est-à-dire un morphisme surjectif α : C0 → Λ
tel que αd1 = 0, définie
L
L par α(1) = 1.
n
On pose C = C/Λ = n≥2 Cn et F (C) = Λ⊕ n≥1 C . Par définition, le degré
d’un élément de C p est p − 1.
L
Définition 6.1.1. Soit A = n≥0 An une algèbre graduée. Une dérivation sur
A de degré p est une application d : A → A telle que pour tout n ≥ 0, d(An ) ⊂
An+p , et pour tous x, y ∈ A, d(x ⊗ y) = dx ⊗ y + (−1)p|x| x ⊗ dy, où |x| est le
degré de l’élément x ∈ A.
Lemme 6.1.2. Si d est une dérivation, alors
d = 0 ⇔ pour tout générateur x de A, dx = 0
Lemme 6.1.3. Si d est une dérivation de degré 1 alors d2 est une dérivation
de degré 2.
Démonstration.
d2 (x ⊗ y) = d(dx ⊗ y + (−1)|x| x ⊗ dy)
= d2 x ⊗ y + (−1)|x|−1dx ⊗ dy + (−1)|x| dx ⊗ dy + (−1)|x| (−1)|x| x ⊗ d2 y
= d2 x ⊗ y + (−1)|x|(−1)|x| x ⊗ d2 y
= d2 x ⊗ y + x ⊗ d2 y
15
Proposition 6.1.4. F (C) est une algèbre associative différentielle.
r
s
Démonstration. Pour (x1 ⊗ ... ⊗ xr ) ∈ C , (y1 ⊗ ... ⊗ ys ) ∈ C ,
(x1 ⊗ ... ⊗ xr ) · (y1 ⊗ ... ⊗ ys ) = x1 ⊗ ... ⊗ xr ⊗ y1 ⊗ ... ⊗ ys
ce qui définit le produit sur F (C). Ce produit est évidemment associatif.
La différentielle interne est définie par dI (x) = −d(x), pour x ∈ C, et on étend
cette définition à F (C) pour que dI soit une dérivation sur F (C).
La différentielle externe sur F (C) est définie par
X
dE (x) =
(−1)p ∆p,n−p (x)
2≤p≤n−2
pour x ∈ Cn , et on étend cette définition sur F (C) pour que dE soit une
dérivation sur F (C).
La différentielle sur F (C) est dF = dI + dE .
dF est une dérivation sur F (C) : dF (x ⊗ y) = dF (x) ⊗ y + (−1)|x| x ⊗ dF (y).
Montrons que dF est une différentielle sur F (C), c’est-à-dire que (dF )2 = 0.
D’après le lemme 6.1.2, il suffit de le montrer pour les générateurs de F (C).
Soit c ∈ Cn :
(dF )2 (c) = d2I (c) + dI dE (c) + dE dI (c) + d2E (c)
d2I (c) = d2 (c) = 0
X
d2E (c) = dE ( (−1)p ∆p,n−p (c))
p
=
X
(−1)p [
p
X
(−1)k (∆k,p−k ⊗ 1)∆p,n−p (c)
k
p−1
+ (−1)
X
(−1)k (1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p (c)]
k
=
XX
p
−
XX
XX
p
−
(−1)
(∆k,p−k ⊗ 1)∆p,n−p (c)
k
p
=
p+k
(−1)k (1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p (c)
k
(−1)k (∆p,k ⊗ 1)∆p+k,n−p−k (c)
k
XX
p
(−1)k (1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p (c)
k
en faisant le changement d’indices k → p, p → p + k dans le premier terme
16
Par hypothèse, ∆ est coassociative :
XX
XX
(∆ ⊗ 1)∆ = (1 ⊗ ∆)∆ ⇔
(∆k,p−k ⊗ 1)∆p,n−p =
(1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p
p
p
k
k
Dans le terme de gauche, on fait le changement d’indices k → p, p → p + k :
XX
XX
(∆p,k ⊗ 1)∆p+k,n−p−k =
(1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p
p
p
k
k
Et pour p, k fixés,
∆p,k ⊗ 1)∆p+k,n−p−k ∈ Cp ⊗ Ck ⊗ Cn−p−k
(1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p ∈ Cp ⊗ Ck ⊗ Cn−p−k
Donc (∆p,k ⊗ 1)∆p+k,n−p−k = (1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p .
Alors d2E (c) =
XX
p
(−1)k [(∆p,k ⊗ 1)∆p+k,n−p−k (c) − (1 ⊗ ∆k,n−p−k )∆p,n−p (c)]
k
=0
dI dE (c) + dE dI (c) =
X
(−1)p [(−d ⊗ 1)∆p,n−p (c) + (−1)p−1 (1 ⊗ −d)∆p,n−p (c)]
p
−
X
(−1)p ∆p,n−1−p (dc)
p
=
X
(−1)p+1 (d ⊗ 1)∆p,n−p (c) +
p
X
(1 ⊗ d)∆p,n−p (c)
p
+
X
(−1)p+1 ∆p,n−1−p (dc)
p
=
X
(−1)p (d ⊗ 1)∆p+1,n−1−p (c) +
p
+
X
p
X
(−1)p+1 ∆p,n−1−p (dc)
p
17
(1 ⊗ d)∆p,n−p (c)
∆ est un morphisme de complexes de chaı̂nes :
X
X
d∆ = ∆d ⇔ d( (−1)p ∆p,n−p ) =
(−1)p ∆p,n−1−p (dc)
p
⇔
X
p
p
(−1) [(d ⊗ 1)∆p,n−p (c) + (−1)p (1 ⊗ d)∆p,n−p (c)]
p
=
X
(−1)p ∆p,n−1−p (dc)
p
⇔
X
p
(−1) (d ⊗ 1)∆p+1,n−1−p (c) +
p
X
(1 ⊗ d)∆p,n−p (c)
p
=
X
(−1)p ∆p,n−1−p (dc)
p
Pour p fixé,
(d ⊗ 1)∆p+1,n−1−p (c) ∈ Cp ⊗ Cn−1−p
(1 ⊗ d)∆p,n−p (c) ∈ Cp ⊗ Cn−1−p
∆p,n−1−p (dc) ∈ Cp ⊗ Cn−1−p
Donc (d ⊗ 1)∆p+1,n−1−p (c) + (−1)p (1 ⊗ d)∆p,n−p (c) = ∆p,n−1−p (dc).
Alors (dF )2 (c) = d2I (c) + dI dE (c) + dE dI (c) + d2E (c) = 0, dF est une différentielle
sur F (C).
6.2
Le complexe de chaı̂nes C ⊗ F (C)
On a une augmentation sur l’algèbre F (C), définie par α(1) = 1 et α(x) = 0
pour tout x ∈ Cn , n ≥ 2.
Pour x ∈ F (C), y ∈ C, en identifiant 1 ⊗ x à x, y ⊗ 1 à y, on peut dire que
F (C) et C sont inclus dans le produit tensoriel C ⊗ F (C). Pour (x ⊗ y, y ′ ) ∈
(C ⊗ F (C)) × F (C), on pose (x ⊗ y) · y ′ = x ⊗ yy ′ ∈ C ⊗ F (C). Alors C ⊗ F (C)
est un F (C)-module.
Soit π : C ⊗ F (C) →
C
x⊗y
7→ α(y)x
On note ari les générateurs de C r , bri les générateurs de Cr . Comme les éléments
de C r sont de degré r − 1, les ar−1
sont en bijection avec les bri .
i
Proposition 6.2.1. Le produit tensoriel C ⊗ F (C) est un complexe de chaı̂nes
acyclique, c’est-à-dire que pour tout n > 0, Hn (C ⊗ F (C)) = 0.
Démonstration. On définit s : C ⊗ F (C) → C ⊗ F (C) telle que :
(R1) s(1) = 0, sar−1
= bri , sbri = 0, pour r > 1.
i
(R2) s(x · y) = (sx) · y + (αx)sy, pour x ∈ C ⊗ F (C), y ∈ F (C).
18
On étend la diférentielle dF définie sur F (C) à d définie sur C ⊗ F (C) avec les
conditions :
(D1) dbri = (1 − sd)ar−1
i
(D2) d(x · y) = (dx) · y + (−1)p x · dy, pour x ∈ (C ⊗ F (C))p , y ∈ F (C)
Lemme 6.2.2. Pour tout x ∈ C ⊗ F (C), (ds + sd)x = (1 − α)x.
Démonstration. Si x = a est un générateur de F (C), avec sa = b, b un générateur
de C, alors (1 − α)a = a car αa = 0, et (ds + sd)a = db + sda = a d’après la
condition (D1).
Si x = b un générateur de C, avec sa = b, alors
(ds + sd)b = sdb d’après la condition (D1)
= s(1 − sd)a d’après la condition (R1)
= sa − s2 da
= b − s2 da
D’après la condition (R1), s2 da = 0, donc (ds + sd)b = b
Et (1 − α)b = b car b générateur de C donc αb = 0.
Le résultat est vérifié pour les générateurs de F (C) et de C.
Soient x ∈ (C ⊗ F (C))p et y ∈ F (C) qui vérifient le lemme.
(ds + sd)(x · y) = d((sx) · y + (αx)sy) + s((dx) · y + (−1)p x · dy)
= (dsx) · y + (−1)p+1 (sx) · (dy) + (αx)dsy + (sdx) · y
+ (αdx)sdy + (−1)p ((sx) · (dy) + (αx)sdy)
α est une augmentation donc αdx = 0. Alors :
(ds + sd)(x · y) = (dsx + sdx) · y + (αx)(dsy + (−1)p sdy)
= ((1 − α)x) · y + (αx)(dsy + (−1)p sdy)
Si p > 0, alors αx = 0, donc (ds + sd)(x · y) = x · y = (1 − α)(x · y)
Si p = 0, alors
(ds + sd)(x · y) = ((1 − α)x) · y + (αx)(dsy + sdy)
= x · y − (αx)y + (αx)((1 − α)y)
= x · y − (αx)(αy)
= (1 − α)(x ⊗ y)
Lemme 6.2.3. d est une différentielle sur C ⊗ F (C).
19
Démonstration. Montrons que d2 = 0. Par définition de d, c’est vrai sur F (C).
Soit b un générateur de C, avec sa = b, a étant un générateur de F (C).
d2 b = d((1 − sd)a) d’après la condition (D1)
= da − dsda
D’après le lemme 6.2.2, (ds + sd)da = (1 − α)da, donc dsda = da − αda car
d2 a = 0. Comme α est une augmentation, αda = 0, d’où dsda = 0. Alors
d2 b = 0.
Soit x ∈ (C ⊗ F (C))p , y ∈ F (C).
d2 (x · y) = d((dx) · y + (−1)p x · dy)
= d2 x · y + (−1)p−1 dx · dy + (−1)p dx · dy + x · d2 y
=0
Alors (C ⊗ F (C), d) est un complexe de chaı̂nes.
D’après le lemme 6.2.2, s est une homotopie de complexes de chaı̂nes entre
l’identité et α. Alors les morphismes induits sur les groupes d’homologie Hn (C ⊗
F (C)) sont égaux : pour tout n > 0, α∗ = 1∗ : Hn (C ⊗ F (C)) → Hn (C ⊗ F (C)).
Or α∗ = 0 et 1∗ est l’identité de Hn (C ⊗ F (C)), donc Hn (C ⊗ F (C)) = 0.
Remarque: F (C) est un sous-complexe de (C ⊗ F (C), d) car par définition
d|F (C) = dF (où dF est la différentielle sur F (C)).
Mais C n’est pas un sous-complexe de C ⊗ F (C).
7
7.1
Théorème
Construction de ϕ : C(X) ⊗ F (C(X)) → CU(L(X))
Soit X un CW-complexe simplement connexe, x0 un point de X. On note σ n le
n-simplexe standard. Soit σ n,1 le 1-squelette de σ n , CS 1 (X) le sous-complexe
de l’ensemble des chaı̂nes singulières simpliciales de X S∗ (X) engendré par les
applications f : (σ n , σ n,1 ) → (X, x0 ).
CSn1 (X)/CSn1 (x0 )
si n > 0
On pose Cn (X) =
Λ
si n = 0
C(X) est un complexe de chaı̂nes tel que C0 = Λ, C1 = 0. On note ∆ : C →
C ⊗ C la diagonale. Alors le complexe de chaı̂nes C(X) vérifie les axiomes de la
construction cobar, donc (F (C(X)), ∆, d) est une algèbre différentielle.
Le but de cette partie est de montrer l’existence d’un isomorphisme entre
H∗ (F (C(X))) et H∗ (Ωx0 (X)).
20
On note (ei )0≤i≤n les sommets du n-simplexe standard σ n ,
pour ǫ = 0, 1, λǫi :
di :
I n−1
→
In
(t1 , ..., tn−1 ) 7→ (t1 , ..., ti−1 , ǫ, ti , ..., tn−1 )
σ n−1
→
σn
(t0 , ..., tn−1 ) 7→ (t0 , ..., ti−1 , 0, ti , ..., tn−1 )
fi :
σi
(t0 , ..., ti )
σ n−i
(t0 , ..., tn−i )
li :
→
σn
7
→
(t0 , ..., ti , 0, ..., 0)
→
σn
7
→
(0, ..., 0, t0 , ..., tn−i )
Pour toute application f : σ n → X, on a ∆i,n−i f = f fi ⊗ f li .
Soit Li,j = {ω : [0, r] → σ n continue ; r ≥ 0, ω(0) = vi , ω(r) = vj }.
Les applications fi , li , di induisent :
L(fi ) : L0,i (σ i ) → L0,i (σ n )
ω
7→
fi ω
L(li ) : L0,n−i (σ n−i ) → Li,n (σ n )
ω
7→
li ω
L(di ) : L0,n−1 (σ n−1 ) → L0,n (σ n )
ω
7→
di ω
On a une application :
L0,i (σ n ) × Li,n (σ n ) → L0,n (σ n )
(w1 , w2 )
7→ w1 · w2
Lemme 7.1.1. Il existe des applications θn : I n−1 → L0,n (σ n ) qui vérifient :
1. θ1 (I 0 ) = ω ∈ L0,1 (σ 1 ), où ω : [0, 1] → σ 1 est donné par ω(x) = (1 − x, x)
2. θn λ0i = [L(fi )θi ] · [L(li )θn−i ]
3. θn λ1i = L(di )θn−1
Démonstration. On construit les applications θn par récurrence sur n.
Pour n = 1 : θ1 est défini par la condition 1.
Pour n = 2 :
Les conditions imposées définissent θ2 sur le bord de I, et θ2 (0), θ2 (1) sont des
chemins à valeurs dans le bord du 2-simplexe σ 2 .
f1 envoie σ 1 sur la face de σ 2 opposée à e2 , l1 envoie σ 1 sur la face de σ 2 opposée
21
à e0 et d1 envoie σ 1 sur la face de σ 2 opposée à e1 .
e2
d1
σ
f1
1
σ2
l1
e0
e1
Ainsi, θ(1) = θ2 λ11 = L(d1 )θ1 est un chemin à valeurs dans la face de σ 2 opposée
à e1 .
e2
1
L(d1 )θ1
e0
θ(0) = θ2 λ01 = [L(f1 )θ1 ] · [L(l1 )θ1 ] est un chemin à valeurs dans la réunion des
deux autres faces de σ 2 : L(f1 )θ1 est un chemin à valeurs dans la face opposée
à e2 et L(l1 )θ1 est un chemin à valeurs dans la face opposée à e0 .
e2
0
L(f1 )θ1
[L(f1 )θ1 ] · [L(l1 )θ1 ]
e0
e1
L(d1 )θ1
Donc sur le bord de I, θ2 (t) est un chemin à valeurs dans le bord de σ 2 .
On peut retrouver ce résultat en calculant explicitement θ2 sur le bord de I.
D’après la condition 2,
θ2 (0) = θ2 λ01
= [L(f1 )θ1 (I 0 )] · [L(l1 )θ1 (I 0 )]
= [f1 ◦ θ1 (I 0 )] · [l1 ◦ θ1 (I 0 )]
22
Donc, pour tout x ∈ [0, 2],
f1 ◦ θ1 (I 0 )(x)
θ2 (0)(x) =
l1 ◦ θ1 (I 0 )(x − 1)
f1 (1 − x, x)
=
l1 (2 − x, x − 1)
(1 − x, x, 0)
=
(0, 2 − x, x − 1)
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 ≤ x ≤ 2
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 ≤ x ≤ 2
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 ≤ x ≤ 2
θ2 (1) = θ2 θ11 = L(d1 )θ1
Pour tout x ∈ I, θ2 (1)(x) = d1 θ1 (I 0 )(x) = d1 (1 − x, x) = (1 − x, 0, x)
θ2 (0), θ2 (1) ∈ L0,2 (σ 2 ) qui est contractile donc connexe par arcs : il existe un
chemin entre θ2 (0) et θ2 (1) dans L0,2 (σ 2 ), c’est l’application θ2 : I → L0,2 (σ 2 ).
On suppose que pour tout k < n, on a construit θk qui satisfait les conditions
1, 2, 3. Construisons θn : I n−1 → L0,n (σ n ).
D’après les conditions 2 et 3, pour tout (t1 , ...tn−2 ) ∈ I n−2 , i ∈ {0, ..., n − 1},
on peut définir θn λ0i (t1 , ...tn−2 ) et θn λ1i (t1 , ...tn−2 ).
Vérifions que ces conditions définissent θn de façon cohérente sur le bord de
I n−1 : il faut montrer que les expressions données par θn λ0i et θn λ1i coı̈ncident
pour les sommets de I n−1 .
Soit (t1 , ..., tn−1 ) ∈ I n−1 .
Si on a ti = tj = 1 ∈ I, i < j, montrons que
θn λ1i (t1 , ..., ti−1 , tˆi , ti+1 , ..., tn−1 ) = θn λ1j (t1 , ..., tj−1 , tˆj , tj+1 , ..., tn−1 )
θn λ1i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 ) = di θn−1 (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 )
= di θn−1 λ1j−1 (t1 , ..., tˆi , ..., tˆj , ..., tn−1 )
= di dj−1 θn−2 (t1 , ..., tˆi , ..., tˆj , ..., tn−1 )
= dj di θn−2 (t1 , ..., tˆi , ..., tˆj , ..., tn−1 )
= dj θn−1 λ1i (t1 , ..., tˆi , ..., tˆj , ..., tn−1 )
= θn λ1j (t1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )
Si ti = 0, tj = 1, i < j,
montrons que θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 ) = θn λ1j (t1 , ..., tˆj , ..., tn−1 ) :
θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 ) = [L(fi )θi ] · [L(li )θn−i ](t1 , ..., tˆi , tn−1 )]
= [L(fi )θi (t1 , ..., ti−1 )] · [L(li )θn−i (ti+1 , ..., tn−1 )]
θi (t1 , ..., ti−1 ) est défini sur [0, r1 ], r1 ≥ 0, θn−i (ti+1 , ..., tn−1 ) est défini sur
[0, r2 ], r2 ≥ 0.
Alors, pour tout x ∈ [0, r1 + r2 ],
fi θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
si x ∈ [0, r1 ]
θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 )(x) =
li θn−i (ti+1 , ..., tn−1 )(x − r1 )
si x ∈ [r1 , r1 + r2 ]
23
fi θi (t1 , ..., ti−1 )(x) = (θi (t1 , ..., ti−1 )(x), 0, ..., 0)
= dj (θi (t1 , ..., ti−1 )(x), 0, ..., 0)
= dj fi θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
li θn−i (ti+1 , ..., tn−1 )(x − r1 ) = li θn−i λ1j−i (ti+1 , .., tj−1 , tˆj , tj+1 , ..., tn−1 )(x − r1 )
= li dj−i θn−i−1 (ti+1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x − r1 )
= dj li θn−i−1 (ti+1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x − r1 )
θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 )(x)
si x ∈ [0, r1 ]
si x ∈ [r1 , r1 + r2 ]
= dj ([L(fi )θi ] · [L(li )θn−i−1 ](t1 , ..., ti−1 , ti+1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x))
= dj θn−1 λ0i (t1 , ..., ti−1 , ti+1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x)
=
dj fi θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
dj li θn−i−1 (ti+1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x − r1 )
= dj θn−1 λ0i (t1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x)
= θn λ1j (t1 , ..., tˆj , ..., tn−1 )(x)
Si ti = tj = 0, i < j, montrons que θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 ) = θn λ0j (t1 , ..., tˆj , ..., tn−1 ).
fjn θj (t1 , ..., tj−1 )(x)
si x ∈ [0, s1 ]
0
ˆ
θn λj (t1 , ..., tj , ..., tn−1 )(x) =
ljn θn−j (tj+1 , ..., tn−1 )(x − s1 )
si x ∈ [s1 , s1 + s2 ]
n
si x ∈ [0, s1 ]
fj θj λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tj−1 )(x)
=
n
lj θn−j (tj+1 , ..., tn−1 )(x − s1 )
si x ∈ [s1 , s1 + s2 ]
n
fj ([L(fij )θi ] · [L(lij )θj−i ])(t1 , ..., tˆi , ..., tj−1 )(x)
=
ljn θn−j (tj+1 , ..., tn−1 )(x − s1 )

fjn fij θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
si x ∈ [0, r1 ]

j
n
=
si x ∈ [r1 , s1 ]
f l θ (t , ..., tj−1 )(x − r1 )
 jn i j−i i+1
lj θn−j (tj+1 , ..., tn−1 )(x − s1 )
si x ∈ [s1 , s1 + s2 ]

fin θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
si x ∈ [0, r1 ]

n−i
n
si x ∈ [r1 , s1 ]
ln−i fj−i θj−i (ti+1 , ..., tj−1 )(x − r1 )
=

ljn θn−j (tj+1 , ..., tn−1 )(x − s1 )
si x ∈ [s1 , s1 + s2 ]
θn λ0i (t1 , ..., tˆi , ..., tn−1 )(x) =
fi θi (t1 , ..., ti−1 )(x)
li θn−i (ti+1 , ..., tn−1 )(x − r1 )
si x ∈ [0, r1 ]
si x ∈ [r1 , r1 + r2 ]
Alors les conditions 2 et 3 définissent θn de façon cohérente sur bord de I n−1 .
Montrons que L0,n (σ n ) est contractile : Soit γ0 ∈ L0,n (σ n ).
Soit H : I × L0,n (σ n ) →
L0,n (σ n )
(s, γ)
7→ sγ + (1 − s)γ0
σ n est convexe donc H est bien définie, et H est une homotopie entre l’application constante
L0,n (σ n ) → L0,n (σ n )
γ
7→
γ0
24
et 1L0,n (σn ) l’identité de L0,n (σ n ).
Alors L0,n (σ n ) est contractile, donc l’application continue θn : I˙n−1 → L0,n (σ n )
peut être étendue en une application continue sur I n−1 . On définit ainsi θn :
I n−1 → L0,n (σ n ) continue qui vérifie les conditions imposées.
Lemme 7.1.2. Soit une application f : (σ n , σ n,1 ) → (X, x0 ), il existe une
homotopie χt (f ) : I n−1 → Ω(X) qui vérifie les conditions :
1. χ0 (f ) = L(qf )θn
2. χt (f )I n−1 ⊂ Ω(f (σ n )))
3. Si f (σ n ) = x0 , alors χ1 (f )(I n−1 ) = 1
4. χt (f )λ0i = χt (f fi ) · χt (f li )
5. χt (f )λ1i = χt (f di )
Démonstration. Soit π : σ n → σ n /σ n,1 la projection sur le quotient.
Par récurrence sur n ≥ 1, on va construire des applications Φn : I n−1 × I →
Ω(σ n /σ n,1 ) qui vérifient :
1. Φn (−, 0) = L(π)θn , où L(π)θn = π ◦ θn .
2. Φ1 (I 0 , 1) = (∗, 0)
3. Φn (−, t) ◦ λ0i = [Ω(fi )Φi (−, t)] · [Ω(ln−i Φn−i (−, t)]
4. Φn (−, t) ◦ λ1i = Ω(di )Φn−1 (−, t)
Les applications χt (f ) seront définies à partir des Φn .
Φ1 est donné, supposons les Φk construits jusqu’au rang n − 1. Les conditions
imposées définissent Φn sur le bord de I n−1 × I = ∂I n−1 × I ∪ I n−1 × ∂I : On
construit χt (f ) par récurrence sur n.
Pour n = 1, f : σ 1 → X est l’application constante égale à x0 .
Condition 1 ⇒ χ0 (f (I 0 )) est le chemin constant au point x0 .
Condition 3 ⇒ χ1 (f )(I 0 ) est le chemin constant au point x0 .
Condition 2 ⇒ pour tout t ∈ I, χt (f )(I 0 ) est un lacet basé en x0 .
Alors on pose, pour tout t ∈ I, χt (f )(I 0 ) est le chemin constant au point x0 .
Supposons que pour toute application f : (σ r , σ r,1 ) → (X, x0 ), r < n, on a
construit χt (f ) qui vérifie les conditions imposées. Soit f : (σ n , σ n,1 ) → (X, x0 ).
D’après la condition 1, on connaı̂t χ0 (f ). Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, f fi : σ i → X, f li :
σ n−i → X, alors l’hypothèse de récurrence et les conditions 4 et 5 donnent
χt (f )λ0i et χt (f )λ1i pour t ∈ I.
Il faut vérifier que les conditions 4 et 5 sont cohérentes : Soit (x1 , ..., xn−1 ) ∈
I n−1 , xi = 0, xj = 1, i < j, montrons que
χt (f )λ0i (x1 , ..., x̂i , ...xn−1 ) = χt (f )λ1j (x1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
Par la condition 4,
χt (f )λ0i (x1 , ..., x̂i , ...xn−1 ) = (χt (f fi )(x1 , ...xi−1 )) · (χt (f li )(xi+1 , ..., xn−1 ))
25
χt (f fi )(x1 , ...xi−1 ) = χt (f dj fi )(x1 , ...xi−1 )
χt (f li )(xi+1 , ..., xn−1 ) = χt (f li )λ1j−i (xi+1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
= χt (f li dj−i )(xi+1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
= χt (f dj li )(xi+1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
χt (f )λ0i (x1 , ..., x̂i , ...xn−1 ) = (χt (f dj fi ) · χt (f dj li ))(x1 , ..., x̂i , ..., xˆj , ..., xn−1 )
= χt (f dj )λ0i (x1 , ..., x̂i , ..., xˆj , ..., xn−1 )
= χt (f dj )(x1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
= χt (f )λ1j (x1 , ..., xˆj , ..., xn−1 )
Si f (σ n ) = x0 , alors d’après la condition 3, χ1 (f ) est le chemin constant au point
x0 . Les conditions 3 et 5 sont cohérentes : χ1 (f )λ1i = χ1 (f di ), où f di : σ n−1 → X
vérifie f di (σ n−1 ) = x0 , donc d’après l’hypothèse de récurrence, χ1 (f di )(I n−2 )
est le chemin constant au point x0 . Alors χ1 (f )λ1i (I n−2 ) est le chemin constant
au point x0 , ce qui est cohérent avec la condition 3. De même, les conditions 3
et 4 sont cohérentes.
On connaı̂t χt (f ) sur le bord de I n−1 , pour t ∈ I, et sur I n−1 pour t = 0 ou 1.
De plus, avec la condition 2, on sait que pour tout t ∈ I, χt (f ) est à valeurs
dans Ω(x0 ) qui est contractile donc on peut étendre χt (f ) à I n−1 pour tout t ∈ I.
Si f (σ n ) 6= x0 , alors (de la même façon que dans le cas f (σ n ) = x0 ) les conditions
imposées sur χt (f ) permettent de définir χ0 (f ) sur I n−1 et χt (f ) sur le bord
de I n−1 , pour t ∈ I. D’après la condition 2, pour tout t ∈ I, χt (f ) est à valeurs
dans Ω(f (σ n )) qui est contractile, donc comme précédemment, on peut étendre
χt (f ) : I˙n−1 → Ω(f (σ n )) à χt (f ) : I n−1 → Ω(f (σ n )) continue.
On note CU (Ω(X)) le groupe des chaı̂nes cubiques de Ω(X).
Soit ϕ :
(C(X))⊗r
→
(f1 ⊗ ... ⊗ fr ) 7→
CU (Ω(X))
χ1 (f1 ) · χ1 (f2 ) · ... · χ1 (fr )
Et soit ϕ : Λ → CU0 (Ω(X)) définie par ϕ(1) = 1.
On définit ainsi une application ϕ : F (C(X)) → CU (Ω(X)).
Lemme 7.1.3. ϕ : F (C(X)) → CU (Ω(X)) est un morphisme de complexes de
chaı̂nes.
26
Démonstration.
Pour f ∈ Cn (X), dϕ(f ) =
X
(−1)i [ϕ(f )λ0i − ϕ(f )λ1i ]
1≤i≤n
=
X
(−1)i [χ1 (f )λ0i − χ1 (f )λ1i ]
1≤i≤n−1
=
X
(−1)i [χ1 (f fi ) · χ1 (f li )] −
=
i
(−1) ϕ(f fi ⊗ f li ) −
1≤i≤n
= ϕ(
X
(−1)i χ1 (f di )
1≤i≤n
1≤i≤n
X
X
X
(−1)i ϕ(f di )
1≤i≤n
i
(−1) ∆i,n−i f − df )
1≤i≤n
dϕ(f ) = ϕdF (f ), où dF est la différentielle sur F(C(X))
Alors pour (f1 ⊗ ... ⊗ fr ) ∈ C(X))⊗r ,
dϕ(f1 ⊗ ... ⊗ fr ) = d(χ1 (f1 ) · χ1 (f2 ) · ... · χ1 (fr ))
= d(χ1 (f1 )) · ... · d(χ1 (fr ))
= dϕ(f1 ) · ... · dϕ(fr )
= ϕdF (f1 ) · ... · ϕdF (fr )
= ϕ(dF (f1 ) ⊗ ... ⊗ dF (fr ))
= ϕdF (f1 ⊗ ... ⊗ fr )
Donc ϕ est un morphisme de complexes de chaı̂nes.
Lemme 7.1.4. Soit L(X) = {ω : [0, r] → X continue ; r ≥ 0, ω(0) = x0 }.
On peut étendre ϕ : F (C(X)) → CU (Ω(X)) en une application continue ϕ :
C(X) ⊗ F (C(X)) → CU (L(X)) qui vérifie :
1. dϕ = ϕd
2. µ(ϕ ⊗ ϕ) = ϕµ
3. ϕ(1 ⊗ f ) ∈ CUn (L(f σ n )), pour toute f : (σ n , σ n,1 ) → (X, x0 )
4. Si f (σ n ) 6= x0 , alors p∗ ϕ(1 ⊗ f ) est de degré 1 dans Zn (f σ n , f σ̇ n ), où p∗
est induite par
p:
L(X)
→
X
ω : [0, r] → X 7→ ω(r)
Remarque: On a vu que C ⊗F (C) est un F (C)-module et que C∗ (L(X)) est un
C∗ (Ω(X))-module. ϕ : C(X) ⊗ F (C(X)) → CU (L(X)) conserve les structures
de modules car µ(ϕ ⊗ ϕ) = ϕµ.
27
7.2
Enoncé et preuve du théorème
Théorème 7.2.1. ϕ : F (C(X)) → CU (Ω(X)) induit un isomorphisme
ϕ∗ : H∗ (F (C(X))) → H∗ (Ω(X))
ϕ : C(X) ⊗ F (C(X)) → CU (L(X)) induit un isomorphisme
ϕ∗ : H∗ (C(X)) ⊗ F (C(X))) → H∗ (L(X))
Démonstration.
ϕ
F (C(X))
C(X) ⊗ F (C(X))
/ CU (Ω(X))
ϕ
/ CU (L(X))
p
/ CU (X)
C(X)
L(X) est contractile donc H∗ (L(X)) = 0, et d’après la prop 6.2.1, C ⊗ F (C) est
acyclique, donc ϕ∗ : H∗ (C(X) ⊗ F (C(X))) → H∗ (L(X)) est un isomorphisme.
On définit θ : C(X) → CU (X) par θπ = pθ, θ induit un isomorphisme θ :
H∗ (C(X)) → H∗ (X).
Pour montrer que ϕ∗ : H∗ (F (C(X))) → H∗ (Ω(X)) est un isomorphisme, on
introduit une filtration sur C ⊗ F (C) :
P
Lemme 7.2.2. La suite (Kp )p≥0 définie par Kp = q≤p Cq ⊗ F (C) est une
filtration sur C ⊗ F (C).
Démonstration. Montrons que pour tout p ≥ 0, d(Kp ) ⊂ Kp : soit y ∈ F (C), b ∈
Cq , q ≤ p.
d(b ⊗ y) = db ⊗ y + (−1)q b ⊗ dy
= a ⊗ y − (sda) ⊗ y + (−1)q b ⊗ dy d’après la condition (D1)
b ∈ Cq , dy ∈ F (C), donc b ⊗ dy ∈ Kp
D’après la condition (D1), db = (1 − sd)a, a ∈ (F (C))q−1 , donc a ⊗ y ∈ F (C) ⊂
Kp et da ∈ (F (C))q−2 ⇒ sda ∈ Cq−1 ⇒ sda ⊗ y ∈ Cq−1 ⊗ F (C) ⊂ Kp
Alors d(b ⊗ y) ∈ Kp , donc d(Kp ) ⊂ Kp .
Pour tout n, la filtration (Kp ) induit une filtration (Kpn ) sur (C ⊗ F (C))n :
Kpn = Kp ∩ (C ⊗ F (C))n
X
=(
Cq ⊗ F (C)) ∩ (C ⊗ F (C))n
q≤p
=(
X
Cq ⊗ F (C)) ∩ (C ⊗ F (C))n
q≤p et q≤n
28
P
En particulier, Knn = ( q≤n Cq ⊗ F (C)) ∩ (C ⊗ F (C))n , et pour tout k ≥ 0,
X
n
Kn+k
=(
q ≤ n + k et q ≤ nCq ⊗ F (C)) ∩ (C ⊗ F (C))n
X
=(
Cq ⊗ F (C)) ∩ (C ⊗ F (C))n
q≤n
= Knn
Ainsi, pour tout n, la filtration (Kpn ) sur (C ⊗F (C))n est de longueur finie (≤ n),
donc d’après le théorème 5.2.3, la suite spectrale converge vers H∗ (C(X) ⊗
F (C(X))).
Soit (Er , dr ) la suite spectrale associée à C(X)⊗F (C(X)), avec les dr de bidegré
(−r, r − 1).
On pose
ψ : Cp (X) ⊗ F (C(X))q → E0p,q
(x ⊗ y)
7→ [x ⊗ y]
p+q
où E0p,q = Kpp+q /Kp−1
.
Soit dF :
Cp (X) ⊗ F (C(X))q+1
x⊗y
→ Cp (X) ⊗ F (C(X))q
7→
(−1)p x ⊗ dy
ψ est un isomorphisme et ψdF (x⊗y) = d0 ψ(x⊗y). Alors ψ induit ψ∗ : Cp (X) →
Hq (F (C(X))) qui est un isomorphisme.
′
Ω(X) ֒→ L(X) → X est une fibration. On note Erp,q les termes de la suite
spectrale associée à CU∗ (LX).
′
′
Soit β : E0p,q → CUp (X)⊗CUq (Ω(X)). β induit des isomorphismes β∗ : E1p,q →
′
CUp (X) ⊗ Hq (Ω(X)), β∗∗ : E2p,q → Hp (CU (X); Hq (Ω(X)))
On considère le diagramme
Cp (X) ⊗ Hq (F (C(X)))
O
ϕ⊗ϕ∗
/ CUp (X) ⊗ Hq (Ω(X))
O
β∗
(ψ∗ )−1
E1p,q
φ1
′
/ E p,q
1
On va appliquer à ce diagramme le théorème 5.3.1.
On a déjà montré que ϕ∗ : H∗ (C(X) ⊗ F (C(X))) → H∗ (L(X)) et que ϕ∗ :
H∗ (C(X)) → H∗ (X) sont des isomorphismes.
Alors le diagramme vérifie les conditions du théorème 5.3.1, donc ϕ∗ : Hq (F (C)) →
Hq (Ω(X)) est un isomorphisme, d’où le théorème 7.2.1.
29
Références
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Mathematics, 127. Springer-Verlag, New York, 1991.
[2] Joseph J. Rotman, An introduction to algebraic topology, Graduate Texts in
Mathematics, 119. Springer-Verlag, New York, 1988.
[3] Samuel Eilenberg, Saunders MacLane, Acyclic Models, American Journal of
Mathematics, Vol. 75, No. 1 (Jan., 1953), pp. 189-199.
[4] J. F. Adams, On the cobar construction, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42
(1956), 409–412.
[5] Yves Felix, Stephen Halperin, Jean-Claude Thomas, Adams’ Cobar Equivalence, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 329, No. 2
(Feb., 1992), pp. 531-549.
[6] J. F. Adams, P. J. Hilton, On the chain algebra of a loop space, Comment.
Math. Helv. 30 (1956), 305–330.
[7] Raoul Bott, Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology, Graduate
Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
[8] John McCleary, User’s Guide to Spectral Sequences, Publish or Perish, Wilmington, DE, 1985.
[9] Séminaire H. Cartan, E.N.S. 1954-1955, Exposé 3.
30