B I / Calculs plus ou moins subtils E . — Calculer les intégrales

Bcpst 1
Intégration
2/2017
Z
3.
Calculs plus ou moins subtils
Calculer les intégrales suivantes (n ∈
Ex. 1 —
N)
1
Z
xn dx
0
Z
1
(x + 1)n d x
0
Z
2
1
Z
1
dx
xn
1
3x 2 + 2x + 1 d x
0
Z
0
Z1
0
Z1
sin t cos5 t d t
4.
1
0
Z1
dt
(Trouver a, b tels que
t(t 7 + 1)
1
a
b
=
+
pour transforu(1 + u)
u
1+u
t6
mer 7
.)
t (1 + t 7 )
Z
nx n−1 d x
Z
Arctan(t 1/2 ) d t
5.
(2x + 1)n d x
Z
6.
x n/2 d x
3(x + 2)(x − 5) d x
0
tan x
cos2 x
(t 2
dt
(poser t = tan u)
+ 1)2
2x + 1
d x (Poser u = x(x + 1).)
+ 1)2
Z
7.
x 2 (x
Z
x n ln x d x (n ∈ N)
8.
Z
dx
p
1 + x − x2
9.
Z
Ex. 2 — Calculer les intégrales suivantes, à
l’aide d’une intégration par parties. Préciser l’ensemble
Z de valeurs de x .
x
1.
Arctan t d t
0
π /4
Z
cos x ln(1 + cos x) d x
2.
10.
? Ex. 5 —
I1 =
x
3.
I3 =
t ln t d t
I5 =
t sin(t) d t
Z
Ex. 3 — Calculer les primitives des fonctions
suivantes, en utilisant un changement de variables. Préciser à chaque fois un domaine de validité.
1
avec t = x/a ;
1. x 7→ 2
x + a2
2. x 7→ x 2 ln(x 6 − 1) avec u = x 3 ;
avec sin x = u ;
avec u = x 2 .
I7 =
I9 =
1.
Z
2.
x3
dx
1 + x4
1
dx
ex + 1
I2 =
Z
0
π /3
sin4 x
dx
cos6 x
π /4
π /4
I4 =
I6 =
Z
x tan2 x d x
0
1p
Z
1 − x2 d x
0
5
sin 2x ecos x d x
0
R π /4
Z
I8 =
Z
p
2
x
x −1
dx
x(tan2 x + tan4 x) d x
Ex. 6 — Calculer les intégrales suivantes
Z π2
sin3 x cos x
1.
d x (Poser u = sin x .)
1 + cos2 x
0
Z1
Calculer les primitives suivantes
t2 + 3
dt
(t + 1)4
2x − 4
dx
x 2 − 3x + 2
a3x e x d x
e2t ln(1 + e t ) d t (Poser u = e t .)
2.
Ex. 4 —
Z
Calculer les intégrales suivantes
0
π /2
0
3. x 7→ cos3 x
x
4. x 7→
1 + x4
1
Z
0
1
Z0 x
4.
4
Z
3
0
Z
Arctan x d x
Z0
3.
Z
dx
(Poser t = tan(x/2).) En déduire
sin x
p
3
1
dx
(Poser x = tan t .)
p
x 1 + x2
4.
1
2e2x + e x + 1
(Utiliser
dx
e2x + 1
0
2u2 + u + 1
a
bu + c
=
+ 2
pour a, b, c
2
u(u + 1)
u
u +1
bien choisis.)
Z
Astuces diverses
Ex. 12 — Soient a, b, c, d quatre réels. Soient les
primitives
Z
a cos x + b sin x
I=
dx
c cos x + d sin x
Z
cos x
J=
dx
c cos x + d sin x
Z
sin x
dx
K=
c cos x + d sin x
1
.
(x − 1)(x − 5)
Donner une primitive de f sur ] 1 ; 5 [.
On trouvera deux réels a et b tels que
Ex. 7 —
1. Soit f
∀x ∈ ] 1 ; 5 [ ,
: x 7→
a
b
1
=
+
(x − 1)(x − 5)
x −1 x −5
1. Calculer cJ + dK et dJ − cK .
1
2. Calculer une primitive de 2
.
x − 5x − 6
2. En déduire J et K , puis I .
Ex. 13 —
Fonctions définies par morceaux
Ex. 8 —
1. Calculer
Z 1›
0
Z
4x +
1
2
ž
In =
d x.
d x,
(n ∈ N).
Calculer I n+1 − I n . En déduire la valeur de I n
pour tout n.
sup x, (x − 1)2 d x .
2. Reprendre la question précédente avec
Z π /2
sin 2nx
Jn =
d x , (n ∈ N)
sin x
0
0
Ex. 9 — On considère la fonction
f : R −→ R
.
 x
e
−
1

x¶0
x
x 7−→
 cos x
sinon
Démontrer que f est continue sur R. En expliciter
la primitive qui s’annule en 1.
Ex. 14 —
Z π /4
Montrer que
Z π /4
ln(cos x) d x =
0
0
Z
π
ln cos
−x
dx
4
π /4
ln(1 + tan x) d x .
En déduire la valeur de
0
Ex. 10 — Soit
f : R −→ R


ln(1 + x 2 )


x<0
x2
x 7−→

cos x


sinon.
ex
Démontrer que f admet des primitives sur R. Calculer ces primitives.
Ex. 11 —
sur R.
sin x
0
1
2. Calculer
1. Soit à calculer
Z π /2
sin (2n + 1)x
Intégrale et inégalités
+a t
v
1 + x2
d x . En enEx. 15 — Soit I =
a2 − x 2
−a
v
t 1 + x2
cadrant
, calculer lim I .
a→0
a2 − x 2
Z
Réponse : π
Expliciter une primitive de x 7→ bxc
Ex. 16 —
1. Montrer que
Z k+1
1
1
1
∗
∀k ∈ N ,
¶
dx ¶ .
k+1
x
k
k
2. On pose pour n ∈ N , un =
∗
n
X
1
. Monk
trer que un ∼ ln n. Quelle est la limite de
(un )n∈N ?
k=1
2
3. Soit vn = un − ln n. Montrer que vn est
bornée, puis étudier sa monotonie (étudier
vn+1 − vn ). Que peut on dire de vn ?
Ex. 17 —
[0 ; 1].
2. Déterminer le comportement asymptotique
de g en +∞.
Ex. 22 — Soit f la fonction définie sur R par
f (t) = t 3 + t .
Soit f une fonction continue sur
1
Montrer que lim
x→0 x
1. Démontrer que f admet une fonction réciproque g sur R.
x
Z
t f (t) d t =0.
2. Soit
R x G la fonction définie sur R par G(x) =
g( y) d y . Calculer G en fonction de g .
0
0
Indication : Utiliser un changement de variable.
Fonctions définies par des intégrales
Soit a et b dans [0 ; π /2[. Démontrer
Ex. 18 —
que
b
Z
a
Sommes de Riemann

‹
tan b
1
d x = ln
cos x sin x
tan a
Z
2x
Ex. 19 — Étude de la fonction f : x 7→
x
et
d t.
t
1. Montrer que f est définie, continue et dérivable sur R∗ et calculer f 0 .
2. Montrer
∀x ∈ R∗+ ,
Ex. 23 — Calculer lim Sn quand
n→+∞
n
n
X
X
n+k
k2
;
S
=
;
Sn =
p
n
2 n3 + k 3
n2 + k 2
k=1
k=1 n

‹
n
X
k
kπ
Sn
=
;
Sn
=
sin
n2
n+1
k=1
v

‹
n
n
uY
X
1
kπ
1t
n
sin
; Sn =
(n + k) ;
k
n+1
n k=1
k=1
 ‹
 ‹
n
X
k
k
Sn =
sin
sin 2 .
n
n
k=1
(ln 2) e x ¶ f (x) ¶ (ln 2) e2x .
Exercices classiques
3. Calculer la limite de f (x) lorsque x → 0 et
x > 0. Même question lorsque x → 0 et
x < 0.
Ex. 24 — Intégrales de Wallis
Soit n un entier naturel et
Z π /2
4. Peut on prolonger f par continuité en 0 ? Si
oui, étudier la dérivabilité du prolongement
de f en 0.
In =
0
5. Étudier les branches infinies de f . Tracer
schématiquement son graphe.
Ex. 20 —
Calculer la limite quand x tend vers
Z 2x
dt
+∞ de x 7→
.
p
1 + t2 + t4
x
1.
a) Calculer I0 , I1 , I2 .
b) Montrer que la suite (I n )n∈N est décroissante. Est-elle convergente ?
2.
a) À l’aide d’une intégration par parties,
montrer que
Indication : Étudier la monotonie de la fonction t 7→
1
et en déduire un encadrement de l’intégrale.
p
1 + t2 + t4
Ex. 21 —
∀n ∈ N,
3.
2x
x 7−→
x
t2
t 2 + sin2 t
(n + 2)I n+2 = (n + 1)I n .
b) Calculer nI n I n−1 , pour n ∈ N∗ .
Soit
g : R −→ R
Z
sinn t d t
a) Montrer que
In
I n−1
dt
∀n ∈ N∗ ,
¶ 1.
b) Montrer que lim
n→+∞
duire que I n ∼ I n−1 .
1. Montrer que g est C 1 sur R.
3
In
¶
I n−2
In
= 1, et en déI n−1
4. Calculer la valeur de Jn + Jn−1 en fonction
de n.
c) Utiliser le résultat de la question 2.b
pour en déduire un équivalent de la
suite (I n )n∈N .
Ex. 25 —
Z1
Pour n
∈
N, on note I n
5. En déduire la limite de la suite (nJn )n∈N .
=
Pour finir...
x n e−x d x .
0
1.
a) Montrer que ∀n ∈ N,
0 ¶ In ¶
Ex. 28 —
1
.
n+1
1. Soit f et g deux fonctions continues sur
[a ; b], avec f de signe constant.
a) Démontrer que
Z b
•
˜Z
h
iZ b
inf g(x)
f ¶
f ×g ¶ sup g(x)
b) En déduire que la suite (I n ) converge et
donner sa limite.
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir
I n+1
1
que ∀n ∈ N, I n =
+
.
(n + 1)e n + 1
3. a) En déduire que ∀n ∈ N, 0 ¶ I n −
1
1
¶
.
(n + 1)e
(n + 1)(n + 2)
b) Trouver un équivalent simple de I n
quand n tend vers +∞.
Ex. 26 —
x∈I
x∈I
a
f (x)g(x) d x = g( y)
a
f (x) d x
a
2. Soit f une fonction de classe C 1 dont la dérivée soit de signe constant sur [a ; b], et g
une fonction continue sur [a ; b]. Démontrer qu’il existe y ∈ [a ; b] tel que
Z b
Z y
Z b
1. Montrer que l’on a, pour tout x ∈ [0 ; 1]
(−x)n+1
1
= 1 − x + x 2 − . . . + (−x)n +
1+ x
1+ x
1
(−x 2 )n+1
2
4
2 n
=
1
−
x
+
x
−
.
.
.
+
(−x
)
+
1 + x2
1 + x2
f g = f (a)
a
g + f (a)
a
Indication : Poser G(x) =
2. En intégrant ces égalités sur l’intervalle
[0 ; 1], trouver la limite des suites
1
+ ... +
2
1
et t n = 1 − + . . . +
3
a
b) Démontrer qu’il existe y ∈ [a ; b] tq
Z b
Z b
Soit n un entier naturel non nul.
sn = 1 −
Soit a et b deux réels avec a ¶ b.
g
y
Rx
a
g(t) d t, faire une inté-
gration par parties et utiliser la question précédente.
(−1)n
n+1
(−1)n
.
2n + 1
Ex. 29 —
pression
Soit J la fonction définie sur R par l’ex1
J (x) =
π
Z
π
cos(x sin θ )dθ
0
En procédant à un changement de variable, montrer que J est deux fois dérivable. Déterminer une
équation différentielle dont J est solution.
Ex. 27 — On considère la suite d’intégrales Jn =
Z 1 −nx
e
d x où n est un entier positif.
ex + 1
0
Z1
ex
d x.
1. Calculer I =
ex + 1
0
Exprimer J0 en fonction de I et en déduire
la valeur de J0 .
1
2. Montrer que, pour n ¾ 1, 0 ¶ Jn ¶ .
n
En déduire la limite de la suite (Jn )n∈N .
Ex. 30 — Soit F la fonction définie par F (x) =
R 2x 2
t sin t d t .
x
1. Donner l’ensemble de définition de F et montrer que F est de classe C ∞ sur cet ensemble.
2. Montrer que F est une fonction paire.
3. Calculer, pour tout x de R, F (x).
3. Montrer que la suite (Jn )n∈N est décroissante.
En déduire sans calcul supplémentaire que
1
1
(Jn + Jn+1 ) ¶ Jn ¶ (Jn−1 + Jn ).
2
2
4
b
f
a