un programme ambitieux

Petit cadeau
assez long et dicile, surtout
les questions marquées d'un ♠, et totalement hors-programme et donc facultatif en guise de cadeau. A l'issu de celui-ci, vous saurez ce que sont les fonctions
Noël approchant, je vous propose un problème trigonométriques et le nombre π . On donnera également quelques pistes pour construire
l'ensemble des nombres réels. Dans les deux cas, on a aaire à la notion de suite de Cauchy1 : une suite (un )n d'un corps k muni d'une valeur absolue | · | on pensera encore à
Q, R et C est dite de Cauchy si et seulement si elle vérie la propriété suivante :
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀m, n > N, |un − um | 6 ε.
Là encore, ε a vocation à devenir de plus en plus petit.
: tirons quelques conséquences de cette notion.
1. Montrer que pour toute suite (un )n de k , on a les implications suivantes :
Suite de Cauchy
(un )n convergente ⇒ (un )n de
Cauchy
⇒ (un )n bornée.
2. Montrer qu'une suite de Cauchy admettant une extraction convergente, converge.
Quelle est sa limite ?
3. En déduire que pour k = R ou C, de Cauchy⇔convergeant .
4. Qu'en est-il pour k = Q ?
: où l'on dénit ez pour tout z ∈ C.
Application à l'exponentielle complexe
1. Rappeler pourquoi la suite
xk
k=0 k!
Pn
P
n
converge à x xé dans R+ .
n
z
2. Soit z ∈ C. Montrer que la suite
est de Cauchy dans C. On note
k=0 k!
n
alors exp(z) sa limite.
3. ♠ Montrer que pour tout z, w ∈ C, exp(z + w) = exp(z) exp(w).
4. Montrer que pour tout z ∈ C, exp(z) = exp(z).
5. Montrer par récurrence sur n ∈ N que exp(n) = en , où par dénition e := exp(1).
Du coup on adopte la notation en puissance ez := exp(z).
: où l'on dénit cos, sin et π .
1. Soit θ ∈ R. Montrer que |eiθ | = 1.
2. On note alors cos θ := R(eiθ ) et sin θ := I(eiθ ). Démontrer les formules d'Euler.
3. Montrer que pour tout a, b ∈ R, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et que
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a.
k
Application à la trigonométrie
1 Augustin Luis Cauchy, mathématicien français du début du xixème siècle (1789-1857). Il est connu
pour son cours d'analyse donné à l'école polytechnique mais également pour ses travaux précurseurs sur ce
qu'on appelle, depuis Galois, le groupe des permutations. Il est aussi connu pour avoir négligé les travaux
de ce-dernier, selon la légende, pour des raisons politiques : l'un était royaliste et l'autre républicain.
1
4. En admettant2 que ∃ limx→0 sinx x = 1 et que ∃ limx→0 cos x = 1, montrer que cos
et sin sont dérivables sur R. Quelles sont leur dérivées ?
5. ♠ On suppose ici que cos ne s'annule pas sur R+ . Montrer qu'alors sin admet
une limite > 0 en +∞. En déduire que cos n'est pas borné. Qu'en conclure ?
6. ♠ Montrer que {x ∈ R+ tel que cos x = 0} admet un minimum. Dénir π et
retrouver les propriétés usuelles de R → U, θ 7→ eiθ .
R reposant sur les suites rationnelles de Cauchy.
1. On note C(Q) l'ensemble des suites (rn )n ∈ QN qui sont de Cauchy. Montrer
que l'application ϕ : C(Q) → R, (rn )n 7→ limn rn est bien dénie et surjective.
2. Montrer que ϕ respecte l'addition et le produit.
3. Montrer que ϕ((rn )n ) = ϕ((sn )n ) si et seulement si limn (rn − sn ) = 0.
4. On suppose ici qu'on ne connait pas l'ensemble R. Dénir pour une suite (rn )n ∈
QN les faits d'être convergente vers 0 et de Cauchy .
5. Cela donne un sens à la dénition suivante :
Une construction de
∀(rn )n , (sn )n ∈ C(Q), (rn )n ∼ (sn )n ⇔ ∃ lim(rn − sn ) = 0.
Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence sur C(Q).
6. Munir l'ensemble quotient, qu'on note R, d'une somme et d'un produit.
7. ♠ Montrer qu'il s'agit d'un corps.
8. ♠ (Re)dénir les notions de suites réelles convergentes et de Cauchy .
Montrer que c'est équivalent.
9. ♠ Donner une injection naturelle Q → R, et montrer qu'alors tout réel est limite
d'une suite de rationnels.
10. ♠ Dénir une relation d'ordre total sur R, notée 6, et montrer que (R, 6) vérie
la propriété de la borne supérieure.
11. Montrer que pour tout x, y ∈ R∗+ , ∃n ∈ N tel que nx > y .
Pour nir, sachez qu'on peut également construire R par la méthode dite des coupures
de Dedekind qui repose d'avantage sur la notion d'ordre que de suite de Cauchy.
Par contre, cette dernière se généralise de la manière suivante : dès qu'un ensemble est
muni d'une distance dans un sens qui reète l'intuition de la notion de distance on peut trouver un ensemble minimal le contenant pour lequel toutes les suites de
Cauchy convergent. On montre en outre que cet ensemble est en un certain sens unique. On l'appelle le complété et ainsi R est le complété de Q pour la distance
d(x, y) := max(x − y, y − x). On peut également mettre des distances plus exotiques3 sur
Q et obtenir des complétions diérentes de R.
2 On
k
(−x)
pourrait justier ces résultats en montrant, par exemple, que sin x = limn→+∞ nk=0 (2k+1)!
.
3 Le théorème d'Ostrowski montre que les seules autres à respecter les opérations de Q sont les
distances dites p-adiques , qui on la propriété d'être ultramétriques et par conséquent tout point
d'un disque en est le centre. . . Les complétés de Q pour ces distances sont les corps dits p-adiques pour
lesquels on peut construire des analogues de C, parait-il très utile en arithmétique.
P
2