Probabilités : loi binomiale I) Épreuve de Bernoulli (mathématicien du 18ème siècle) Définition : on appelle « Épreuve de Bernoulli » de paramètre p une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : une appelée « Succès », de probabilité p et l'autre « Échec » de probabilité (1 – p). Exemple 1 : on lance une pièce, et on appelle « Pile » le succès : 1 2 P 1 2 P (la barre sur P signifie : événement contraire de P). Exemple 2 : on lance un dé, et le succès est l'événement « 2 » (par ex.) : 1 6 la face est 2 5 6 la face est 2 (autrement dit, la face n'est pas 2) II) Loi binomiale Propriété : on répète n fois de suite, de manière indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre p et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès parmi n. La loi de X est donnée par la formule : () P ( X =k )= n p k ×(1− p)n−k où k ( nk ) s'appelle le coefficient binomial et se lit « k parmi n » et est obtenu par la calculatrice. ( nk ) est noté aussi C kn Exemple : Dans un jeu, un candidat estime que, quelle que soit la question posée, il a une chance sur trois de répondre correctement à la question. Il gagne 100 € par réponse correcte. Le présentateur lui pose successivement trois questions. On note G si la réponse est correcte et P si la réponse est fausse. a) Construis l'arbre pondéré (probabiliste) du jeu. b) Si le chemin du candidat est (P ; P ; G), quel est son gain ? c) Calcule la probabilité pour que le candidat ait le chemin (P ; P ; G). d) Quel est le nombre de chemins pour lesquels il a gagné 100 € ? e) Calcule la probabilité que le candidat gagne 100 €. a) L'arbre pondéré (probabiliste) : 1 3 2 3 1ère question : P G 2 3 2ème quest. : P 2 3 3ème qu. : 1 3 G 1 3 P G 2 3 1 3 2 3 P G P 2 3 1 3 P G 1 3 G 2 3 1 3 P G b) Le chemin (P ; P ; G) signifie que le candidat n'a gagné qu'une seule fois, à la dernière question, donc son gain final est de 100 €. c) La probabilité du chemin (P ; P ; G) s'obtient en multipliant toutes les probabilités sur le chemin : P(P ; P ; G) = 2 2 1 4 × × = ≈0,148≈14,8% . 3 3 3 27 d) Le nombre de chemins où le candidat gagne 100 € est obtenu lorqu'on a 1 fois G et 2 fois P , dans n'importe quel ordre : La calculatrice donne : ( 31)=3 , correspondant aux 3 chemins : (P ; P ; G) ; (P ; G ; P) ; (G ; P ; P). (CASIO graph35 : consultez : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/190_graph35plus.pdf T. I. 83+ : consultez : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/190_ti83plus.pdf ). e) La probabilité de gagner 100 € est donc égale au nombre de chemins permettant de gagner 100 € multiplié par la probabilité d'un de ces chemin, c'est la loi binomiale : () 1 2 2 4 3×4 4 P (Gagner 100 € )=P (1 Succès parmi 3)= 3 × × × =3× = = ≈0,444≈44,4 % . 27 3×9 9 1 3 3 3