Chap 10 Espaces probabilisés

Agnès DURRA-GRAS
Exemples
Espaces probabilisés
EXP 1 : probabilité conditionnelle
On place 8 pions numérotés de 1 à 8 sur 5 cases numérotées de 1 à 5.
Sachant que la case n°1 est vide quelle est la probabilité que la case n°2 ou la case n°3 le soit aussi ?
EXP 2 : formule des probabilités composées
On considère 3 urnes U U U
1 2 3
, , telles que
U
1
contient 2 boules blanches et 3 boules rouges
U
2
contient 4 boules blanches et 2 boules vertes
U
3
contient 2 boules rouges et 5 boules noires
On tire une boule dans U
1
que l’on place dans U
2
on tire une boule dans U
2
que l’on place dans U
3
puis on
tire une boule dans U
3
Calculer la probabilité de l’événement
A
: « on obtient exactement 2 boules de même couleur ».
EXP 3 : formule des probabilités totales
On considère les 3 urnes U U U
1 2 3
, , de l’exemple précédent.
On choisit une urne au hasard et on y tire une boule.
Calculer la probabilité de l’événement
B
: « la boule tirée est blanche ».
EXP 4 : formule de Bayes
Un test permet de dépister si une pièce est défectueuse.
Ce test donne pour défectueuse une pièce défectueuse à 95% et pour non défectueuse une pièce non défectueuse
à 90%.
Un lot de 100 pièces contient 8% de pièces défectueuses. On prend une de ces pièces au hasard le test la donne
défectueuse.
Quelle est la probabilité qu’elle le soit vraiment ?
EXP 5 : indépendance mutuelle
On considère
N
urnes contenant chacune
n
jetons numérotés de 1 à
n
On extrait au hasard un jeton de chaque urne.
Pour tout
1,
k n
∈ on note
k
A
: « le plus petit numéro obtenu est supérieur ou égal à
k
».
Quelle est la probabilité que le plus petit numéro obtenu soit
k
?
EXP 6 : l’indépendance 2à2
/
⇒
l’indépendance mutuelle.
Un enquêteur fait un sondage auprès des familles ayant 2 enfants.
On suppose les naissances des garçons et des filles équiprobables. On considère les trois événements suivants :
A
: « la fratrie est mixte »
B
: « l’enfant aîné est une fille »
C
: « le cadet est un garçon ».
Montrer que
A
B
C
,
,
sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.