MULTIPLES ET DIVISEURS

FICHE 1 (solutions)
MULTIPLES ET DIVISEURS
¨
§Ex
¥
1.1 ¦
72 :
75 :
83 :
120 :
200 :
¨
§Ex
¥
1.2 ¦
50 :
−56 :
−8 :
63 :
¨
§Ex
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
{1, 3, 5, 15, 25, 75}
{1, 83}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}
{ ± 1, ±2, ±5, ±10, ±25, ±50}
{ ± 1, ±2, ±4, ±7, ±8, ±14, ±28, ±56}
{ ± 1, ±2, ±4, ±8}
{ ± 1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63}
¥
1.3 ¦
Les multiples de 29 compris entre −500 et 500 sont −17 × 29 = −493, −16 × 29,
. . . , 17 × 29 = 493.
Il y en a donc autant que d'entiers entre −17 et 17, soit 35.
¨
§Ex
¥
1.4 ¦
Il sut de vérier et d'interpréter les égalités suivantes :
1. (2k + 1) + (2k + 3) = 4(k + 1)
2. n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)
3. n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)
4. n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6
¨
§Ex
¥
1.5 ¦
n − 4 = 5k d'où : n2 − 1 = (5k + 4)2 − 1 = 5(5k 2 + 8k + 3)
¨
§Ex
¥
1.6 ¦
n − 2 = 7k d'où : n3 − 1 = (7k + 2)3 − 1 = 7(49k 3 + 42k 2 + 12k + 1)
¨
§Ex
¥
1.7 ¦
Posons 7a + 5b = nd et 4a + 3b = md.
On en tire 3(7a+5b)−5(4a+3b) = a = d(3n−5m) et aussi −4(7a+5b)+7(4a+3b) =
b = d(−4n + 7m).
¨
§Ex
¥
1.8 ¦
Soient a et b (a ≥ b) les nombres cherchés.
a
a
On écrit : a + b + ab + a − b + = 2a + ab + = 243.
b
b
a
a
est donc un entier puisque = 243 − 2a − ab.
b
b
FICHE 1 - SOLUTIONS
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MULTIPLES ET DIVISEURS
a
L'équation devient : (b + 1)2 = 243. Or 243 = 35 et (b + 1)2 est un carré divisant
b
243, c'est-à-dire 1, 9 ou 81. De l'examen des diérentes possibilités, on en déduit
facilement que (a ; b) = (54 ; 2) ou (a ; b) = (24 ; 8).
¨
§Ex
¥
1.9 ¦
x − 3 divise (x − 3)(x + 3) + 12 et x − 3 divise (x − 3)(x + 3) + 12, donc x − 3 divise
12.
Réciproquement, si x − 3 divise 12, alors x − 3 divise (x − 3)(x + 3) + 12 = x2 + 3.
L'ensemble solution est donc : {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15}.
¨
§Ex
¥
1.10 ¦
1. x − 2 doit diviser x + 5 = (x − 2) + 7. Puisque x − 2 divise x − 2, x − 2 doit
diviser 7. x − 2 peut donc valoir −7, −1, 1 ou 7.
Réciproquement, si x − 2 divise 7, alors x − 2 divise (x − 2) + 7 = x + 5.
x − 2 peut donc valoir −7, −1, 1 ou 7. S = { − 5, 1, 3, 9}
2. x + 7 divise 2x + 15 = 2(x + 7) + 1. . . S = { − 8, −6}
3. x − 1 divise x2 = (x − 1)(x + 1) + 1. . . S = {0, 2}
4. x + 1 divise x3 + 2 = (x + 1)(x2 − x + 1) + 1. . . S = { − 2, 0}
FICHE 1 - SOLUTIONS
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