Feuille d`exercices n°22 Espaces vectoriels normés

Lycée Chrestien de Troyes Feuille d’exercices n°22 −Espaces vectoriels normés MP1617
Feuille d’exercices n°22
Espaces vectoriels normés
Version du 26-02-2017 à 21:22
Exercice 1 (CCP).Notons E=C0([0 ; 1],R). Pour tout f∈E, notons :
N∞(f)=sup
x∈[0 ; 1] ¯¯f(x)¯¯et N1(f)=Z1
0¯¯f(x)¯¯dx
1. (a) Démontrer succintement que N∞et N1sont des normes sur E.
(b) Démontrer qu’il existe un réel k>0 tel que pour tout f∈E,N1(f)≤k N∞(f).
(c) Démontrer que tout ouvert pour la norme N1est un ouvert pour la norme N∞.
2. Démontrer que les normes N∞et N1ne sont pas équivalentes.
Exercice 2 (CCP).Notons E=R[X]. Pour tout polynôme P(X)=
n
X
k=0
akXk∈E, posons :
N1(P)=
n
X
k=0
|ak|et N∞(P)=max
0≤k≤n
|ak|
1. (a) Démontrer succinctement que N1et N∞sont des normes sur E.
(b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞est un ouvert pour la norme N1.
(c) Démontrer que les normes N1et N∞ne sont pas équivalentes.
2. Soit n∈N. Notons respectivement N0
1et N0
∞les restrictions de N1et N∞àRn[X]. Les normes N0
1et N0
∞
sont-elles équivalentes?
Exercice 3 (CCP).
1. Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé, soit A⊂Eune partie non vide, soit x∈E. Démontrer que :
x∈A⇐⇒ ∃(xn)n∈N∈ANtelle que xn−−−−−→
n→+∞ x
2. Démontrer que si Aest un sous-espace vectoriel de E, alors Aest un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 4 (CCP).Eet Fdésignent deux espaces vectoriels normés.
1. Soit f:E→F, soit a∈E. Montrer que fest continue en asi et seulement si pour toute suite (xn)n∈N
d’éléments de Etelle que xn−−−−−→
n→+∞ a,f(xn)−−−−−→ n→+∞ f(a).
2. Soit A⊂Eune partie dense dans E, soient f,gdeux applications continues de Edans Ftelles que pour
tout x∈A,f(x)=g(x). Montrer que f=g.
Exercice 5. Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé. Montrer qu’une boule ouverte de Eest convexe.
Exercice 6 (CCP).Notons E=C0([0 ; 1],R). Pour toute fonction f∈E, posons :
N(f)=Z1
0
ex¯¯f(x)¯¯dx
1. Montrer que Nest une norme sur E. Comparer Net k.k∞.
2. Trouver la meilleure constante β>0 telle que pour tout f∈E,N(f)≤β°
°f° °∞.
Exercice 7. Soit Eun R-espace vectoriel, soient N1et N2deux normes sur E. Montrer que les boules ouvertes
BN1(0,1) et BN2(0,1) sont égales si et seulement si N1=N2.
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Exercice 8. Munissons E=R[X] des normes k.k∞et k.k0
∞définies pour tout polynôme P=
n
X
k=0
akXkpar :
kPk∞=max
0≤k≤n
|ak|et kPk0
∞=sup
x∈[0 ; 1]
|P(x)|
1. Montrer que k.k∞et k.k0
∞sont des normes.
2. Sont-elles équivalentes?
3. Soit n∈N∗. Montrer que les normes induites sur Rn[X] par k.k∞et k.k0
∞sont équivalentes.
Exercice 9. Munissons E=R[X] de la norme k.k0
∞définie dans l’exercices précédent et de la norme k.k0
1définie
par :
∀P∈R[X], kPk0
1=Z1
0
|P(x)|dx
1. Vérifier que k.k0
1est bien une norme sur R[X].
2. Les normes k.k0
∞et k.k0
1sont-elles équivalentes?
3. Montrer que les normes induites sur Rn[X] par k.k0
∞et k.k0
1sont équivalentes.
Exercice 10 (ENSEA).Notons E=R[X]. Pour tout P∈R[X] et tout n∈N, posons :
θn(P)=Z1
0
P(t)tndt
Posons N(P)=sup
n∈N
|θn(P)|. Montrer que N(P) est bien définie et qu’elle induit une norme sur R[X].
Exercice 11. Munissons R[X] des normes k.k∞et k.k0
∞définies dans l’exercice 8. Notons(Pn) la suite de poly-
nômes de terme général Pn(X)=
n
X
k=0
Xk
k!.
1. Montrer que (Pn) est bornée pour les normes k.k∞et k.k0
∞.
2. Montrer que (Pn) est divergente pour la norme k.k∞.
3. Munissons C([0 ; 1],R) de la norme k.k0
∞définie par :
∀f∈C([0 ; 1],R), °
°f° °
0
∞=sup
x∈[0 ; 1] ¯¯f(x)¯¯.
Montrer que la suite (Pn), vue comme suite d’éléments de C([0 ; 1],R), converge. Déterminer sa limite.
4. La suite (Pn) converge-t-elle dans (R[X],k.k0
∞)?
Exercice 12. Munissons `∞(R) de la norme k.k∞définie pour toute suite bornée (un) par :
k(un)k∞=sup
n∈N
|un|
1. Notons (uk) la suite d’éléments de `∞(R) telle que pour tout k,uksoit la suite constante de terme général
1
k+1. Montrer que uk
k.k∞
−−−−−→
k→+∞ 0.
2. Notons (vk) la suite d’éléments de `∞(R) définie de terme général vk=µk
n+1¶n∈N
. La suite (vk)k∈Nest-
elle bornée dans (`∞,k.k∞)?
3. La suite (wk) d’éléments de `∞(R) de terme général wk=(sin(kn))n∈Nest-elle bornée ? Admet-elle une
valeur d’adhérence?
Exercice 13. Munissons `∞(R) de la norme k.k∞définie dans l’exercice précédent.
1. Soit (Uk) une suite d’éléments de `∞(R). Pour tout k∈N,Ukest une suite bornée notée ³u(k)
n´n∈N. Sup-
posons que (Uk) converge vers une suite U∈`∞(R) de terme général un. Montrer que pour tout n∈N,
u(k)
n−−−−−→
k→+∞ un.
2. Réciproquement, si pour tout n∈N, la suite ³u(k)
n´k∈Nconverge vers un réel un, la suite (Uk) converge-t-
elle vers la suite (un)?
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Exercice 14. Munissons C0([0 ; 1],R) de la norme k.k∞définie par :
∀f∈C0([0 ; 1],R), °
°f° °∞=sup
x∈[0 ; 1] ¯¯f(x)¯¯
L’espace des fonctions polynomiales est-il fermé dans ( C0([0 ; 1],R),k.k∞)?
Exercice 15. Munissons R[X] de la norme k.k1définie par :
°
°
°
°
°
n
X
k=0
akXk°
°
°
°
°1
=
n
X
k=0
|ak|
Le sous-espace F=Vect¡©X2n:n∈Nª¢est-il fermé dans (R[X],k.k1)?
Exercice 16. Soit f:C→Cune fonction polynomiale. Montrer que pour tout ouvert U,f(U) est un ouvert et
que pour tout fermé F,f(F) est un fermé.
Exercice 17 (TPE).Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé. Montrer que Eest le seul sous-espace vectoriel de
Ed’intérieur non vide.
Exercice 18 (TPE).Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé, soit C⊂Eune partie convexe. Montrer que l’adhé-
rence et l’intérieur de Csont convexes.
Exercice 19. Notons `2(R) l’ensemble des suites x=(xn)n∈Ntelles que la série X|xn|converge. Pour toute suite
x=(xn)n∈N∈`2(R), notons :
kxk2=s+∞
X
n=0
|xn|2
1. Montrer que k.k2est une norme sur `2(R).
2. Posons Fl’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. Montrer que Fest un sous-espace vec-
toriel de `2(R). L’ensemble Fest-il fermé?
Exercice 20. Notons `∞(R) l’espace vectoriel des suites réelles bornées. Pour toute suite x=(xn)n∈N∈`∞(R),
posons kxk∞=sup
n∈N
|xn|.
1. Notons C0le sous-espace vectoriel de `∞(R) constitué des suites convergeant vers 0. Déterminer la dis-
tance de la suite constante égale à 1 à C0.
2. Notons Cle sous-espace vectoriel de `∞(R) constitué des suites convergentes. Déterminer la distance
de la suite ((−1)n)n∈NàC.
Exercice 21. Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé. Soit (un) une suite d’éléments de E. Montrer que l’en-
semble des valeurs d’adhérences de (un) est un fermé de E.
Exercice 22. Soient (E,(·|·)) et (F,(·|·)) deux espaces vectoriels normés.
1. Soit A⊂E, soit f:E→Fune fonction continue. Montrer que si Aest un compact de E, alors f(A) est un
compact de F.
2. Soit g:E→Cune fonction continue. Montrer que si Aest un compact de E, alors :
(a) g(A) est une partie bornée de C.
(b) Il existe x0∈Atel que ¯¯g(x0)¯¯=sup
x∈A¯¯g(x)¯¯.
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Exercice 23 (CCP).Soient (E,k.k), (F,k.k) deux espaces vectoriels normés.
1. Démontrer que si f∈L(E,F), les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) fest continue sur E.
(b) fest continue en 0.
(c) ∃k>0 tel que ∀x∈E,°
°f(x)° °≤kkxk.
2. Notons El’espace des fonctions continues sur [0 ; 1] à valeurs dans R, munissons-le de la norme k.k∞.
On considère l’application :
¯¯¯¯¯¯
ϕ:E→R
f7→ Z1
0
f(x) dx
Montrer que ϕest continue.
Exercice 24 (CCP).Soit (A,k.k) une algèbre unitaire normée de dimension finie, d’élément unité e.
1. Soit u∈Atel que kuk<1.
(a) Montrer que la série Xunconverge.
(b) Montrer que (e−u) est inversible, d’inverse
+∞
X
n=0
un.
2. Montrer que pour tout u∈A, la série Xun
n!converge.
Exercice 25 (CCP tronqué).Munissons l’espace vectoriel E=C0([0 ; 1],R) de la norme k.k∞et l’espace vecto-
riel F=C1([0 ; 1],R) de la norme k.k0
∞définie par :
∀f∈F,°
°f° °
0
∞=°
°f° °∞+° °f0° °∞
1. Vérifier que k.k0
∞est une norme sur F.
2. Notons ϕ:E→Fl’application linéaire définie par :
∀f∈E,∀x∈[0 ; 1], ϕ(f)(x)=Zx
0
f(t) dt
Montrer que ϕest continue.
Exercice 26 (CCP tronqué).Munissons l’espace vectoriel E=C0([0 ; 1],R) de la norme k.k∞. Notons ϕla forme
linéaire sur Edéfinie par :
∀f∈E,ϕ(f)=f(1) −f(0)
1. Montrer que ϕest continue.
2. L’application ϕest-elle continue si l’on remplace k.k∞par k.k1?
Exercice 27 (CCP tronqué).Munissons l’espace vectoriel E=C0([0 ; 1],R) de la norme k.k1. Notons ϕla forme
linéaire sur Edéfinie par :
∀f∈E,ϕ(f)=Z1
0
t f (t) dt
Montrer que ϕest continue.
Exercice 28 (CCP).Soit P∈R[X] un polynôme réel de degré nscindé à racines simples sur R. Montrer qu’il
existe α>0 tel que pour tout ε∈[−α,α], le polynôme P(X)+εXn+1soit scindé à racines simples dans R.
Exercice 29 (CCP).Soit A∈Mn(Z) telle que 4A4+2A2+A=0.
1. Montrer que pour tout P∈GLn(R), M7→ P−1MP est un endomorphisme continu dans Mn(R).
2. Montrer que les valeurs propres de Asont toutes de module inférieur ou égal à 1/2. En déduire :
Ak−−−−−→
k→+∞ 0
3. Montrer qu’une suite d’entiers relatif qui converge est stationnaire. En déduire que Aest nilpotente. Que
peut-on alors dire de A?
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Exercice 30 (CCP).Munissons Mp(C) de la norme °
°(ai,j)1≤i,j≤p° °=max
1≤i,j≤p¯¯ai,j¯¯.
1. Soit A∈Mp(C) telle que la suite (kAnk) soit bornée. Montrer que les valeurs propres de Asont toutes de
module inférieur ou égal à 1.
2. Soit B∈Mp(C). On suppose que la suite (Bn) converge vers une matrice C∈Mp(C).
(a) Montrer que C2=Cet que SpecC(C)⊂{0,1}.
(b) Monter que les valeurs propres de Bsont toutes de module inférieur ou égal à 1, et qu’une valeur
propre de Bde module 1 est égale à 1.
Exercice 31 (TPE).Munissons E=C0([0 ; 1],R) de la norme k.k1. Soit x0∈[0 ; 1].
1. Montrer que l’application :
¯¯¯¯
ϕ:E→R
f7→ f(x0)
n’est pas continue.
2. Que dire de Ker(ϕ)?
Exercice 32 (TPE −tronqué).Notons `∞(R) l’ensemble des suites bornées sur R. Munissons-le de la norme
k.k∞. Pour toute suite u=(un)ninN∈`∞(R), posons :
∆(u)=(un+1−un)n∈N
Montrer que ∆est un endomorphisme continu de (`∞,k.k∞).
Exercice 33.
1. Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé, soit Fun sous-espace vectoriel de Ede dimension finie. Montrer
que Fest fermé.
2. Le résultat précédent demeure-t-il si Fn’est pas supposé de dimension finie ? On pourra s’intéresser au
sous-espace Fde `1(R) de constitué des suites nulles à partir d’un certain rang.
Exercice 34 (Mines).Soit Kune partie fermée de [0 ; 1]2. On suppose que pour tout x∈[0 ; 1], l’ensemble :
{y∈[0 ; 1] : (x,y)∈K}
est un intervalle non vide. Montrer que Kintersecte la droite d’équation y=x.
Exercice 35. Munissons Mn(R) d’une norme matricielle, i.e. d’une norme d’algèbre.
1. Soit M∈Mn(R) telle que kMk<1.
(a) Montrer que la série Mkconverge.
(b) Que vaut (In−M)
+∞
X
k=0
Mk?
2. En déduire que GLn(R) est un ouvert de Mn(R). Donner une autre démonstration de ce résultat à l’aide
du déterminant.
3. Montrer que l’application :
¯¯¯¯
inv : GLn(R)→GLn(R)
A7→ A−1
est continue.
Exercice 36. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C).
Exercice 37 (Navale).Montrer que toute suite réelle admet une suite extraite monotone.
Exercice 38 (Mines).Soit (Pk) une suite de polynômes de Rn[X] convergeant simplement vers un polynôme
P∈Rn[X]. Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie compacte et Rn[X].
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