Les fonctions usuelles

Les fonctions usuelles
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MPSI-Cauchy Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
14 octobre 2016
Le flocon de Von Koch est un objet de dimension ln 4
ln 3 ≈1.26
1 Rappels
1.1 Fonctions polynomiales et rationnelles
Proposition 1 : Les fonctions polynomiales
Les fonctions rationnelles sont continues d´erivables sur leurs ensembles de d´efinition.
Preuve 1 : R´esultats connus !
1.2 Logarithme n´ep´erien
D´ efinition 1 : La fonction logarithme
La fonction f: ]0,+∞[−→ ]0,+∞[
x7→ 1/x
est continue sur l’intervalle ]0,+∞[.
Elle admet donc des primitives.
On appelle ”fonction logarithme n´ep´erien” l’unique primitive de fqui s’annule en x= 1.
Cette fonction est not´ee :
ln : ]0,+∞[−→ R
x7→ ln x
1

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Proposition 2 : Rappel des propri´et´es principales
1. ln est d´erivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈]0 ; +∞[, (ln)′(x) = 1
x.
2. La fonction ln v´erifie : ∀x, y > 0,ln(xy) = ln x+ ln yet 
ln(1/x) = −ln x
ln(x/y) = ln x−ln y
ln xn=nln x∀n∈Z
3. On a : lim
x→0+ln x=−∞ et lim
x→+∞ln x= +∞
4. On a l’in´egalit´e classique : ∀x > 0,ln(x)≤x−1
5. On a la limite connue : ln(x+1)
x−−−→
x→01
Preuve 2 :
1. Par d´efinition de la fonction logarithme
2. (a) On d´erive la fonction fy(x) = ln(xy)−ln x−ln yo`u yest un param`etre strictement positif.
(b) Les deux autres formules s’en d´eduisent.
3. (a) La d´emonstration de la limite en +∞fait appel `a des th´eor`emes vus dans le cours sur la d´erivabilit´e.
(b) La limite en 0+s’en d´eduit.
4. On ´etudie le signe de la fonction f(x) = ln x−(x−1).
5. C’est la traduction de la d´erivabilit´e du logarithme en 0.
Remarque 1.Les r´esultats pr´ec´edents permettent d’obtenir le graphe de la fonction ln.
Graphe de la fonction logarithme
Exercice : 1
Prouver que pour tout entier n > 3, la d´eriv´ee nieme de la fonction f(x) = x2.ln xest donn´ee par :
f(n)(x) = 2.(−1)n−1(n−3)!
xn−2
Remarque 2.En physique ou SI, on utilise sous la fonction logarithme d´ecimal d´efinie par l’expression : log x=ln x
ln 10 .
1.3 Exponentielle
D´ efinition 2 : La fonction exponentielle
La fonction logarithme n´ep´erien est continue et strictement croissante sur I=R+∗.
Elle r´ealise donc une bijection de I=R+∗vers ln(I) = R.
On d´efinit la fonction exponentielle comme sa bijection r´eciproque : exp :R−→ ]0,+∞[
x7→ exp(x)
.
En raison des propri´et´es particuli`eres de la fonction exponentielle, on notera plutˆot :
exp(x) = ex
2

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Remarque 3.Vous verrez en deuxi`eme ann´ee que l’on peut d´efinir la fonction exponentielle par :
x7→ ex=
+∞
X
n=0
xn
n!
Proposition 3 : Rappel des propri´et´es principales
1. exp est d´erivable sur J=Ret ∀x∈R,exp′(x) = exp(x)
2. exp est un morphisme de groupes : ∀(x, y)∈R2,ex+y=exeyet enx = (ex)n∀n∈Z
e−x= 1/ex
3. On a l’in´egalit´e classique : ∀x∈R,ex≥1 + x
4. Limites : lim
x→−∞ ex= 0+et lim x→+∞ex= +∞.
5. Autre limite importante : lim
x→0
ex−1
x= 1 .
Preuve 3 :
1. On applique le th´eor`eme de d´erivation d’une fonction r´eciproque
2. C’est une cons´equence de la relation fonctionnelle ln(xy) = ln x+ ln y.
Les deux autres formules se d´eduisent facilement de la premi`ere.
3. On ´etudie la fonction f(x) = ex−(1 + x).
4. Ces deux limites se d´eduisent imm´ediatement des limites en 0+et en +∞de la fonction logarithme.
5. C’est la traduction de la d´erivabilit´e de l’exponentielle en 0.
Remarque 4.On obtient le graphe de la fonction exp par sym´etrie du graphe de ln par rapport `a la premi`ere bissectrice.
Dessin
Graphe de la fonction exponentielle
1.4 Fonctions puissance xα=eαln x(o`u α∈R! !)
D´ efinition 3 : D´efinition de xnpour n∈Z
Pour x∈Ret n∈N∗On a par d´efinition xn=x×x× ··· × x(nfois)
Pour x∈R∗net n∈Z\NOn a par d´efinition xn=1
x−n
Pour x∈ROn a par convention x0= 1
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D´ efinition 4 : D´efinition de xαpour α6∈ Z
Pour α6∈ Z, on d´efinit : fα: ]0,+∞[−→ R
x7→ xα=eαln x
Remarque 5.V´erifier la coh´erence de cette d´efinition avec les d´efinitions connues de xnlorsque n∈Zsur R+∗.
Proposition 4 : Les fonctions puissances v´erifient les propri´et´es usuelles des puissances enti`eres.
Ainsi, ∀(α, β)∈R2
∀x∈R+∗:
1. xα.xβ=xα+β
2. (xα)β=xα.β
3. xα
xβ=xα−β
Preuve 4 : La v´erification est imm´ediate !
Exemple 1. D´emontrer les formules ln(xα) = α. ln xet (ex)α=eαx pour tout α∈R.
Remarque 6.Les fonctions puissances montre que le flocon de Von Koch est un objet fractal de dimention ln 4
ln 3 .
D´ efinition 5 : Les fonctions ”racine ni`eme”
Soit n∈N∗.
La fonction f:x7→ xnest continue
strictement croissante sur R+. Elles sont donc bijectives de R+dans R+.
Leur bijection r´eciproque est appel´ee ”racine ni`eme” et est not´ee : f−1:R+−→ R+
x7→ n
√x
.
Remarque 7.On v´erifie facilement que pour tout x∈R+∗, on a : n
√x=x1
n
Proposition 5 :
1. fαest d´erivable sur R+∗(fonction compos´ee) et ∀x∈R+∗, f′
a(x) = αxα−1.
2. En notant I=]0,+∞[,
— Si α= 0, fαest constante et vaut 1.
— Si α > 0, fαest strictement croissante sur I.
— Si α < 0, fαest strictement d´ecroissante sur I.
Preuve 5 : V´erifications imm´ediates !
α= 1
0< α < 1
α < 0
α > 1
α= 0
Figure 1 – Fonctions puissance xα
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Proposition 6 : Continuit´e et d´erivabilit´e en 0
1. Lorsque α > 0, on peut prolonger par continuit´e fαet 0 en posant fα(0) = 0.
2. D´erivabilit´e en 0 :
— Si α > 1, fαest d´erivable en 0 avec f′
α(0) = 0.
— Si α= 1, fαest d´erivable en 0 avec f′
α(0) = 1.
— Si 0 < α < 1, fαn’est pas d´erivable en 0 (demi-tangente verticale).
Preuve 6 : Simples calculs de limites !
Proposition 7 : Inverse d’une fonction puissance
La fonction fαest bijective de R+∗dans R+∗et :
f−1
α=f1
α
Preuve 7 : On d´emontre facilement en v´erifiant que ∀x∈R+∗fαof 1
α(x) = f1 αofα(x) = x
Exercice : 2
Justifiez la d´erivabilit´e de la fonction fd´efinie sur ]0; π
2[ par f(x) = (cos2x)ln x.
Calculez sa d´eriv´ee.
Proposition 8 : Une nouvelle Forme Ind´etermin´ee
Lors du calcul de limite, la forme 1∞est une forme ind´etermin´ee !
Preuve 8 : Il suffit de calculer les limites en 0 des fonctions d´efinies par f1(x) = (1 + x)1
xet f2(x) = (1 −x)1 x.
Remarque 8.Rappel des diff´erentes formes ind´etermin´ees : 0
0,∞ ∞, 0 × ∞ et +∞ − ∞.
Remarque 9.Ne jamais prendre la limite d’une puissance qui d´epend de la variable ! !
On ´evite ce probl`eme en exprimant l’expression `a l’aide de la forme exponentielle qui d´efinit la fonction puissance.
1.5 Comparaison des fonctions ln,exp et puissances
D´ efinition 6 : Notation de Landau
Soit aune notation qui repr´esente, soit un r´eel, soit ±∞ (a∈¯ R).
Soient fet gdeux fonctions d´efinies au voisinage de a, avec gne s’annulant pas au voisinage de apriv´e de a.
On dira que fest n´egligeable devant gau voisinage de alorsque :
lim
x7→a
f(x)
g(x)= 0 et on ´ecrira : f(x) = o(g(x))
Th´ eor` eme 9 : Comparaison des fonctions usuelles en +∞
Soient α, β, γ trois r´eels strictement positifs.
1) Comparaison puissance et exponentielle : en +∞:xα=o(eβx)
2) Comparaison ln et puissance : en +∞: lnγx=o(xα) d’o`u xαlnβx−−−−→
x→0+0
3) Comparaison ln et exponentielle : en +∞: lnγx=o(eβx)
Preuve 9 :
1. On se ram`ene `a l’´etude de la limite de ex
xθen +∞. Puis on ´etudie la fonction f(x) = ex/2 xθ.
2. On se ram`ene `a la situation pr´ec´edente en posant y= ln x.
3. On utilise les deux r´esultats pr´ec´edents.
Exemple 2. Calculez les limites suivantes :
5