2016-2017 Feuille 1 : Logique, ensembles et récurrence. 1) Parmi

2016-2017
BCP ST 1B
Feuille 1 : Logique, ensembles et récurrence.
1) Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies :
a) ∀x ∈ [0, 1], x2 < 1
b) ∀k ∈ N∗ , k2 > k + 1
√
√
√
c) ∀(a, b) ∈ (R+ )2 ,
a+b6 a+ b
2) Traduire avec des quanticateurs :
a) La fonction f ne s'annule pas sur [0; 1].
b) La fonction f s'annule sur [0; 1].
c) La fonction est nulle sur [0, 1].
d) La fonction f s'annule une et une seule fois sur [0; 1].
3) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
a) Il sut qu'un nombre appartienne à N, pour qu'il soit positif ou nul.
b) Pour qu'une fonction dérivable sur R soit strictement croissante, il est nécessaire que sa dérivée soit strictement positive sur R.
c) Pour qu'une suite soit convergente, il faut et il sut qu'elle soit croissante majorée ou qu'elle soit décroissante minorée.
d) Pour que ∀x ∈ R, a + b cos2 (x) + c sin2 (x) = 0, il faut que : a = b = c = 0.
e) Certains réels non nuls sont strictement inférieurs à leur inverse.
f) Aucun entier naturel est égal à son carré.
g) Pour que la somme de deux réels soit strictement supérieure à 1 il est nécessaire et susant qu'au moins
1
2
un des deux soit strictement supérieur à .
4) Donner la négation des propositions suivantes :
a) ∃M ∈ R : ∀n ∈ N,
b) ∀x1 ∈ R, ∀x2 ∈ R,
un 6 M .
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) 6 f (x2 ).
Pour l'exercice suivant on rappelle la propriété suivante :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si ∀x ∈ I, f 0 (x) = 0
alors
5) Soit E = {f ∈ D(R) | ∀x ∈ R, f 0 (x) = 2xf (x)} et F = { x 7→ kex | k ∈ R}.
2
(D(R) est l'ensemble des fonctions dérivables sur R)
Nous cherchons à montrer que
E=F
par double inclusion.
a) Montrer que F ⊂ E .
b) Montrer que si f ∈ E alors la fonction g : x 7→ e−x f (x) est constante sur R.
c) Conclure.
2
6) Simplier les opérations sur les parties de R suivantes :
a) Ea = ([−1, 2] ∪ [3, 5]) \ [1, 3]
3 3
1 2
1 2
;
∪ ;
∩ ;
b) Eb =
3 5
5 4
2 3
1 2
3 3
1 2
c) Ec = ; ∪
;
∩ ;
3 5
5 4
2 3
f est constante sur I .
7) Représenter, dans le plan, le domaine correspondant aux points M (x, y) tel que (x, y) ∈ D dans les cas suivants :
a) D = [−1, 2] × [1, 3]
b) D = ([−2, −1] ∪ [0, 2]) × [1, 3]
c) D = ([−1, 2] × [1, +∞[) ∪ [−1, 0] × [−1, 3]
d) D = ([−1, 2] × [1, +∞[) ∩ ([−∞; 1[×[2, 3])
8) On dénit les suites (xn ) et (yn ) par x0 = 1 et y0 = 1 et pour tout entier naturel n :
xn+1 = xn + yn
yn+1 = 2xn + yn
Montrer que pour tout entier n, xn > 1 et yn > 1.
9) Pour tout entier naturel n, on considère la propriété : P (n) : ” 2n > (n + 1)2 ”
a) Montrer que pour tout entier n > 2, on a : P (n) =⇒ P (n + 1).
b) Pour quelles valeurs de n la propriété P (n) est-elle vraie ?
10) On considère la suite dénie par : u0 = 0, u1 = 1 et pour tout entier n : un+2 = 4un+1 − 3un .
Démontrer que : Pour tout n ∈ N, un =
3n − 1
.
2
11) On dénit la suite (un )n>1 par u1 = 1 et, pour tout entier naturel n : un+1 =
Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, un en fonction de n.
1
n+2
+
u .
n+1 n+1 n