1 Connecteurs logiques et langage ensembliste - CMAP

Ecole Polytechnique, 2016
EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 1 : Quelques rappels sur le langage ensembliste
1
Connecteurs logiques et langage ensembliste
Etant donnée une proposition A dépendant d’une variable x appartenant un ensemble X, on note
{x 2 X, A(x)} l’ensemble des x pour lesquels l’assertion A(x) est vérifiée. Par exemple, considérons A(n) :
n est premier. Alors {n 2 N, A(n)} est l’ensemble des nombres premiers. Dans la suite on omettra d’écrire
X pour alléger les notations.
— La négation A (non A) de la proposition A correspond au complémentaire :
{x, A(x)} = {x, A(x)}c .
— La conjonction A ^ B (A et B ) correspond à l’intersection :
{x, A(x) ^ B(x)} = {x, A(x)} \ {x, B(x)}.
— La disjonction A _ B (A ou B, le ou étant non exclusif) correspond à la réunion :
{x, A(x) _ B(x)} = {x, A(x)} [ {x, B(x)}.
— Le quantificateur universel 8 (quel que soit, pour tout) correspond à une intersection :
{x, 8i 2 I, Ai (x)} = \i2I {x, Ai (x)}.
— Le quantificateur universel 9 (il existe) correspond à une réunion :
{x, 9i 2 I, Ai (x)} = [i2I {x, Ai (x)}.
— L’implication A ) B (A implique B ) correspond à une inclusion :
A ) B si et seulement si {x, A(x)} ⇢ {x, B(x)}.
— Quelques règles sur les connecteurs logiques :
(A ) B) , (A _ B),
A ^ B , A _ B,
A ^ (B _ C) , (A ^ B) _ (A ^ C),
⇣
⌘
(8x, A(x)) , 9x, A(x) ,
A , A,
A _ B , A ^ B,
A _ (B ^ C) , (A _ B) ^ (A _ C),
⇣
⌘
(9x, A(x)) , 8x, A(x) .
— Ces formules ont leur équivalent ensembliste. Par exemple, A _ B , A ^ B se retrouve facilement
si l’on se souvient que (A [ B)c = Ac \ B c (le complémentaire de la réunion est l’intersection des
complémentaires).
— Attention aux quantificateurs universels : la négation de ’il existe un entier naturel n, tel
que 2n + 3n soit premier ’ est ’pour tout entier naturel n, 2n + 3n n’est pas premier ’ et vice versa.
1
2
Applications
2.1
Injection, surjection, bijection
Définition. Soient E et F deux ensembles et f : E ! F une application.
1. f est injective si la relation suivante est vérifiée :
8 x 2 E, 8 y 2 E,
x 6= y ) f (x) 6= f (y).
(1)
2. f est surjective si, pour tout y 2 F , il existe x 2 E tel que f (x) = y.
3. f est bijective si elle est la fois injective et surjective.
Remarque.
1. Pour vérifier qu’une application f : E ! F est injective, on utilise souvent la contraposée
de (??) en prouvant que deux éléments x et y de E ayant mme image sont nécessairement égaux.
2. Une bijection d’un ensemble E sur lui-mme est parfois appelée permutation de E.
Proposition. La composée de deux applications injectives (resp. surjectives, bijectives) est injective (resp.
surjective, bijective).
Théorème. Soient f : E ! F et g : F ! G des applications. Si g
g f est surjective, g est surjective.
2.2
f est injective, f est injective. Si
Application réciproque
Considérons une application f : E ! F bijective. Pour tout y 2 F il existe un unique élément x 2 E
tel que f (x) = y. Posons x = f 1 (y).
Définition. L’application f
tion f .
1
Proposition. L’application f
1. f
1
: F ! E ainsi définie est appelée application réciproque de l’applica1
est aussi bijective, et vérifie :
f (x) = x pour tout x 2 E,
1 (y)
2. f
f
3. (f
1) 1
= y pour tout y 2 F ,
= f.
Les applications f et f
1
sont dites réciproques l’une de l’autre.
Théorème. Soit f : E ! F une application. S’il existe g : F ! E telle que g f = IdE et f
alors f est bijective et g = f 1 .
g = IdF ,
Remarque. Le résultat ci-dessus est très utile dans la pratique.
Proposition. Soient f : E ! F et g : F ! G deux applications bijectives. Alors g
bijective et :
(g f ) 1 = f 1 g 1 .
2.3
f : E ! G est
Ensembles et applications
On considère deux ensembles E et F et f : E ! F une application.
Définition. Pout toute partie A de E, l’ensemble f (A) = {y 2 F | 9x 2 A, f (x) = y} s’appelle image
directe de A par f . Pour toute partie B de F , l’ensemble f 1 (B) = {x 2 E | f (x) 2 B} s’appelle image
réciproque de B par f .
Remarque. On peut aussi écrire f (A) = {f (x), x 2 A}.
2
Proposition. Soient quatre parties A1 , A2 ⇢ E et B1 , B2 ⇢ F .
(1) f
1 (B
(2) f
1 (B
1
1
\ B2 ) = f
[ B2 ) = f
1 (B
1 (B
1)
1)
\f
[f
1 (B
2 ),
(5) f (f
1 (B
2 ),
(6) f
(3) f (A1 [ A2 ) = f (A1 ) [ f (A2 ),
(7) f
(4) f (A1 \ A2 ) ⇢ f (A1 ) \ f (A2 ).
1 )(B
1 ) ⇢ B1 ,
1 (f (A ))
A1 ,
1
1 (F \B ) = E\f 1 (B ),
1
1
Proposition. Si l’application f est injective, alors les inclusions (4) et (6) ci-dessus deviennent des
égalités.
Si l’application f est surjective, alors l’inclusion (5) ci-dessus devient une égalité.
3
Notions de dénombrement
3.1
Ensembles finis et exemples
Définition. Le cardinal d’un ensemble fini ⌦, noté card(⌦), représente son nombre d’éléments.
Exemples et définitions.
1. Soient E1 , E2 , ..., Ep des ensembles (pas forcément finis). Le produit
cartésien de ces ensembles est noté E1 ⇥E2 ⇥...⇥Ep et représente l’ensemble des p-uplets (e1 , ..., ep )
o ei 2 Ei , pour i 2 {1, ..., p}.
Si E1 , E2 , ..., Ep sont finis alors
card(E1 ⇥ E2 ⇥ ... ⇥ Ep ) =
p
Y
card(Ei ).
i=1
2. Soient X et Y deux ensembles (pas forcément finis). On note X Y l’ensemble des applications de
Y dans X.
Si X et Y sont finis alors
card(X Y ) = card(X)card(Y ) .
3. Une partition d’un ensemble ⌦ est une famille d’ensembles non vides {Ai }i2I telle que
[
Ai = ⌦
et
Ai \ Aj = ;,
pour
i 6= j.
i2I
Une telle partition est aussi notée
Si ⌦ et I sont finis, on a
F
i2I
Ai .
card(⌦) =
X
card(Ai ).
i2I
Conséquences : Soient A et B deux parties d’un ensemble fini ⌦. Alors :
(a)
card(Ac ) = card(⌦)
card(A),
(Ac = ⌦ \ A).
(b)
card(A [ B) = card(A) + card(B)
card(A \ B).
Proposition. Soient E et F deux ensembles finis. Alors :
1. S’il existe une injection de E dans F alors card(E)  card(F ).
2. S’il existe une surjection de E dans F alors card(E)
3
card(F ).
Proposition. Soit E un ensemble fini. Soit f : E ! E une application . Alors les trois conditions
suivantes sont équivalentes :
1. f est injective
2. f est bijective
3. f est surjective
3.2
Ensembles dénombrables
Définition. Un ensemble est dénombrable s’il est fini ou s’il est en bijection avec N.
Proposition.
2. Si
3. Si
1. Un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable.
: X ! Y est injective et si Y est dénombrable, alors X est dénombrable.
: X ! Y est surjective et si X est dénombrable, alors Y est dénombrable.
4. Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
5. Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Exemple. Z, Q et Q[X] sont dénombrables.
Théorème. R et l’ensemble {0, 1}N des suites valeurs dans {0, 1} ne sont pas dénombrables.
Définition. Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble des parties de E.
Corollaire. P(N) n’est pas dénombrable.
3.3
Analyse combinatoire
Dans cette sous-section, ⌦ désignera un ensemble non vide de cardinal fini égal n qui est dans N⇤ .
n! désignera 1 ⇥ 2 ⇥ 3 ⇥ ... ⇥ n. On convient que 0! = 1.
Définition. Soit p 2 N. Une p-liste de ⌦ est un élément de ⌦p
Proposition. L’ensemble des p-listes de ⌦ est de cardinal np .
Définition. Soit p 2 {0, ..., n}. Un p-arrangement de ⌦ (ou un arrangement p éléments) est une p-liste
ou p-uplet (x1 , ..., xp ) 2 ⌦p tel que x1 , ..., xp soient deux deux distincts.
Une permutation de ⌦ est un arrangement n élements. On note Sn l’ensemble des permutations.
Proposition. Le nombre de p-arrangements de ⌦, noté Apn est
Apn = n(n
1)...(n
p + 1) =
n!
(n
p)!
Le nombre de permutation de ⌦ est card(Sn ) = Ann = n!.
Remarque. Si p > n alors Apn = 0.
Définition. Soit p 2 {0, ..., n}. On appelle combinaison de p élements de ⌦ toute partie de ⌦ de cardinal
p.
Proposition. Le nombre de combinaisons de p élements de ⌦ noté Cnp ou
Cnp =
Remarque.
(n
1. Si p > n alors Cnp = 0.
2. Apn = p!Cnp .
4
n!
.
p)!p!
n
p
est
Proposition. Pour 0  p  n et 1  n, on a :
1. Cnp = Cnn
p
.
2. Cn0 = Cnn = 1.
3. Cn1 = Cnn
4.
1
= n.
Cnp
5. (a
= Cnp 11 + Cnp 1 ,
n
P
n
+ b)n = k=0 Cnk ak bn k ,
Remarque. card (P(⌦)) =
3.4
Pn
2,
p 2 {1, ..., n
1}.
a, b 2 C.
k
k=0 Cn
= 2n .
Application aux probabilités
Dans cette sous-section, ⌦ désignera un ensemble non vide de cardinal fini égal n qui est dans N⇤ .
Définition. Une probabilité est une fonction P de P(⌦) dans [0; 1] telle que
1. P(⌦) = 1.
2. P(A [ B) = P(A) + P(B), si A et B sont deux parties disjointes de ⌦.
Proposition.
1. P(Ac ) = 1
P(A).
2. P(;) = 0.
3. P(A) = P(A \ B) + P(A \ B c ).
4. P(A [ B) = P(A) + P(B)
P(A \ B).
Remarque. Supposons que
8(!, ! 0 ) 2 ⌦2 ,
P({!}) = P({! 0 }).
On est dans le cas d’équiprobabilité et pour tout A 2 P(⌦), on a
P(A) =
card(A)
.
card(⌦)
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EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 2 : Quelques rappels de topologie sur un espace métrique
1
Ouvert, fermé, compact
1.1
Espace métriques
Définition. (distance, espace métrique). Soit E un ensemble. On dit qu’une application d : E ⇥ E ! R+
est une distance sur E si d vérifie les trois propriétés suivantes :
(i) Propriété de séparation : 8x, y 2 E, d(x, y) = 0 ) x = y.
(ii) Propriété de symétrie : 8x, y 2 E, d(x, y) = d(y, x).
(iii) Inégalité triangulaire : 8x, y, z 2 E, d(x, z)  d(x, y) + d(y, z).
On appelle espace métrique tout couple (E, d) constitué d’un ensemble E et d’une distance d sur E.
Remarque. R et C sont des espaces métriques, munis de la distance d(x, y) = |x
s’applique donc également au cas de R ou C.
y|. Tout ce qui suit
Dans toute la suite on suppose que (E, d) est un espace métrique.
1.2
Ouverts, fermés
Définition. Pour tout x0 2 E et tout r > 0, on appelle boule ouverte de centre x0 et de rayon r
l’ensemble
B(x0 , r) = {x 2 E, d(x, x0 ) < r}.
On appelle boule fermée de centre x0 et de rayon r l’ensemble
B̄(x0 , r) = {x 2 E, d(x, x0 )  r}.
Définition.
1. Une partie U de E est un ouvert de E si pour tout x 2 U il existe " > 0 tel que
B(x, ") ⇢ U .
2. Une partie F de E est un fermé de E si et seulement si son complémentaire F c dans E est ouvert.
Proposition. Soit E un espace métrique et F une partie de E. Alors F est fermé si et seulement si pour
toute suite (xn )n d’éléments de F qui converge vers un élément x 2 E, alors x 2 F .
Remarque.
1. On omet souvent dans la pratique de préciser l’espace relatif à la notion de fermé ou
d’ouvert (par exemple on dira "U est un ouvert" au lieu de "U est un ouvert de R").
2. Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts et les intervalles fermés sont des fermés. Plus généralement, dans tout espace métrique E, toute boule ouverte est une partie ouverte et toute boule
fermée est une partie fermée.
Proposition. Soit I un ensemble.
Soient (Ui )i2I est une famille d’ouverts et (Fi )i2I une famille de fermés.
S
1. i2I Ui est un ouvert.
T
2. Si I est fini alors i2I Ui est un ouvert.
T
3. i2I Fi est un fermé.
1
4. Si I est fini alors
S
Fi est un fermé.
T
S
Remarque. Par contre si I n’est pas fini i2I Ui n’est pas nécessairement ouverte et i2I Fi n’est pas
nécessairement fermée comme en témoignent les deux exemples suivants :
\ i 1 1h
[h
1i
,
= {0} non ouvert,
0, 1
= [0, 1[ non fermé.
n n
n
i2I
n>0
1.3
n>0
Adhérence d’un ensemble
Définition. Soit P une partie de E et x 2 E. On dit que x est adhérent à P si et seulement si
8" > 0,
B(x, ") \ P 6= ;.
On appelle l’adhérence de P dans E et on note P l’ensemble des points adhérents à P .
Proposition. Soit P une partie de E et x 2 E. Alors x est dans P si et seulement si x est la limite d’une
suite (xn )n2N d’éléments de P .
Proposition. Une partie P de E est fermée dans E si et seulement si P = P .
Proposition. Soit P une partie de E. Alors P est l’intersection de tous les fermés contenant P . C’est
donc le plus petit fermé contenant P .
1.4
Compacts
Définition. Soit K une partie d’un espace métrique E. On dit que K est compact si il vérifie la propriété :
Propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de K par des ouverts on peut extraire un sousrecouvrement fini.
S
Ceci se traduit de la manière suivante : si (Ui )i2I
est
une
famille
d’ouverts
telle
que
K
⇢
i2I Ui alors il
S
existe un sous-ensemble fini J ⇢ I tel que K ⇢ i2J Ui .
Proposition. Soit K une partie d’un espace métrique E. K est compact si et seulement si il vérifie la
propriété suivante :
Propriété de Bolzano-Weierstrass : toute suite d’éléments de K admet une sous-suite convergente dans K.
Proposition. Soit K une partie de R, C, Rn ou Cn . Alors K est compact si et seulement si K est une
partie fermée et bornée.
Exemple. Les segments de R sont compacts. Plus généralement, toute boule fermée de R ou C est compacte.
Proposition.
1. Une union finie de compacts est compacte.
2. Une intersection de compacts est compacte.
2
Fonctions
2.1
Cas général
Soient (E, d) et (F, d0 ) deux espaces métriques.
Définition. Soit P une partie de E et f : P ! F une fonction.
1. La fonction f est continue en x0 2 P si
8" > 0,
9 = (x0 , ") > 0,
Il est important de noter que ici
8x 2 P,
dépend de x0 .
2
d(x, x0 ) 
) d0 (f (x)
f (x0 )) < ".
2. La fonction f est dite continue sur P si elle est continue en tout point de P .
Proposition. Soit f : P ! F une fonction. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. f est continue en a.
2. Pour toute suite {an }n2N d’éléments de P ayant pour limite a, on a
lim f (an ) = f (a).
n!+1
Proposition. Soit K un compact d’un espace métrique E. Alors toute fonction f : K ! R est bornée et
atteint ses bornes.
Proposition. Soit f : E ! F une fonction. Alors :
1. l’image réciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert de E ;
2. l’image réciproque par f d’un fermé de F est un fermé de E ;
3. l’image directe par f d’un compact de E est un compact de F .
Définition. f : P ! F est uniformément continue sur P si elle vérifie la propriété (UC) :
(UC) 8" > 0,
9 = (") > 0,
Il est important de noter que ici
8(x, y) 2 P 2 ,
d(x, y) <
) d0 (f (x), f (y)) < ".
ne dépend que de ".
Théorème (Heine). Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Exemple. La fonction x 7! x2 n’est pas uniformément continue sur R, tout comme x 7!
Définition.
1
sur ]0; 1[.
x
1. Soit k 2 R+ . On dit que f : P ! F est k-lipschitzienne sur P si
8(x1 , x2 ) 2 P 2 ,
d0 (f (x1 ), f (x2 ))  k d(x1 , x2 ).
2. On dit que f est lipschitzienne sur P s’il existe k 2 R+ tel que f soit k-lipschitzienne sur P .
Proposition. Si f est lipschitzienne, alors f est uniformément continue.
Proposition. Théorème des valeurs intermédiaires Soient a < b 2 R et f : [a, b] ! R une fonction
continue à valeurs dans R. Supposons que f (a)  f (b). Alors :
8 2 [f (a); f (b)], 9c 2 [a, b], f (c) = .
3
Suites
Définition. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n une suite d’éléments de E.
La suite (xn )n a une valeur d’adhérence x si toute boule ouverte B(x, ") contient une infinité de valeurs
de la suite (xn ). Ceci s’écrit aussi :
8" > 0, 8n0 2 N, 9n
n0 ,
d(xn , x) < ".
Ceci est équivalent à dire qu’il existe une sous-suite (x'(n) )n de (xn )n qui converge vers x (' est ici une
injection croissante de N dans N). On dit également qu’on peut extraire une sous-suite de (xn )n (ou encore
qu’il existe une suite extraite de (xn )n ) qui converge vers x.
Proposition.
1. Une suite convergente a une unique valeur d’adhérence, qui est sa limite.
2. Dans R, C, Rn , Cn , la réciproque est vraie si la suite est bornée : une suite bornée ayant une seule
valeur d’adhérence est convergente.
Remarque. Il est utile dans la pratique de vérifier qu’une suite concrète n’est pas convergente en exhibant
deux valeurs d’adhérences.
3
4
Ordre sur R
Théorème. Soit A une partie non vide de R.
1. Si A a un majorant, alors A a un plus petit majorant, qu’on appelle borne supérieure de A.
2. Si A a un minorant, alors A a un plus grand minorant, qu’on appelle borne inférieure de A.
Proposition. Soit A une partie non vide de R et m et M deux réels.
1. M est la borne supérieure de A si et seulement si M vérifie les deux assertions suivantes :
(a) 8a 2 A, a  M ,
(b) 8" > 0, 9a 2 A\]M
", M ].
2. m est la borne inférieure de A si et seulement si m vérifie les deux assertions suivantes :
(a) 8a 2 A, a
m
(b) 8" > 0, 9a 2 A \ [m, m + "[.
4
EV2- Mathématiques Appliquées
Ecole Polytechnique, 2016
Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries
Numériques
1
1.1
Fonctions usuelles
Quelques rappels
Théorème. (Fonctions exponentielle, logarithme, puissance)
• La fonction exponentielle exp est définie et dérivable sur R. Elle réalise une bijection strictement croissante de R sur Rú+ .
• La fonction logarithme népérien ln est définie et dérivable sur Rú+ . ln est la fonction réciproque de exp.
ln réalise une bijection strictement croissante de Rú+ sur R.
• Pour x œ Rú+ et y œ R, on définit ’x puissance y’ par xy = ey ln x .
• Soit – œ R. La fonction puissance x ‘æ x– est définie et dérivable sur Rú+ . Si – ”= 0, elle réalise une
bijection de Rú+ sur Rú+ . Sa fonction réciproque est x ‘æ x1/– .
• Soient –, — œ Rú+ . On a les relations de comparaison suivantes :
Comparaison exponentielle/puissances :
Comparaison puissances/logarithme :
Comparaison exponentielle/logarithme :
lim x– e≠—x = 0.
xæ+Œ
lim (ln x)— x≠– = 0,
xæ+Œ
lim x– (ln x)— = 0.
xæ0+
lim (ln x)— e≠–x = 0.
xæ+Œ
Théorème. (Les fonctions circulaires et leur réciproque)
5
6
fi fi
• sinus, fonction impaire, réalise une bijection strictement croissante de ≠ ,
sur [≠1, 1]. Sa fonction
2 2
réciproque est appelée arcsinus et notée arcsin. arcsinus est impaire, définie et continue sur [≠1, 1], dérivable sur ] ≠ 1, 1[.
• cosinus, fonction paire, réalise une bijection strictement décroissante de [0, fi] sur [≠1, 1]. Sa fonction
réciproque est appelée arccosinus et notée arccos. arccosinus est définie et continue sur [≠1, 1], dérivable
sur ] ≠ 1, 1[.
Ô
• On a ’x œ] ≠ 1, 1[, cos(arcsin x) = sin(arccos x) = 1 ≠ x2 .
6
5
fi fi
• tangente, fonction impaire, réalise une bijection strictement croissante de ≠ ,
sur R. Sa fonction
2 2
réciproque est appelée arctangente et notée arctan. arctan est impaire, définie et dérivable sur R.
Théorème. (Les fonctions hyperboliques et leur réciproque)
• Pour x œ R, on définit le cosinus hyperbolique, noté chx, le sinus hyperbolique, noté shx, et la tangente
hyperbolique, notée thx, par :
ch x =
ex + e≠x
,
2
sh x =
ex ≠ e≠x
,
2
th x =
sh x
.
ch x
On a la relation : ch2 x ≠ sh2 x = 1.
• La fonction ch est paire, définie et dérivable sur R. ch réalise une bijection de R+ sur [1, +Œ[. Sa
réciproque argch est appelée fonction argument cosinus hyperbolique. argch est définie et continue sur
[1, +Œ[, dérivable sur ]1, +Œ[. De plus,
’x œ [1, +Œ[, argch x = ln(x +
1

x2 ≠ 1).
• La fonction sh est impaire, définie et dérivable sur R. sh réalise une bijection de R sur R. Sa réciproque
argsh est appelée fonction argument sinus hyperbolique. argsh est définie et dérivable sur R. De plus,
’x œ R, argsh x = ln(x +

x2 + 1).
• La fonction th est impaire, définie et dérivable sur R. th réalise une bijection de R sur ] ≠ 1, 1[. Sa
réciproque argth est appelée fonction argument tangente hyperbolique. argth est impaire, définie et dérivable
sur ] ≠ 1, 1[. De plus,
3
4
1
1+x
’x œ] ≠ 1, 1[, argth x = ln
.
2
1≠x
1.2
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
ex
ln(x)
x– avec – ”= 0
ax avec a > 0
cos x
sin x
tan x
chx
shx
thx
arccos x
arcsin x
arctan x
argchx
argshx
argthx
1.3
Dérivée
ex
1
x
–≠1
–x
(ln a) ax
≠ sin x
cos x
1 + tan2 x = cos12 x
shx
chx
1
2
1 ≠ th x = 2
ch x
1
≠Ô
1 ≠ x2
1
Ô
1 ≠ x2
1
1 + x2
1
Ô
2
x ≠1
1
Ô
2
x +1
1
1 ≠ x2
Ensemble de définition
R
Rú+
ú
R+ (R si – œ N)
R
R
R
fi
fi
] ≠ 2 + kfi, 2 + kfi[, k œ Z
R
R
Ensemble de dérivabilité
idem
idem
idem
idem
idem
idem
idem
idem
idem
R
idem
[≠1, 1]
] ≠ 1, 1[
[≠1, 1]
] ≠ 1, 1[
R
idem
[1, +Œ[
]1, +Œ[
R
idem
] ≠ 1, 1[
idem
Formules remarquables concernant les fonctions circulaires
Théorème (Formules pour cos et sin). Pour tous réels a, b, on a :
— Formules d’addition et de produit
I
cos(a + b) = cos a cos b ≠ sin a sin b,
cos(a ≠ b) = cos a cos b + sin a sin b,
cos a cos b =
sin a cos b =
sin a sin b =
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
sin(a ≠ b) = sin a cos b ≠ cos a sin b,
1
(cos(a + b) + cos(a ≠ b)) ,
2
1
(sin(a + b) + sin(a ≠ b)) ,
2
1
(cos(a ≠ b) ≠ cos(a + b)) ,
2
Y
1
2
1
2
]cos a + cos b = 2 cos a+b cos a≠b ,
12 2
12 2
[cos a ≠ cos b = ≠2 sin a+b sin a≠b ,
2
I
2
2
Y
1
2
1
2
]sin a + sin b = 2 sin a+b cos a≠b ,
1 2 2
1 2 2
[sin a ≠ sin b = 2 cos a+b sin a≠b .
2
2
— Formules de duplication :
I
cos(2a) = cos2 a ≠ sin2 a = 2 cos2 a ≠ 1 = 1 ≠ 2 sin2 a,
sin(2a) = 2 sin a cos a,
I
cos2 a = 1+cos(2a)
,
2
1≠cos(2a)
2
sin a =
.
2
Théorème (Formules pour tan). Pour tous réels a, b, on a :
— Formules d’addition :
tan(a + b) =
— Formule de duplication :
tan a + tan b
,
1 ≠ tan a tan b
tan(a ≠ b) =
tan a ≠ tan b
.
1 + tan a tan b
2 tan a
.
1 ≠ tan2 a
: On pose t = tan a2 .
tan(2a) =
— Expression en fonction de tan a2
cos a =
2
1 ≠ t2
,
1 + t2
sin a =
2t
,
1 + t2
tan a =
2t
.
1 ≠ t2
Equivalents, relations de comparaison, développements asymptotiques
Soit I un intervalle de R, a œ I¯ (a pouvant être infini) et f, g : I æ R. On fait l’hypothèse que f et g
ne s’annulent pas sur un voisinage de a privé de a.
Définition. On dit que
— f est faiblement dominée par g en a, que l’on note f = O(g), si il existe un voisinage V de a et
M>0 tels que
’x œ V fl A, |f (x)| Æ M |g(x)|;
— f est négligeable devant g en a, que l’on note f = o(g) ou f (x) << g(x), si
f (x)
= 0;
xæa g(x)
lim
— f est équivalente à g en a, que l’on note f (x) ≥ g(x), si
a
lim
xæa
f (x)
= 1;
g(x)
Exemple : En +Œ, on a les relations de négligeabilité suivantes :
’–, — > 0, ’b > 1,
(ln x)— <<+Œ x– <<+Œ bx .
Définition. (Développement asymptotique)
On appelle développement asymptotique de f en a une décomposition de la forme
f (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fp (x) + o(fp (x)),
où l’on a
fp (x) << fp≠1 (x) << . . . << f2 (x) << f1 (x).
3
3
Développements limités
On note K = R ou C.
Définition. Soit I µ R un intervalle d’intérieur non vide, f : I æ K et x0 œ I¯ (x0 est ici fini). f admet
en x0 un développement limité (DL) à l’ordre n, s’il existe a0 , a1 , . . . an dans R, tels que
f (x) = a0 + a1 (x ≠ x0 ) + a2 (x ≠ x0 )2 + . . . + an (x ≠ x0 )n + o ((x ≠ x0 )n ) .
Si un tel DL existe, il est unique. On parle alors du DL de f en x0 à l’ordre n.
Théorème. (Formule de Taylor-Young) Soit f : I æ K, x0 œ R. On suppose f n fois dérivable en x0 .
Alors f admet un développement limité en x0 à l’ordre n, donné par le polynôme de Taylor d’ordre n :
f Õ (x0 )
f (n) (x0 )
(x ≠ x0 ) + . . . +
(x ≠ x0 )n + o ((x ≠ x0 )n ) .
1!
n!
Remarque. Si f : I æ K admet un développement limité en x0 à l’ordre n qui s’écrit
f (x) = f (x0 ) +
f (x) = f (x0 ) + a1 (x ≠ x0 ) + . . . + an (x ≠ x0 )n + o ((x ≠ x0 )n ) ,
et si on sait que f est n fois dérivable en x0 , alors
f (k) (x0 )
.
k!
Théorème. Si f admet en x0 un développement limité à l’ordre n, alors f est continue en x0 . Si n Ø 1,
alors f est dérivable en x0 .
’k œ {0, . . . , n}, ak =
Théorème. (Intégration des! o) Soit „ ": I æ R, dérivable sur I, vérifiant „(x0 ) = 0 et „Õ (x) =
o ((x ≠ x0 )n ). Alors „(x) = o (x ≠ x0 )n+1 .
3.1
Opérations sur les développements limités
Théorème. Soient f, g : I æ E admettant des DL en x0 à l’ordre n, f (x) = P (x ≠ x0 ) + o ((x ≠ x0 )n ),
g(x) = Q(x ≠ x0 ) + o ((x ≠ x0 )n ), où P, Q sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Alors :
• (Somme de DL) –f + —g admet en x0 le DLn (–f + —g)(x) = (–P + —Q)(x ≠ x0 ) + o ((x ≠ x0 )n ) .
• (Produit de DL) f g admet en x0 le DLn (f g)(x) = R(x ≠ x0 ) + o ((x ≠ x0 )n ), où R est le polynôme
obtenu en tronquant le polynôme PQ à l’ordre n.
f
• (Fraction de DL) Si de plus g(a) ”= 0, alors admet en x0 le DLn ( fg )(x) = R(x≠x0 )+o ((x ≠ x0 )n ),
g
où R est le polynôme quotient de la division de P (X) par Q(X) selon les puissances croissantes à l’ordre
n. Autrement dit, il existe un polynôme S tel que P (X) = Q(X)R(X) + X n+1 S(X).
Théorème. • (Composition de DL) Soient I et J deux intervalles de R contenant 0. Soit f : I æ J
telle que f (0) = 0 et admettant en 0 un développement limité à l’ordre n : f (x) = P (x) + o(xn ). Soit
g : J æ K admettant en 0 un développement limité à l’ordre n : g(x) = Q(x) + o(xn ).
Alors g ¶ f admet en 0 un développement limité à l’ordre n : g ¶ f (x) = R(x) + o(xn ), où R(X) est le
polynôme obtenu en tronquant à l’ordre n le polynôme Q(P (X)).
3.2
Développements limités des fonctions usuelles
Théorème. On a les développements limités suivants :
x
x2
xn
+
+ ... +
+ o(xn ),
1!
2!
n!
–(– ≠ 1) 2
–(– ≠ 1) . . . (– ≠ n + 1) n
= 1 + –x +
x + ... +
x + o(xn ), (– œ R),
2!
n!
ex = 1 +
(1 + x)–
1
1≠x
= 1 + x + . . . + xn + o(xn ),
ln(1 + x) = x ≠
x2
xn
+ . . . + (≠1)n
+ o(xn ),
2
n
4
x2
2!
x2
1+
2!
x3
x≠
3!
x3
x+
3!
x3
x≠
3
x3
x+
3
x3
x+
6
x3
x≠
6
x3
x+
3
cos x = 1 ≠
chx =
sin x =
shx =
arctan(x) =
argth(x) =
arcsin(x) =
argsh(x) =
tan(x) =
4
+ . . . + (≠1)n
x2n
+ o(x2n+1 ),
(2n)!
x2n
+ o(x2n+1 ),
(2n)!
x2n+1
+ . . . + (≠1)n
+ o(x2n+2 ),
(2n + 1)!
x2n+1
+ ... +
+ o(x2n+2 ),
(2n + 1)!
x2n+1
+ . . . + (≠1)n
+ o(x2n+2 ),
2n + 1
x2n+1
+ ... +
+ o(x2n+2 ),
2n + 1
1.3 . . . (2n ≠ 1) x2n+1
+ ... +
+ o(x2n+2 ),
2.4 . . . (2n) 2n + 1
1.3 . . . (2n ≠ 1) x2n+1
+ . . . + (≠1)n
+ o(x2n+2 ),
2.4 . . . (2n) 2n + 1
2
17 7
+ x5 +
x + o(x7 ).
15
315
+ ... +
Séries numériques
On note K = R ou C.
Définition. (Convergence et sommes partielles)
q
Soit (un ) une suite de nombres réels ou complexes (un œ K). On appelle sommes partielles de la série un
les Sn :=
n
ÿ
uk . On dit que la série de terme général un converge si la suite des sommes partielles (Sn )n
k=0
converge dans K. Dans ce cas, la limite de (Sn ) est appelée somme de la série :
+Œ
ÿ
un = lim
næ+Œ
n=0
lim Sn . Une série non convergente est dite divergente.
n
ÿ
uk =
k=0
næ+Œ
Définition. (Restes partiels)
q
Soit
un une série convergente. Alors la série
ÿ
uk est convergente. Sa somme est notée Rn , on
kØn+1
l’appelle reste partiel de la série. On a donc ’n œ N, Sn + Rn =
+Œ
ÿ
uk et lim Rn = 0.
k=0
næ+Œ
Définition. (Convergence
absolue)
ÿ
ÿ
On dit que la série
un est absolument convergente (ou converge absolument) si
|un | converge.
n
n
Remarque.
— Une série absolument convergente est convergente.
— La somme de deux séries convergentes est convergente.
— La somme d’une série convergente et d’une série divergente est divergente.
— Il n’y a pas de résultat général pour la somme de deux séries divergentes.
Théorème. Si la série
q
un converge, alors la suite un tend vers 0.
5
Exemples.
• La série géométrique : un = an . La série
série est absolument convergente et on a
q
+Œ
ÿ
un converge si et seulement si |a| < 1 et dans ce cas, la
an =
n=0
• Les séries de Riemann : un =
Si – > 1, on a Rn ≥
1
1
–≠1 n–≠1
1
.
1≠a
q
1
, où – œ R. La série un converge si et seulement si – > 1.
–
n
1≠–
; si – < 1, on a Sn ≥ n1≠– ; si – = 1, on a Sn ≥ ln n.
ÿ
1
,
où
n
Ø
2,
–,
—
œ
R.
La
série
un converge si et seulen– (ln n)—
nØ2
ment si (– > 1) ou (– = 1 et — > 1).
• Les séries de Bertrand : un =
• Les séries alternées : un = (≠1)n an . Si an est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers 0
q
lorsque n tend vers +Œ alors la série n un est convergente.
Théorème. (Comparaison de séries à termes positifs)
q
q
• Soit un et vn deux séries à termes positifs telles que un = o(vn ) (resp. un = O(vn )). Alors
q
q
— (i) si la série vn converge, la série un converge également et Rn (u) = o(Rn (v))
(resp. Rn (u) = O(Rn (v))) ;
q
q
— (ii) si la série un diverge, la série vn diverge également et Sn (u) = o(Sn (v))
(resp. Sn (u) = O(Sn (v))).
q
q
• Soit
un et
vn deux séries telles que ’n, vn Ø 0, et un ≥ vn . Alors les deux séries sont de même
nature et
q
q
— (i) si la série vn converge, la série un converge également et Rn (u) ≥ Rn (v) ;
q
q
— (ii) si la série vn diverge, la série un diverge également et Sn (u) ≥ Sn (v).
Théorème. (Règle de D’Alembert)
un+1
On suppose un > 0 et lim
= l. Alors
næ+Œ un
q
— si l > 1 la série n un est divergente,
q
— si l < 1 la série n un est convergente,
— si l = 1, on ne peut pas conclure.
Théorème. (Règle de Cauchy)
On suppose un > 0 et lim (un )1/n = l. Alors
næ+Œ
q
— si l > 1 la série n un est divergente,
q
— si l < 1 la série n un est convergente,
— si l = 1, on ne peut pas conclure.
Remarque. Une série de terme général positif et décroissant peut être comparée à une intégrale.
6
Ecole Polytechnique, 2016
EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 4 : Suites et Séries de Fonctions, Séries Entières
Sauf précisions, on désigne par I une partie de R (ou C), par f une application, (fn ) une suite d’applications,
f et chaque fn allant de I vers R (ou C).
1
Suites de fonctions
1.1
Différentes notions de convergence
Définition.
— On dit que la suite (fn ) converge vers f sur I si
8 x 2 I, 8 " > 0, 9 n0 = n0 (x, ") 2 N, 8 n 2 N, {n > n0 ) |fn (x)
f (x)| < "},
et l’on écrit limn!1 fn (x) = f (x).
— On dit que la suite (fn ) converge uniformément vers f sur I si
8 " > 0, 9 n0 = n0 (") 2 N, 8 x 2 I, 8 n 2 N, {n > n0 ) |fn (x)
f (x)| < "}.
Proposition. Soit mn = supx2I |fn (x) f (x)|. Alors la suite (fn ) converge uniformément vers f sur I
ssi la suite de réels (mn ) converge vers 0.
Proposition. La convergence uniforme implique la convergence simple.
Remarque. La réciproque n’est pas vraie comme en témoigne l’exemple de la suite suivante fn :
⇢
[0, 1] ! R
.
x
7! xn
Proposition. La suite (fn ) converge uniformément vers f ssi elle vérifie le critère de Cauchy uniforme
suivant
8 " > 0, 9 n0 = n0 (") 2 N, 8 (p, q) 2 N2 , {p, q > n0 ) sup |fp (x) fq (x)| < "}.
x2I
1.2
Propriétés des suites de fonctions
Théorème (Interversion de limites). On suppose que la suite de fonctions (fn ) converge uniformément
sur I vers une fonction f . Soit x0 2 I¯ tel que pour tout n 2 N, la limite limx!x0 fn (x) existe. Alors les
deux limites ci-dessous existent et on a
lim
lim fn (x) = lim
n!+1 x!x0
lim
x!x0 n!+1
fn (x).
Théorème (Continuité). On suppose que
1. pour tout entier n la fonction fn est continue sur I,
2. la suite (fn ) converge uniformément sur tout segment de I vers f .
Alors la fonction f est continue sur I.
Théorème (Intégration). On suppose que I = [a, b] segment de R, et que
1. pour tout entier n la fonction fn est Riemann-intégrable sur [a, b],
2. la suite (fn ) converge uniformément sur [a, b] vers f .
1
Ecole Polytechnique, 2016
EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 5 : Equations différentielles Linéaires
K désigne l’un des corps de base R ou C, I un intervalle de R.
1
1.1
Equations différentielles du premier ordre
Equations homogènes (sans second membre)
Théorème : (Equation différentielle y 0 + a(x)y = 0)
Soient a 2 C(I, K), A une primitive de a sur I et y une fonction dérivable sur I. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) y 0 + ay = 0 sur I.
(ii) Il existe 2 K, tel que y = e A sur I.
Si de plus une condition initiale y(x0 ) = y0 est imposée, avec x0 2 I et y0 2 K, alors la valeur de la
constante est fixée ; l’équation avec condition initiale possède une unique solution.
1.2
Equations avec second membre
Théorème : (Equation différentielle y 0 + a(x)y = b(x))
Soient a, b 2 C(I, K), A une primitive de a sur I, x0 2 I et y0 2 K.
Il existe une unique solution sur I de l’équation y 0 + a(x)y = b(x) telle que y(x0 ) = y0 ; elle est définie
par :
Z x
8x 2 I, y(x) = y0 eA(x0 ) A(x) +
b(t)eA(t) A(x) dt.
x0
Théorème : (Equation différentielle y 0 + a(x)y = b(x), solutions générale et particulière)
Soient a, b 2 C(I, K), A une primitive de a sur I, ȳ une solution particulière de l’équation y 0 + a(x)y = b(x)
sur I. Soit de plus y une fonction dérivable sur I. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) y 0 + ay = b sur I.
(ii) Il existe 2 K tel que, sur I, on ait
y
|{z}
solution générale de l’équation avec second membre
=
ȳ
|{z}
solution particulière
+
A
| e{z }
solution générale de l’équation homogène
En d’autres termes, si on connaît une solution particulière de l’équation y 0 + a(x)y = b(x), alors on en
connaît toutes les solutions.
Théorème : (Principe de superposition)
Soient a, b1 , b2 2 C(I, K). Si y1 est une solution particulière sur I de y 0 + a(x)y = b1 (x) et si y2 est une
solution particulière sur I de y 0 + a(x)y = b2 (x), alors 1 y1 + 2 y2 est une solution particulière sur I de
y 0 + a(x)y = 1 b1 (x) + 2 b2 (x), pour tous 1 , 2 2 K.
1
1.3
Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
Pour résoudre une équation différentielle du premier ordre y 0 + a(x)y = b(x) :
• Trouver toutes les solutions de l’équation homogène associée y 0 + a(x)y = 0. Ces solutions sont les
A(x) , avec
0e
0 2 K et A primitive de a sur I.
• Trouver une solution particulière ȳ de l’équation avec second membre y 0 + a(x)y = b(x), à l’aide de la
méthode de variation de la constante :
On cherche ȳ sous la forme
ȳ = (x)e A(x) .
On obtient ( 0 e A
A0 e A ) + a e A = b soit après simplifications 0 = beA . On cherche alors
tive quelconque de beA .
• Les solutions de y 0 + a(x)y = b(x) sont alors les ȳ + 0 e A(x) , 0 2 K.
• Si de plus une condition initiale est imposée, alors on ajuste la constante 0 en conséquence.
1.4
primi-
Recherche d’une solution particulière pour des équations différentielles linéaires
à coefficients constants, pour des seconds membres b(x) spécifiques
On considére l’équation différentielle linéaire à coefficients constants y 0 + ay = b(x), où a 2 K. Soit P
un polynôme de degré n, à coefficients dans K et k 2 K.
— Equations y 0 + ay = P (x)ekx :
On cherche une solution sous la forme x 7! Q(x)ekx , où Q est un polynôme à coefficients dans K,
de degré :
1. deg(Q)  n si k 6=
a;
2. deg(Q)  n + 1 si k =
a.
— Pour K = R : Equations y 0 + ay = P (x) cos(kx) ou y 0 + ay = P (x) sin(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution complexe yC de y 0 + ay = P (x)eıkx . Alors
<(yC ) est une solution particulière de y 0 + ay = P (x) cos(kx) et =(yC ) est une solution particulière
de y 0 + ay = P (x) sin(kx).
— Pour K = R : Equations y 0 + ay = P (x)ch(kx) ou y 0 + ay = P (x)sh(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution y + de y 0 + ay = P (x)ekx et une solution
+
y de y 0 + ay = P (x)e kx . Alors y +y
est une solution particulière de y 0 + ay = P (x)ch(kx) et
2
+
y
y
est une solution particulière de y 0 + ay = P (x)sh(kx), d’après le principe de superposition.
2
2
2.1
Equations différentielles du second ordre à coefficients constants
Equations homogènes (sans second membre)
Théorème : (Equation différentielle ay 00 + by 0 + cy = 0)
Soient a, b, c 2 K avec a 6= 0. On appelle polynôme caractéristique de l’équation ay 00 + by 0 + cy = 0 le
polynôme aX 2 + bX + c. Notons = b2 4ac son discriminant.
• Cas complexe (K = C).
1. Si
6= 0, soient r1 et r2 les racines distinctes de aX 2 + bX + c. Les solutions complexes de ay 00 +
by 0 + cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7!
1e
r1 x
+
2e
r2 x
,
1,
2
2 C.
2. Si = 0 , soit r l’unique racine de
+ c. Les solutions complexes de ay 00 + by 0 + cy = 0 sont
alors toutes les fonctions x 7! ( x + µ)erx , , µ 2 C.
aX 2 + bX
2
• Cas réel (K = R).
1. Si
> 0, soient r1 et r2 les racines (réelles) distinctes de aX 2 + bX + c. Les solutions réelles de
ay 00 + by 0 + cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7! 1 er1 x + 2 er2 x , 1 , 2 2 R.
2. Si = 0 , soit r l’unique racine de aX 2 + bX + c. Les solutions réelles de ay 00 + by 0 + cy = 0 sont
alors toutes les fonctions x 7! ( x + µ)erx , , µ 2 R.
3. Si < 0, soient r + i! et r i! les racines (complexes conjuguées) distinctes de aX 2 + bX + c. Les
solutions réelles de ay 00 +by 0 +cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7! ( sin(!x) + µ cos(!x)) erx ,
, µ 2 R, que l’on peut aussi mettre sous la forme x 7! sin(!x + )erx ou x 7! cos(!x + )erx ,
, 2 R.
Si de plus une condition initiale de la forme y(x0 ) = y0 et y 0 (x0 ) = y1 est fixée, avec x0 2 I et y0 , y1 2 K,
alors la valeur des constantes est fixée. L’équation avec condition initiale possède une unique solution.
2.2
Equations avec second membre
Théorème : (Equation différentielle ay 00 + by 0 + cy = d(x))
Soient a, b, c 2 K (avec a 6= 0), d 2 C(I, K), x0 2 I et y0 , y1 2 K. Il existe une unique solution sur I de
l’équation ay 00 + by 0 + cy = d(x) telle que y(x0 ) = y0 et y 0 (x0 ) = y1 .
Théorème : (Equation différentielle ay 00 + by 0 + cy = d(x))
Soient a, b, c 2 K (avec a 6= 0), d 2 C(I, K) et ȳ une solution particulière de l’équation ay 00 + by 0 + cy = d(x)
sur I. Soit de plus y : I ! K une application deux fois dérivable sur I. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) ay 00 + by 0 + cy = d sur I.
(ii)
y
|{z}
solution générale de l’équation avec second membre
=
ȳ
|{z}
solution particulière
+
ye
|{z}
solution générale de l’équation homogène
En d’autres termes, si on connaît une solution particulière de l’équation y 0 + a(x)y = b(x), alors on en
connaît toutes les solutions.
Théorème : (Principe de superposition)
Soient a, b, c 2 K avec a 6= 0, d1 , d2 2 C(I, K). Si y1 est une solution particulière sur I de ay 00 + by 0 + cy =
d1 (x) et si y2 est une solution particulière sur I de ay 00 + by 0 + cy = d2 (x), alors 1 y1 + 2 y2 est une solution
particulière sur I de ay 00 + by 0 + cy = 1 d1 (x) + 2 d2 (x), pour tous 1 , 2 2 K.
2.3
Recherche d’une solution particulière pour des seconds membres spécifiques
Soient a, b, c, k 2 K, a 6= 0, P un polynôme de degré n à coefficients dans K.
— Equation de la forme ay 00 + by 0 + cy = P (x)ekx :
On cherche les solutions sous la forme x 7! Q(x)ekx , où Q est un polynôme à coefficients dans K,
de degré :
1. deg(Q)  n si k n’est pas racine du polynôme aX 2 + bX + c.
2. deg(Q)  n + 1 si k est racine simple du polynôme aX 2 + bX + c.
3. deg(Q)  n + 2 si k est racine double du polynôme aX 2 + bX + c.
3
— Pour K = R : Equations ay 00 + by 0 + cy = P (x) cos(kx) ou ay 00 + by 0 + cy = P (x) sin(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution complexe yC de ay 00 + by 0 + cy = P (x)eıkx .
Alors <(yC ) est une solution particulière de ay 00 + by 0 + cy = P (x) cos(kx) et =(yC ) est une solution
particulière de ay 00 + by 0 + cy = P (x) sin(kx).
— Pour K = R : Equations ay 00 + by 0 + cy = P (x)ch(kx) ou ay 00 + by 0 + cy = P (x)sh(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution y + de ay 00 + by 0 + cy = P (x)ekx et une
+
solution y de ay 00 +by 0 +cy = P (x)e kx . Alors y +y
est une solution particulière de ay 00 +by 0 +cy =
2
+
P (x)ch(kx) et y 2 y est une solution particulière de ay 00 +by 0 +cy = P (x)sh(kx), d’après le principe
de superposition.
3
Rappel : primitives des fonctions usuelles
On suppose a > 0.
Fonction
x↵ avec ↵ 6=
x
1
x
1
a avec a > 0, a 6= 1
cos x
sin x
tan x
cosh x
sinh x
tanh x
tan2 x
1
cos2 x
1
sin2 x
1
sin x
1
cos x
tanh2 x
1
cosh2 x
1
sinh2 x
1
x2 + a2
1
2
a
x2
1
p
a2 x2
1
p
x2 + a2
1
p
2
x
a2
Primitive
x↵+1
↵+1
ln |x|
Ensemble de définition de la primitive
R⇤+ (R si ↵ 2 N)
ax
ln a
sin x
cos x
ln | cos x|
sinh x
cosh x
ln cosh x
tan x x
tan x
]
⇡
2
]
⇡
2
⇡
2
]
x
coth x = cos
sin x
⇣x⌘
ln tan
⇣x 2 ⇡ ⌘
ln tan
+
2
4
x tanh x
+ k⇡, ⇡2 + k⇡[, k 2 Z
]k⇡, ⇡ + k⇡[, k 2 Z
]k⇡, ⇡ + k⇡[, k 2 Z
⇡
2
]
+ k⇡, ⇡2 + k⇡[, k 2 Z
R
R
tanh x
1
tanh x
1
x
arctan
a
a
1
a+x
ln
2a
a x
x
arcsin
a
⇣
⌘
p
2
ln x + x + a2
p
ln x + x2 a2
R⇤+ ou R⇤
R
R
R
+ k⇡, ⇡2 + k⇡[, k 2 Z
R
R
R
⇡
+ k⇡, 2 + k⇡[, k 2 Z
R⇤+ ou R⇤
R
]
1, a[ ou ]
]
a, a[ ou ]a, +1[
a, a[
R
]
4
1, a[ ou ]a, +1[
Ecole Polytechnique, 2016
EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 6 : Fonctions Réelles de Plusieurs Variables Réelles
1
Limite, continuité
On considère Rn muni d’une norme k·k, U un ouvert de Rn et f : U ! R, x = (x1 , · · · , xn ) 7! f (x1 , · · · , xn )
une fonction de n variables réelles.
Définition (Limite). Soit a 2 U . On dit que f admet une limite l 2 R lorsque x tend vers a si
8 " > 0,
9↵ > 0,
8 x 2 U,
kx
ak < ↵ ) |f (x)
l| < ".
Définition (Continuité).
1. Soit a 2 U . On dit que f est continue en a si f admet comme limite f (a)
lorsque x tend vers a, c’est à dire
8 " > 0,
9↵ > 0,
8 x 2 U,
kx
ak < ↵ ) |f (x)
f (a)| < ".
2. La fonction f est continue sur U si elle est continue en tout point de U .
Théorème. Pour que l’application f soit continue en a 2 U , il est nécessaire mais non suffisant que
f soit continue par rapport à chacune des variables en ce point.
2
Différentielle
Définition. On dit que f est différentiable en un point a 2 U s’il existe une application linéaire
L de Rn dans R telle que
f (a + x) = f (a) + L(x) + o(kxk).
(1)
Proposition. Lorsque l’égalité (??) est satisfaite, l’application L est unique.
Définition. Si f est différentiable au point a, l’application linéaire unique L vérifiant (??) est appelée
différentielle de f au point a, et sera notée da f .
Remarque.
1. Lorsque f est affine de la forme f (x) = f (a) + '(x
a), où ' est linéaire, alors da f = '.
2. Lorsque n = 1 et donc
= R, la différentiabilité de f équivaut à sa dérivabilité, et sa différentielle
est l’application linéaire da f : R ! R, x 7! xf 0 (a).
Rn
3
Dérivées partielles
Définition (Dérivée directionnelle). Soit a 2 U et ~v un vecteur de Rn . On pose '~v (t) = f (a + t ~v ).On dit
que f admet une dérivée dans la direction de ~v si '~v est dérivable en 0, et l’on pose
D~v f (a) = '~v0 (0) = lim
t!0
f (a + t~v )
t
f (a)
.
En particulier, si l’on note (e1 , · · · , en ) la base canonique de Rn , la dérivée directionnelle dans la direction
@f
de ei , si elle existe, est appelée ième dérivée partielle, et est notée
(a).
@xi
1
Théorème. Supposons f différentiable en un point a. Alors les n dérivées partielles
point, et l’on a
n
X
@f
da f : (x1 , · · · , xn ) 7!
xi
(a).
@xi
@f
@xi (a)
existent en ce
i=1
Proposition. Si u1 , · · · , un sont n fonctions réelles dérivables en un réel t0 , et si f est dérivable en
(u1 (t0 ), · · · , un (t0 )) alors l’application g : t 7! f (u1 (t), · · · , un (t)) est dérivable en t0 , avec
g 0 (t0 ) =
n
X
i=1
4
u0i (t0 )
@f
(u1 (t0 ), · · · , un (t0 )).
@xi
Dérivées d’ordre supérieur
Définition. On définit les dérivées partielles d’ordre supérieur à 1 par la relation de récurrence
✓
◆
@pf
@
@p 1f
(x) =
(x)
@xi1 @xi2 · · · @xip
@xi1 @xi2 · · · @xip
Théorème (Schwarz). On suppose que n = 2 et que f admet des dérivées partielles
continues en un point x0 2 U . Alors on a
@2f
@2f
(x0 ) =
(x0 ).
@x@y
@y@x
2
@2f
@2f
et
@x@y
@y@x