Homologie de l`espace des lacets d`un CW

Homologie de l’espace des lacets d’un
CW-complexe simplement connexe
R´esum´e
Soient Xun CW-complexe simplement connexe, x0un point de X. Soit
Ωx0(X) l’espace des lacets de Xde longueur variable bas´es en x0. L’es-
pace des chaˆınes cubiques de Ωx0(X), CU∗(Ωx0(X)), admet une structure
d’alg`ebre associative. La construction cobar d´ecrite par Adams [4] per-
met de d´efinir une alg`ebre associative diff´erentielle F(C(X)). Le but est
de montrer l’existence d’un quasi-isomorphisme d’alg`ebres F(C(X)) →
CU∗(Ωx0(X)).
Sommaire
1 Homologie singuli`ere 3
1.1 Homologie singuli`ere cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Homologie singuli`ere simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Application d’Alexander-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 CW-complexes 6
3 Cog`ebres 7
4 Espace des lacets 8
4.1 Produit sur l’espace des lacets Ωx0(X) . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Produit sur les chaˆınes de Ωx0(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Suites spectrales 10
5.1 Couples exacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Suite spectrale associ´ee `a une filtration . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3 Th´eor`eme de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Construction cobar 15
6.1 L’alg`ebre diff´erentielle F(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Le complexe de chaˆınes C⊗F(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1

7 Th´eor`eme 20
7.1 Construction de ϕ:C(X)⊗F(C(X)) →CU(L(X)) . . . . . . . 20
7.2 Enonc´e et preuve du th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2

1 Homologie singuli`ere
Soit Xun espace topologique.
1.1 Homologie singuli`ere cubique
D´efinition 1.1.1. Un n-cube singulier de Xest une application continue T:
In→X, o`u I= [0,1].
Un n-cube T:In→Xest dit d´eg´en´er´e s’il existe un entier i,1≤i≤n, tel que
T(x1, ..., xn)ne d´epend pas de xi.
Soit Qn(X)le groupe ab´elien libre engendr´e par tous les n-cubes de X,Dn(X)
le sous-groupe de Qn(X)engendr´e par les n-cubes d´eg´en´er´es.
Les ´el´ements de Cn(X) = Qn(X)/Dn(X)sont appel´es les n-chaˆınes cubiques
de X.
Soit T un n-cube, n > 0. Pour 1 ≤i≤n, on d´efinit les (n-1)-cubes
AiT:In−1→X
(x1, ..., xn−1)7→ T(x1, ..., xi−1,0, xi, ..., xn−1)
BiT:In−1→X
(x1, ..., xn−1)7→ T(x1, ..., xi−1,1, xi, ..., xn−1)
D´efinition-proposition 1.1.2. Le bord d’un n-cube T est ∂n(T) = Pn
i=1(−1)i(AiT−
BiT)L’op´erateur de bord ∂n:Qn(X)→Qn−1(X)est un morphisme qui v´erifie :
∂n−1∂n= 0
∂n(Dn(X)) ⊂Dn−1(X)
Alors ∂ninduit un morphisme ∂n:Cn(X)→Cn−1(X)tel que ∂n−1∂n= 0.
On d´efinit le groupe des n-cycles Zn(X) = Ker∂n⊂Cn(X), et Bn(X) =
Im∂n+1 ⊂Zn(X).
Le n-i`eme groupe d’homologie singuli`ere cubique de X est Hn(X) = Zn(X)/Bn(X).
1.2 Homologie singuli`ere simpliciale
D´efinition 1.2.1. Le n-simplexe standard ∆nest l’enveloppe convexe de {e0, ..., en}
dans Rn+1, avec ek= (0, ..., 0,1,0, ..., 0), le coefficient 1 ´etant `a la (k+ 1)-i`eme
place.
Un n-simplexe singulier est une application continue σ: ∆n→X.
Sn(X)est le groupe ab´elien libre engendr´e par tous les n-simplexes singuliers de
X, pour n≥0, et S−1(X) = {0}.
Les ´el´ements de Sn(X)sont appel´ees les n-chaˆınes singuli`eres de X.
Pour tous net i, on d´efinit l’application ǫi: ∆n−1→∆ntelle que :
ǫi(t0, ..., tn−1) = (t0, ..., ti−1,0, ti, ..., tn−1) si n≥1
(0, t0, ..., tn−1) si n= 0
3

D´efinition 1.2.2. Le bord d’un n-simplexe est
∂nσ=Pn
i=0 (−1)iσǫn
i∈Sn−1(X)si n≥1
0si n= 0
Le morphisme ∂n:Sn(X)→Sn−1(X)v´erifie ∂n∂n+1 = 0.
Soient Zn(X) = Ker∂net Bn(X) = Im∂n+1(X), ce sont des sous-groupes de
Sn(X), et Bn(X)⊂Zn(X).
Le n-i`eme groupe d’homologie singuli`ere simpliciale de X est Hn(X) = Zn(X)/Bn(X)
Remarque: Eilenberg et MacLane [3] montrent que pour tout n, le n-i`eme
groupe d’homologie singuli`ere cubique et le n-i`eme groupe d’homologie singuli`ere
simpliciale de X sont isomorphes.
1.3 Application d’Alexander-Whitney
Soient (C′
∗, ∂′),(C′′ ∗, ∂′′) des complexes de chaˆınes.
D´efinition 1.3.1. Le produit tensoriel C∗=C′
∗⊗C′′ ∗est le complexe de chaˆınes
d´efini par :
Cn=M
p+q=n
C′
p⊗C′′ q
On note d′la diff´erentielle sur C′,d′′ la diff´erentielle sur C′′. La diff´erentielle
sur Cnest d´efinie par
dn(x⊗y) = d′
p(x)⊗y+ (−1)px⊗d′′ q(y)pour x∈C′ p, y ∈C′′ q
D´efinition 1.3.2. Pour 0≤i≤n, on d´efinit :
λn
i: ∆i→∆n
(t0, .., ti)7→ (t0, ..., ti,0, ..., 0)
µn
i: ∆i→∆n
(t0, .., ti)7→ (0, ..., 0, t0, ..., ti)
Proposition 1.3.3.
µd
m+kµm+k
k=µd
k
λd
n+mλn+m n=λd n
µn+m+k
m+kλm+k
m=λn+m+k n+mµn+m m
Th´eor`eme 1.3.4. (Th´eor`eme d’Alexander-Whitney)
Soient X et Y deux espaces topologiques. Soient ΠX:X×Y→Xla projection
sur X et ΠY:X×Y→Yla projection sur Y.
On d´efinit l’application AW :S∗(X×Y)→S∗(X)⊗S∗(Y)par :
AWn(σ) = X
i+j=n
σ′λi⊗σ′′µj
4

o`u σ: ∆n→X×Yest un n-simplexe, σ′= ΠXσ, et σ′′ = ΠYσ.
L’application AW est une ´equivalence de complexes de chaˆınes qui est natu-
relle en X et Y, c’est-`a-dire que pour toutes applications continues f:X→
X′, g :Y→Y′, le diagramme suivant commute :
S(X×Y)AW //
(f×g)∗
S(X)⊗S(Y)
f∗⊗g∗
S(X′×Y′)AW //S(X′)⊗S(Y′)
Proposition 1.3.5. Soient X, Y, Z des espaces topologiques.
L’application AW est coassociative, c’est-`a-dire que le diagramme suivant est
commutatif :
S(X×Y×Z)AW X×Y,Z //
AW X,Y ×Z
S(X×Y)⊗S(Z)
AW X,Y ⊗1
S(X)⊗S(Y⊗Z)1⊗AW Y,Z
//S(X)⊗S(Y)⊗S(Z)
D´emonstration. Pour tout n-simplexe σ∈Sn(X×Y×Z), montrons que
(AW X,Y ⊗1)AW X×Y,Z σ= (1 ⊗AW Y,Z )AW X,Y ×Zσ
(AW X,Y ⊗1)AW X×Y,Z σ= (AW X,Y ⊗1)( X
i+j=n
ΠX×Yσλn
i⊗ΠZσµn j)
=X
i+j=n
(AW X,Y (ΠX×Y)σλn
i)⊗ΠZσµn j
=X
i+j=n
(X
p+q=i
ΠXσλn
iλi p⊗ΠYσλn iµi q)⊗ΠZσµn j
=
n
X
i=0
(X
p+q=i
ΠXσλn
p⊗ΠYσλn iµi q)⊗ΠZσµn n−i
=
n
X
i=0
i
X
p=0
(ΠXσλn
p⊗ΠYσλn iµi i−p)⊗ΠZσµn n−i
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