Devoir maison no 2

Devoir maison
PRA - L2 MIASHS
Université de Rennes
A rendre le 7 nov 2016.
Exercice 1
Un appareil comporte six composants indépepdants et de même modèle, tous nécessaires
à son fonctionnement. La densité de la durée de vie T d’un composant est donnée par
f (t) =
t −t
e 4 I[0,+∞[ (t),
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l’unité de temps étant l’année.
La fonction indicatrice est définie de la façon suivante, pour un ensemble A,
IA (t) = 1 si t ∈ A
= 0 sinon
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Calculer l’espérance et la variance de T .
3. Quelle est la probabilité qu’un composant fonctionne durant au moins six ans à
partir de sa mise en marche ? En déduire la probabilité que l’appareil fonctionne
durant au moins six ans à partir de sa mise en marche.
Exercice 2
Soit n variables aléatoires U1 , · · · , Un indépendantes et de même loi uniforme sur [0, 1].
On considère la variable X = min(U1 , · · · , Un ).
1. Que vaut P (U > t) lorsque U suit une loi uniforme sur [0, 1] et t ∈ [0, 1]?
2. Calculer la fonction de répartition F de la variable X.
3. En déduire la densité et l’espérance de X.
4. Entre 12h et 13h, on peut supposer que les clients arrivent à des heures réparties
uniformément à la caisse d’un fast food. Si on suppose qu’on aura 30 clients,
combien temps, en moyenne, attend-on le premier client?
5. Quelle est la probabilité qu’on attende plus de 10 minutes?
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Exercice 3
Une entreprise veut recruter un cadre. Il y a en tout 10 candidats à se présenter pour ce
poste. L’entreprise fait passer un test au premier candidat, qui est recruté s’il le réussit.
Sinon, elle fait passer le même test au second candidat et ainsi de suite. On suppose que
la probabilité qu’un candidat réussisse le test est égale à π, réel fixé compris entre 0 et 1.
On appelle alors X la variable aléatoire à valeurs dans {1, · · · , 11} qui vaut k si c’est le
candidat numéro k qui est recruté, et 11 si aucun candidat n’est recruté.
1. Calculer en fonction de p les probabilités P (X = 1), P (X = 2), · · · , P (X = 10).
Déterminer aussi P (X = 11).
2. Comment doit-on choisir π pour que la probabilité de ne recruter personne soit
inférieure à 1%?
3. Pour n ∈ N fixé, on considère la fonction p définie par :
p(x) = 1 + x + · · · + xn =
n
X
xj
j=0
Exprimer sa dérivée p0 (x) sous la forme d’une somme de n termes.
4. Pour x 6= 1, écrire plus simplement p(x) (penser à la somme des termes d’une suite
géométrique). En déduire une autre expression de p0 (x), à savoir
p0 (x) =
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
.
(1 − x)2
5. Déduire des questions précédentes que X a pour moyenne
1 − (1 − π)11
E[X] =
π
6. Supposons maintenant qu’il n’y ait ait pas seulement 10 candidats, mais un nombre
infini, et que l’on proceède de la même façon. Appelons Y le numéro du candidat
retenu. Quelle est la loi classique suivie par Y ? Rappeler son espérance. La
comparer à E[X] lorsque π = 1/2. Conclure.
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