Probabilité d`un événement

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Probabilité d’un événement
I) Expérience aléatoire, issues, univers, événements
Une expérience aléatoire comporte un ensemble Ede résultats possibles (appelés parfois
"issues"). Cet ensemble est souvent appelé "l’univers".
Exemple : on lance un dé. L’ensemble Eest {1,2,3,4,5,6}
On appelle événement un sous-ensemble de E(on dit aussi une partie de E)
Il peut être défini par l’énumération de ses éléments (par exemple, pour un dé : {5,6})
ou par une phrase (exemple précédent : « obtenir un numéro supérieur ou égal à 5 »)
II) Probabilité d’une issue, d’un événement
1) Définition générale
–Probabiliités des issues :
Dans une expérience aléatoire, on peut attribuer à chaque résultat (issue) une proba-
bilité, qui est un nombre compris entre 0 et 1, qui représente les chances qu’il a de se
produire, et de façon que la somme des probabilités des issues soit égale à 1.
–Probabilités des événements
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le com-
posent.
2) Cas particulier : équiprobabilité
Lorsque l’expérience comporte nissues qui ont la même probabilité, cette probabilité
est égale à 1
n
Dans ce cas, si un événement Apossède kissues, alors sa probabilité est p(A) = k
n
kest le nombre de cas favorables à l’événement A(les cas où Aest réalisé)
nest le nombre total de cas possibles dans l’univers.
3) Modèles définis à partir de fréquences observées
Pour déterminer les probabilités relatives à une expérience aléatoire lorsqu’on ne sait
pas s’il n’y a pas équiprobabilité, on peut effectuer l’expérience un très grand nombre
de fois et prendre comme probabilités les fréquences des résultats.
III) Situations classiques d’équiprobabilité
1. On tire une boule d’une urne : toutes les boules sont équiprobables.
Ce sont les boules qui sont équiprobables, pas forcément leurs couleurs ou leurs
numéros s’ils existent. Et elles sont équiprobables même si l’observateur n’arrive
pas à les discerner (elles conservent quand même leur identité physique).
Autres exemples du même type : on lance un dé, on tire une carte d’un jeu, on
choisit au hasard une lettre dans l’alphabet, on lance une pièce (pile ou face).
2. On lance deux dés. L’univers est l’ensemble des couples :
{(1; 1)(1; 2)...(2; 1); (2; 3)...(6; 6)}.
Il y en a 36 (=6×6), et ils sont équiprobables, chacun ayant une probabilité 1
36
Expériences du même type : on lance deux fois de suite un dé, on lance deux fois
de suite une pièce de monnaie (pile ou face).
3. On tire successivement et avec remise 2 boules dans une urne qui en contient n.
L’univers est l’ensemble des couples de boules possibles (une même boule peut être
répétée, et l’ordre compte). Il y a n×ncouples possibles, et ils sont équiprobables.
IV) Autres situations classiques
1. Roue de loterie.
Une roue de loterie est composée de secteurs circulaires, qui n’ont pas forcément le
même angle au centre.
Les probabilités des secteurs sont proportionnelles à leurs angles.
2. Cible.
Une cible (aux fléchettes par exemple) est composée de couronnes circulaires
concentriques (c’est-à-dire de même centre).
Les probabilités des couronnes sont proportionnelles à leurs aires (surfaces)