Feuille d`exercices n°22 Espaces vectoriels normés

Lycée Chrestien de Troyes
Feuille d’exercices n°22 − Espaces vectoriels normés
MP1617
Feuille d’exercices n°22
Espaces vectoriels normés
Version du 26-02-2017 à 21:22
Exercice 1 (CCP). Notons E = C 0 ([0 ; 1], R). Pour tout f ∈ E , notons :
1¯
Z
¯
¯
N∞ ( f ) = sup ¯ f (x)¯
et
N1 ( f ) =
x∈[0 ; 1]
0
¯
¯ f (x)¯ dx
1. (a) Démontrer succintement que N∞ et N1 sont des normes sur E .
(b) Démontrer qu’il existe un réel k > 0 tel que pour tout f ∈ E , N1 ( f ) ≤ k N∞ ( f ).
(c) Démontrer que tout ouvert pour la norme N1 est un ouvert pour la norme N∞ .
2. Démontrer que les normes N∞ et N1 ne sont pas équivalentes.
Exercice 2 (CCP). Notons E = R[X ]. Pour tout polynôme P (X ) =
n
X
a k X k ∈ E , posons :
k=0
N1 (P ) =
n
X
et N∞ (P ) = max |a k |
|a k |
0≤k≤n
k=0
1. (a) Démontrer succinctement que N1 et N∞ sont des normes sur E .
(b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞ est un ouvert pour la norme N1 .
(c) Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes.
0
0
2. Soit n ∈ N. Notons respectivement N10 et N∞
les restrictions de N1 et N∞ à Rn [X ]. Les normes N10 et N∞
sont-elles équivalentes ?
Exercice 3 (CCP).
1. Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé, soit A ⊂ E une partie non vide, soit x ∈ E . Démontrer que :
x ∈ A ⇐⇒ ∃(x n )n∈N ∈ A N telle que x n −−−−−→ x
n→+∞
2. Démontrer que si A est un sous-espace vectoriel de E , alors A est un sous-espace vectoriel de E .
Exercice 4 (CCP). E et F désignent deux espaces vectoriels normés.
1. Soit f : E → F , soit a ∈ E . Montrer que f est continue en a si et seulement si pour toute suite (x n )n∈N
d’éléments de E telle que x n −−−−−→ a, f (x n ) −−−−−→ f (a).
n→+∞
n→+∞
2. Soit A ⊂ E une partie dense dans E , soient f , g deux applications continues de E dans F telles que pour
tout x ∈ A, f (x) = g (x). Montrer que f = g .
Exercice 5. Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé. Montrer qu’une boule ouverte de E est convexe.
Exercice 6 (CCP). Notons E = C 0 ([0 ; 1], R). Pour toute fonction f ∈ E , posons :
1
Z
N(f ) =
0
¯
¯
e x ¯ f (x)¯ dx
1. Montrer que N est une norme sur E . Comparer N et k.k∞ .
° °
2. Trouver la meilleure constante β > 0 telle que pour tout f ∈ E , N ( f ) ≤ β ° f °∞ .
Exercice 7. Soit E un R-espace vectoriel, soient N1 et N2 deux normes sur E . Montrer que les boules ouvertes
B N1 (0, 1) et B N2 (0, 1) sont égales si et seulement si N1 = N2 .
1
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Exercice 8. Munissons E = R[X ] des normes k.k∞ et k.k0∞ définies pour tout polynôme P =
kP k∞ = max |a k |
0≤k≤n
kP k0∞
et
n
X
a k X k par :
k=0
= sup |P (x)|
x∈[0 ; 1]
1. Montrer que k.k∞ et k.k0∞ sont des normes.
2. Sont-elles équivalentes ?
3. Soit n ∈ N∗ . Montrer que les normes induites sur Rn [X ] par k.k∞ et k.k0∞ sont équivalentes.
Exercice 9. Munissons E = R[X ] de la norme k.k0∞ définie dans l’exercices précédent et de la norme k.k01 définie
par :
Z 1
|P (x)| dx
∀P ∈ R[X ], kP k01 =
0
1. Vérifier que k.k01 est bien une norme sur R[X ].
2. Les normes k.k0∞ et k.k01 sont-elles équivalentes ?
3. Montrer que les normes induites sur Rn [X ] par k.k0∞ et k.k01 sont équivalentes.
Exercice 10 (ENSEA). Notons E = R[X ]. Pour tout P ∈ R[X ] et tout n ∈ N, posons :
Z 1
θn (P ) =
P (t )t n dt
0
Posons N (P ) = sup |θn (P )|. Montrer que N (P ) est bien définie et qu’elle induit une norme sur R[X ].
n∈N
Exercice 11. Munissons R[X ] des normes k.k∞ et k.k0∞ définies dans l’exercice 8. Notons(P n ) la suite de polyn Xk
X
nômes de terme général P n (X ) =
.
k=0 k!
1. Montrer que (P n ) est bornée pour les normes k.k∞ et k.k0∞ .
2. Montrer que (P n ) est divergente pour la norme k.k∞ .
3. Munissons C ([0 ; 1], R) de la norme k.k0∞ définie par :
° °0
¯
¯
∀ f ∈ C ([0 ; 1], R), ° f °∞ = sup ¯ f (x)¯.
x∈[0 ; 1]
Montrer que la suite (P n ), vue comme suite d’éléments de C ([0 ; 1], R), converge. Déterminer sa limite.
4. La suite (P n ) converge-t-elle dans (R[X ], k.k0∞ ) ?
Exercice 12. Munissons `∞ (R) de la norme k.k∞ définie pour toute suite bornée (u n ) par :
k(u n )k∞ = sup |u n |
n∈N
1. Notons (u k ) la suite d’éléments de `∞ (R) telle que pour tout k, u k soit la suite constante de terme général
1
k.k∞
. Montrer que u k −−−−−→ 0.
k→+∞
k +1
µ
¶
k
2. Notons (v k ) la suite d’éléments de `∞ (R) définie de terme général v k =
. La suite (v k )k∈N estn + 1 n∈N
∞
elle bornée dans (` , k.k∞ ) ?
3. La suite (w k ) d’éléments de `∞ (R) de terme général w k = (sin(kn))n∈N est-elle bornée ? Admet-elle une
valeur d’adhérence ?
Exercice 13. Munissons `∞ (R) de la norme k.k∞ définie dans l’exercice précédent.
³
´
1. Soit (Uk ) une suite d’éléments de `∞ (R). Pour tout k ∈ N, Uk est une suite bornée notée u n(k)
n∈N
. Sup-
posons que (Uk ) converge vers une suite U ∈ ` (R) de terme général u n . Montrer que pour tout n ∈ N,
u n(k) −−−−−→ u n .
k→+∞
³
´
2. Réciproquement, si pour tout n ∈ N, la suite u n(k)
converge vers un réel u n , la suite (Uk ) converge-t∞
k∈N
elle vers la suite (u n ) ?
2
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Exercice 14. Munissons C 0 ([0 ; 1], R) de la norme k.k∞ définie par :
∀ f ∈ C 0 ([0 ; 1], R),
° °
°f °
∞
¯
¯
= sup ¯ f (x)¯
x∈[0 ; 1]
L’espace des fonctions polynomiales est-il fermé dans ( C 0 ([0 ; 1], R), k.k∞ ) ?
Exercice 15. Munissons R[X ] de la norme k.k1 définie par :
°
°
°
°X
n
n
X
°
k°
|a k |
ak X ° =
°
°
°k=0
k=0
1
Le sous-espace F = Vect X 2n
¡©
ª¢
: n ∈ N est-il fermé dans (R[X ], k.k1 ) ?
Exercice 16. Soit f : C → C une fonction polynomiale. Montrer que pour tout ouvert U , f (U ) est un ouvert et
que pour tout fermé F , f (F ) est un fermé.
Exercice 17 (TPE). Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé. Montrer que E est le seul sous-espace vectoriel de
E d’intérieur non vide.
Exercice 18 (TPE). Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé, soit C ⊂ E une partie convexe. Montrer que l’adhérence et l’intérieur de C sont convexes.
Exercice 19. Notons `2 (R) l’ensemble des suites x = (x n )n∈N telles que la série
x = (x n )n∈N ∈ `2 (R), notons :
s
+∞
X
|x n |2
kxk2 =
X
|x n | converge. Pour toute suite
n=0
1. Montrer que k.k2 est une norme sur `2 (R).
2. Posons F l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de `2 (R). L’ensemble F est-il fermé ?
Exercice 20. Notons `∞ (R) l’espace vectoriel des suites réelles bornées. Pour toute suite x = (x n )n∈N ∈ `∞ (R),
posons kxk∞ = sup |x n |.
n∈N
1. Notons C 0 le sous-espace vectoriel de `∞ (R) constitué des suites convergeant vers 0. Déterminer la distance de la suite constante égale à 1 à C 0 .
2. Notons C le sous-espace vectoriel de `∞ (R) constitué des suites convergentes. Déterminer la distance
de la suite ((−1)n )n∈N à C .
Exercice 21. Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé. Soit (u n ) une suite d’éléments de E . Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérences de (u n ) est un fermé de E .
Exercice 22. Soient (E , ( · | · )) et (F, ( · | · )) deux espaces vectoriels normés.
1. Soit A ⊂ E , soit f : E → F une fonction continue. Montrer que si A est un compact de E , alors f (A) est un
compact de F .
2. Soit g : E → C une fonction continue. Montrer que si A est un compact de E , alors :
(a) g (A) est une partie bornée de C.
¯
¯
¯
¯
(b) Il existe x 0 ∈ A tel que ¯g (x 0 )¯ = sup ¯g (x)¯.
x∈A
3
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Exercice 23 (CCP). Soient (E , k.k), (F, k.k) deux espaces vectoriels normés.
1. Démontrer que si f ∈ L (E , F ), les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) f est continue sur E .
(b) f est continue en 0.
°
°
(c) ∃k > 0 tel que ∀x ∈ E , ° f (x)° ≤ k kxk.
2. Notons E l’espace des fonctions continues sur [0 ; 1] à valeurs dans R, munissons-le de la norme k.k∞ .
On considère l’application :
¯
¯ ϕ : E →
R
¯
Z 1
¯
¯
f 7→
f (x) dx
¯
0
Montrer que ϕ est continue.
Exercice 24 (CCP). Soit (A , k.k) une algèbre unitaire normée de dimension finie, d’élément unité e.
1. Soit u ∈ A tel que kuk < 1.
X
(a) Montrer que la série u n converge.
(b) Montrer que (e − u) est inversible, d’inverse
+∞
X
un .
n=0
2. Montrer que pour tout u ∈ A , la série
X un
n!
converge.
Exercice 25 (CCP tronqué). Munissons l’espace vectoriel E = C 0 ([0 ; 1], R) de la norme k.k∞ et l’espace vectoriel F = C 1 ([0 ; 1], R) de la norme k.k0∞ définie par :
° °0
° °
° °
∀ f ∈ F, ° f °∞ = ° f °∞ + ° f 0 °∞
1. Vérifier que k.k0∞ est une norme sur F .
2. Notons ϕ : E → F l’application linéaire définie par :
∀ f ∈ E , ∀x ∈ [0 ; 1],
ϕ( f )(x) =
x
Z
f (t ) dt
0
Montrer que ϕ est continue.
Exercice 26 (CCP tronqué). Munissons l’espace vectoriel E = C 0 ([0 ; 1], R) de la norme k.k∞ . Notons ϕ la forme
linéaire sur E définie par :
∀f ∈ E,
ϕ( f ) = f (1) − f (0)
1. Montrer que ϕ est continue.
2. L’application ϕ est-elle continue si l’on remplace k.k∞ par k.k1 ?
Exercice 27 (CCP tronqué). Munissons l’espace vectoriel E = C 0 ([0 ; 1], R) de la norme k.k1 . Notons ϕ la forme
linéaire sur E définie par :
Z 1
∀f ∈ E,
ϕ( f ) =
t f (t ) dt
0
Montrer que ϕ est continue.
Exercice 28 (CCP). Soit P ∈ R[X ] un polynôme réel de degré n scindé à racines simples sur R. Montrer qu’il
existe α > 0 tel que pour tout ε ∈ [−α, α], le polynôme P (X ) + εX n+1 soit scindé à racines simples dans R.
Exercice 29 (CCP). Soit A ∈ Mn (Z) telle que 4A 4 + 2A 2 + A = 0.
1. Montrer que pour tout P ∈ GL n (R), M 7→ P −1 M P est un endomorphisme continu dans Mn (R).
2. Montrer que les valeurs propres de A sont toutes de module inférieur ou égal à 1/2. En déduire :
A k −−−−−→ 0
k→+∞
3. Montrer qu’une suite d’entiers relatif qui converge est stationnaire. En déduire que A est nilpotente. Que
peut-on alors dire de A ?
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°
°
¯
¯
Exercice 30 (CCP). Munissons Mp (C) de la norme °(a i , j )1≤i , j ≤p ° = max ¯a i , j ¯.
1≤i , j ≤p
1. Soit A ∈ Mp (C) telle que la suite (kA n k) soit bornée. Montrer que les valeurs propres de A sont toutes de
module inférieur ou égal à 1.
2. Soit B ∈ Mp (C). On suppose que la suite (B n ) converge vers une matrice C ∈ Mp (C).
(a) Montrer que C 2 = C et que SpecC (C ) ⊂ {0, 1}.
(b) Monter que les valeurs propres de B sont toutes de module inférieur ou égal à 1, et qu’une valeur
propre de B de module 1 est égale à 1.
Exercice 31 (TPE). Munissons E = C 0 ([0 ; 1], R) de la norme k.k1 . Soit x 0 ∈ [0 ; 1].
1. Montrer que l’application :
¯
¯ ϕ
¯
¯
:
E
f
→
7→
R
f (x 0 )
n’est pas continue.
2. Que dire de Ker(ϕ) ?
Exercice 32 (TPE − tronqué). Notons `∞ (R) l’ensemble des suites bornées sur R. Munissons-le de la norme
k.k∞ . Pour toute suite u = (u n )ni nN ∈ `∞ (R), posons :
∆(u) = (u n+1 − u n )n∈N
Montrer que ∆ est un endomorphisme continu de (`∞ , k.k∞ ).
Exercice 33.
1. Soit (E , k.k) un espace vectoriel normé, soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Montrer
que F est fermé.
2. Le résultat précédent demeure-t-il si F n’est pas supposé de dimension finie ? On pourra s’intéresser au
sous-espace F de `1 (R) de constitué des suites nulles à partir d’un certain rang.
Exercice 34 (Mines). Soit K une partie fermée de [0 ; 1]2 . On suppose que pour tout x ∈ [0 ; 1], l’ensemble :
{y ∈ [0 ; 1] : (x, y) ∈ K }
est un intervalle non vide. Montrer que K intersecte la droite d’équation y = x.
Exercice 35. Munissons Mn (R) d’une norme matricielle, i.e. d’une norme d’algèbre.
1. Soit M ∈ Mn (R) telle que kM k < 1.
(a) Montrer que la série M k converge.
+∞
X k
(b) Que vaut (I n − M )
M ?
k=0
2. En déduire que GL n (R) est un ouvert de M n (R). Donner une autre démonstration de ce résultat à l’aide
du déterminant.
3. Montrer que l’application :
¯
¯ inv
¯
¯
:
GL n (R)
A
→
7→
GL n (R)
A −1
est continue.
Exercice 36. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C).
Exercice 37 (Navale). Montrer que toute suite réelle admet une suite extraite monotone.
Exercice 38 (Mines). Soit (P k ) une suite de polynômes de Rn [X ] convergeant simplement vers un polynôme
P ∈ Rn [X ]. Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie compacte et Rn [X ].
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Exercice 39. Soient (E , k.k) et (F, k.k) deux espaces vectoriels normés. Soit f : E → F une application injective.
1. Montrer que f est continue si et seulement si pour tout compact K de E , f (K ) est un compact de f .
2. Le résultat subsiste-t-il si f n’est pas supposée injective ?
Exercice 40. Soient (E , k.k) et (F, k.k) deux espaces vectoriels normés. Soit f : E → F une application continue
telle que pour tout compact K de F , f −1 (K ) est un compact de E .
1. Montrer que pour tout femé A de E , f (A) est un fermé de F .
2. En général, l’image d’un fermé par une application continue est-elle nécessairement fermée ?
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