1 Connecteurs logiques et langage ensembliste - CMAP

Ecole Polytechnique, 2016 EV2- Math´ematiques Appliqu´ees
Fiche de cours 1 : Quelques rappels sur le langage ensembliste
1 Connecteurs logiques et langage ensembliste
Etant donn´ee une proposition Ad´ependant d’une variable xappartenant un ensemble X, on note
{x2X, A(x)}l’ensemble des xpour lesquels l’assertion A(x) est v´erifi´ee. Par exemple, consid´erons A(n):
nest premier. Alors {n2N,A(n)}est l’ensemble des nombres premiers. Dans la suite on omettra d’´ecrire
Xpour all´eger les notations.
— La n´egation A(non A) de la proposition Acorrespond au compl´ementaire :
{x, A(x)}={x, A(x)}c.
— La conjonction A^B(A et B) correspond `a l’intersection :
{x, A(x)^B(x)}={x, A(x)}\{x, B(x)}.
— La disjonction A_B(AouB,leou ´etant non exclusif) correspond `a la r´eunion :
{x, A(x)_B(x)}={x, A(x)}[{x, B(x)}.
— Le quantificateur universel 8(quel que soit, pour tout) correspond `a une intersection :
{x, 8i2I, Ai(x)}=\i2I{x, Ai(x)}.
— Le quantificateur universel 9(il existe) correspond `a une r´eunion :
{x, 9i2I, Ai(x)}=[i2I{x, Ai(x)}.
— L’implication A)B(A implique B) correspond `a une inclusion :
A)Bsi et seulement si {x, A(x)}⇢{x, B(x)}.
— Quelques r`egles sur les connecteurs logiques :
(A)B),(A_B), A ,A,
A^B,A_B, A_B,A^B,
A^(B_C),(A^B)_(A^C),A_(B^C),(A_B)^(A_C),
(8x, A(x)) ,⇣9x, A(x)⌘,(9x, A(x)) ,⇣8x, A(x)⌘.
— Ces formules ont leur ´equivalent ensembliste. Par exemple, A_B,A^Bse retrouve facilement
si l’on se souvient que (A[B)c=Ac\Bc(le compl´ementaire de la r´eunion est l’intersection des
compl´ementaires).
—Attention aux quantificateurs universels : la n´egation de ’il existe un entier naturel n, tel
que 2n+3
nsoit premier’est’pour tout entier naturel n,2n+3 nn’est pas premier’ et vice versa.
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2 Applications
2.1 Injection, surjection, bijection
D´efinition. Soient Eet Fdeux ensembles et f:E!Fune application.
1. fest injective si la relation suivante est v´erifi´ee :
8x2E, 8y2E, x 6=y)f(x)6=f(y).(1)
2. fest surjective si, pour tout y2F, il existe x2Etel que f(x)=y.
3. fest bijective si elle est la fois injective et surjective.
Remarque. 1. Pour v´erifier qu’une application f:E!Fest injective, on utilise souvent la contrapos´ee
de (??) en prouvant que deux ´el´ements xet yde Eayant mme image sont n´ecessairement ´egaux.
2. Une bijection d’un ensemble Esur lui-mme est parfois appel´ee permutation de E.
Proposition. La compos´ee de deux applications injectives (resp. surjectives, bijectives) est injective (resp.
surjective, bijective).
Th´eor`eme. Soient f:E!Fet g:F!Gdes applications. Si gfest injective, fest injective. Si
gfest surjective, gest surjective.
2.2 Application r´eciproque
Consid´erons une application f:E!Fbijective. Pour tout y2Fil existe un unique ´el´ement x2E
tel que f(x)=y. Posons x=f1(y).
D´efinition. L’application f1:F!Eainsi d´efinie est appel´ee application r´eciproque de l’applica-
tion f.
Proposition. L’application f1est aussi bijective, et v´erifie :
1. f1f(x)=xpour tout x2E,
2. ff1(y)=ypour tout y2F,
3. (f1)1=f.
Les applications fet f1sont dites r´eciproques l’une de l’autre.
Th´eor`eme. Soit f:E!Fune application. S’il existe g:F!Etelle que gf=IdEet fg=IdF,
alors fest bijective et g=f1.
Remarque. Le r´esultat ci-dessus est tr`es utile dans la pratique.
Proposition. Soient f:E!Fet g:F!Gdeux applications bijectives. Alors gf:E!Gest
bijective et :
(gf)1=f1g1.
2.3 Ensembles et applications
On consid`ere deux ensembles Eet Fet f:E!Fune application.
D´efinition. Pout toute partie Ade E, l’ensemble f(A)={y2F|9x2A, f (x)=y}s’appelle image
directe de Apar f. Pour toute partie Bde F, l’ensemble f1(B)={x2E|f(x)2B}s’appelle image
r´eciproque de Bpar f.
Remarque. On peut aussi ´ecrire f(A)={f(x),x2A}.
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Proposition. Soient quatre parties A1,A
2⇢Eet B1,B 2⇢F.
(1) f1(B1\B2)=f1(B1)\f1(B2),(5) f(f1)(B1)⇢B1,
(2) f1(B1[B2)=f1(B1)[f1(B2),(6) f1(f(A1)) A1,
(3) f(A1[A2)=f(A1)[f(A2),(7) f1(F\B1)=E\f1(B1),
(4) f(A1\A2)⇢f(A1)\f(A2).
Proposition. Si l’application fest injective, alors les inclusions (4) et (6) ci-dessus deviennent des
´egalit´es.
Si l’application fest surjective, alors l’inclusion (5) ci-dessus devient une ´egalit´e.
3 Notions de d´enombrement
3.1 Ensembles finis et exemples
D´efinition. Le cardinal d’un ensemble fini ⌦, not´e card(⌦), repr´esente son nombre d’´el´ements.
Exemples et d´efinitions. 1. Soient E1,E
2,...,E pdes ensembles (pas forc´ement finis). Le produit
cart´esien de ces ensembles est not´e E1⇥E2⇥...⇥Epet repr´esente l’ensemble des p-uplets (e1,...,e
p)
oei2Ei,pouri2{1,...,p}.
Si E1,E
2,...,E psont finis alors
card(E1⇥E2⇥... ⇥Ep)=
p
Y
i=1
card(Ei).
2. Soient Xet Ydeux ensembles (pas forc´ement finis). On note XYl’ensemble des applications de
Ydans X.
Si Xet Ysont finis alors
card(XY)=card(X)card(Y).
3. Une partition d’un ensemble ⌦est une famille d’ensembles non vides {Ai}i2Itelle que
[
i2I
Ai=⌦et Ai\Aj=;,pour i6=j.
Une telle partition est aussi not´ee Fi2IAi.
Si ⌦et Isont finis, on a
card(⌦) = X
i2I
card(Ai).
Cons´equences : Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble fini ⌦.Alors:
(a)
card(Ac)=card(⌦)card(A),(Ac=⌦\A).
(b)
card(A[B)=card(A)+card(B)card(A\B).
Proposition. Soient Eet Fdeux ensembles finis. Alors :
1. S’il existe une injection de Edans Falors card(E)card(F).
2. S’il existe une surjection de Edans Falors card(E)card(F).
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Proposition. Soit Eun ensemble fini. Soit f:E!Eune application . Alors les trois conditions
suivantes sont ´equivalentes :
1. fest injective
2. fest bijective
3. fest surjective
3.2 Ensembles d´enombrables
D´efinition. Un ensemble est d´enombrable s’il est fini ou s’il est en bijection avec N.
Proposition. 1. Un sous-ensemble d’un ensemble d´enombrable est d´enombrable.
2. Si :X!Yest injective et si Yest d´enombrable, alors Xest d´enombrable.
3. Si :X!Yest surjective et si Xest d´enombrable, alors Yest d´enombrable.
4. Un produit cart´esien fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.
5. Une r´eunion d´enombrable d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.
Exemple. Z,Qet Q[X]sont d´enombrables.
Th´eor`eme. Ret l’ensemble {0,1}Ndes suites valeurs dans {0,1}ne sont pas d´enombrables.
D´efinition. Soit Eun ensemble. On note P(E) l’ensemble des parties de E.
Corollaire. P(N)n’est pas d´enombrable.
3.3 Analyse combinatoire
Dans cette sous-section, ⌦d´esignera un ensemble non vide de cardinal fini ´egal nqui est dans N⇤.
n! d´esignera 1 ⇥2⇥3⇥... ⇥n. On convient que 0! = 1.
D´efinition. Soit p2N. Une p-liste de ⌦est un ´el´ement de ⌦p
Proposition. L’ensemble des p-listes de ⌦est de cardinal np.
D´efinition. Soit p2{0,...,n}. Un p-arrangement de ⌦(ou un arrangement p´e l ´e m e n t s ) e s t u n e p-liste
ou p-uplet (x1,...,x
p)2⌦ptel que x1,...,x psoient deux deux distincts.
Une permutation de ⌦est un arrangement n´elements. On note Snl’ensemble des permutations.
Proposition. Le nombre de p-arrangements de ⌦,not´eAp
nest
Ap
n=n(n1)...(np+ 1) = n!
(np)!
Le nombre de permutation de ⌦est card(Sn)=An
n=n!.
Remarque. Si p>nalors Ap
n=0.
D´efinition. Soit p2{0,...,n}. On appelle combinaison de p´elements de ⌦toute partie de ⌦de cardinal
p.
Proposition. Le nombre de combinaisons de p´elements de ⌦not´e Cp
nou n
pest
Cp
n=n!
(np)!p!.
Remarque. 1. Si p>nalors Cp
n=0.
2. Ap
n=p!Cp n.
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Proposition. Pour 0pnet 1n, on a :
1. Cp
n=Cnp n.
2. C0
n=Cn n=1.
3. C1
n=Cn1 n=n.
4. Cp
n=Cp1
n1+Cp n1,n2,p2{1,...,n1}.
5. (a+b)n=Pn
k=0 Ck
nakbnk,a,b2C.
Remarque. card (P(⌦)) = Pn
k=0 Ck
n=2
n.
3.4 Application aux probabilit´es
Dans cette sous-section, ⌦d´esignera un ensemble non vide de cardinal fini ´egal nqui est dans N⇤.
D´efinition. Une probabilit´e est une fonction Pde P(⌦) dans [0; 1] telle que
1. P(⌦) = 1.
2. P(A[B)=P(A)+P(B), si Aet Bsont deux parties disjointes de ⌦.
Proposition. 1. P(Ac)=1P(A).
2. P(;)=0.
3. P(A)=P(A\B)+P(A\Bc).
4. P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B).
Remarque. Supposons que
8(!,!0)2⌦2,P({!})=P({!0}).
On est dans le cas d’´equiprobabilit´e et pour tout A2P(⌦), on a
P(A)=card(A)
card(⌦).
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