Modèle mathématique.

Nom, Prénom : ……………………………………………………
Jeudi 20 Novembre 2014
TS Test 6 DEVOIR SURVEILLE N°2 ( 2h ) / 42,5 ( 2,5 points de bonus )
Exercice 1 : QCM
(4 points)
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point.
Il y a une seule bonne réponse par question. Entourer la bonne réponse sur le sujet.
A
Si la suite (Un) est géométrique
de raison 0,8 et de premier terme U0=3 alors
Si U0 = 3 et Un+1 = 0,3Un + 1
alors
La suite (
) n est
Si A et B sont deux évènements indépendants
d’un même univers E et que P(A
et P(A) = 0,2 alors P(
B
C
Un = 3
Un = 3
Un = 0,8
(Un) est minorée
par 1
(Un) est
majorée par 1
(Un) est
croissante
Bornée et
divergente
Convergente
vers 0 et non
monotone
Strictement
négative et
divergente
(Un) n’est ni
croissante, ni
décroissante.
Strictement
positive et de
limite 0
0,2
0,4
0,32
0,6
Exercice 2 :
Soit a un réel.
On considère la suite (un) définie par u0 = a et pour tout entier naturel n, un+1 = un2 + un + 1.
1) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, un  a + n .
2) En déduire la limite de la suite (un) .
Exercice 3 :
D
Un = 0,8
( 5 points )
( 9,5 points )
2
La suite (un) est définie par u0 = – 2 et pour tout entier naturel n , un+1 = un –1.
3
1) Afficher les vingt premiers termes de la suite (un) sur votre calculatrice et faire une conjecture
sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite (un).
2) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un + 3.
a) Calculer les valeurs exactes des trois premiers termes de la suite (vn) .
b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
c) En déduire le sens de variation de la suite (vn) puis celui de la suite (un).
d) Donner l'expression de vn en fonction de n puis celle de un en fonction de n.
e) Calculer la limite de la suite (un). Est-ce cohérent avec votre conjecture ?
3) (Sn) est la suite définie pour tout entier naturel n par Sn = u0 + u1 + u2 + … + un .
a) Exprimer Sn en fonction de n .
b) En déduire la limite de la suite (Sn).
c) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche S65.
Déclaration des variables
S et U sont des réels.
K est un entier naturel.
Initialisation
U prend la valeur ……………………………………….……
S prend la valeur ………………………….………………….
Traitement
Pour K variant de 1 à …………………………………………
U prend la valeur ……………………….…………………
S prend la valeur ……………………….………………….
Fin pour.
Afficher ……………………………………..…………………..
Nom, Prénom : ……………………………………………………
Jeudi 20 Novembre 2014
TS Test 6 DEVOIR SURVEILLE N°2 ( 2h ) / 42,5 ( 2,5 points de bonus ) *
Exercice 1 : QCM
(4 points)
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point.
Il y a une seule bonne réponse par question. Entourer la bonne réponse sur le sujet.
A
B
Si la suite (Un) est géométrique
de raison 0,8 et de premier terme U0=3 alors
Un = 0,8
Un = 0,8
Si U0 = 3 et Un+1 = 0,3Un + 1
alors
(Un) est
majorée par 1
La suite (
) n est
Si A et B sont deux évènements indépendants
d’un même univers E et que P(A
et P(A) = 0,2 alors P(
C
D
Un = 3
Un = 3
(Un) est
croissante
(Un) est minorée
par 1
Convergente
vers 0 et non
monotone
(Un) n’est ni
croissante, ni
décroissante.
Strictement
positive et de
limite 0
Strictement
négative et
divergente
Bornée et
divergente
0,4
0,6
0,32
0,2
Exercice 2 :
Soit a un réel.
On considère la suite (un) définie par u0 = a et pour tout entier naturel n, un+1 = un2 + un + 1.
1) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, un  a + n .
2) En déduire la limite de la suite (un) .
Exercice 3 :
( 5 points )
( 9,5 points )
2
La suite (un) est définie par u0 = – 2 et pour tout entier naturel n , un+1 = un –1.
3
1) Afficher les vingt premiers termes de la suite (un) sur votre calculatrice et faire une conjecture
sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite (un).
2) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un + 3.
a) Calculer les valeurs exactes des trois premiers termes de la suite (vn) .
b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
c) En déduire le sens de variation de la suite (vn) puis celui de la suite (un).
d) Donner l'expression de vn en fonction de n puis celle de un en fonction de n.
e) Calculer la limite de la suite (un). Est-ce cohérent avec votre conjecture ?
3) (Sn) est la suite définie pour tout entier naturel n par Sn = u0 + u1 + u2 + … + un .
a) Exprimer Sn en fonction de n .
b) En déduire la limite de la suite (Sn).
c) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche S63.
Déclaration des variables
S et U sont des réels.
K est un entier naturel.
Initialisation
U prend la valeur ……………………………………….……
S prend la valeur ………………………….………………….
Traitement
Pour K variant de 1 à …………………………………………
U prend la valeur ……………………….…………………
S prend la valeur ……………………….………………….
Fin pour.
Afficher ……………………………………..…………………..
Exercice 4 :
( 11,5 points)
Dans une entreprise, on a recensé 3 catégories de personnel :
 les ingénieurs ;
 les opérateurs de production ;
 les agents de maintenance.
Il y a 8 % d’ingénieurs et 82 % d’opérateurs de production. Les femmes représentent 50 % des ingénieurs,
25 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production.
Partie A :
Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.
On note : M l'événement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ;
O l’événement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ;
I l'événement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ;
F l’événement : « le personnel interrogé est une femme ».
1) Construire un arbre pondéré correspondant aux données.
2) Calculer la probabilité d'interroger :
a) un agent de maintenance ;
b) une femme agent de maintenance ;
c) une femme.
Partie B
Le service de maintenance effectue l’entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de
panne.
Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :
 la probabilité qu’il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,002 ;
 la probabilité qu'une panne survienne et que l’alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;
 la probabilité qu’une panne se produise est égale à 0,04.
On note :
A l'événement : « l’alarme se déclenche » et B l’événement : « une panne se produit ».
1) Démontrer que la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme se déclenche est égale à 0,037.
2) Calculer la probabilité que l’alarme se déclenche.
3) Calculer la probabilité qu’il y ait une panne sachant que 1'alarme se déclenche.
Exercice 5 :
(5,5 points)
Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d’elles, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte.
Un élève donne au hasard une réponse à chaque question.
On note X le nombre de réponses correctes données par l’élève.
1)
2)
3)
4)
Par quelle loi modélise-t-on la variable X ? Justifier la réponse et préciser les paramètres.
Déterminer avec précision la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Calculer E(X) et donner une interprétation.
Calculer
.
Exercice 6 :
1
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x² – x + x e–x .
2
1) Grâce à la calculette, conjecturer le sens de variation de f sur IR.
2) a) Résoudre dans IR l'inéquation 1 – e–x  0.
b) Montrer que pour tout réel x on a f '(x) = ( x – 1 ) ( 1 – e–x ).
c) Etudier les variations de f sur IR et dresser son tableau de variations.
On ne demande pas les limites.
3) Grâce au tableau de variations, conclure et dire si la conjecture est vérifiée.
( 7 points )
Nom, Prénom : Panossian Paco
Jeudi 20 Novembre 2014
TS Test 6 DEVOIR SURVEILLE N°2 ( 2h ) / 28,5 (dys)
Exercice 1 : QCM
(4 points)
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point.
Il y a une seule bonne réponse par question. Entourer la bonne réponse sur le sujet.
A
B
Si la suite (Un) est géométrique
de raison 0,8 et de premier terme U0=3 alors
Un = 0,8
Un = 0,8
Si U0 = 3 et Un+1 = 0,3Un + 1
alors
(Un) est
majorée par 1
La suite (
) n est
Si A et B sont deux évènements indépendants
d’un même univers E et que P(A
et P(A) = 0,2 alors P(
C
D
Un = 3
Un = 3
(Un) est
croissante
(Un) est minorée
par 1
Convergente
vers 0 et non
monotone
(Un) n’est ni
croissante, ni
décroissante.
Strictement
positive et de
limite 0
Strictement
négative et
divergente
Bornée et
divergente
0,4
0,6
0,32
0,2
Exercice 2 :
Soit a un réel.
On considère la suite (un) définie par u0 = a et pour tout entier naturel n, un+1 = un2 + un + 1.
3) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, un  a + n .
4) En déduire la limite de la suite (un) .
( 5 points )
Exercice 3 :
(5,5 points)
Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d’elles, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte.
Un élève donne au hasard une réponse à chaque question.
On note X le nombre de réponses correctes données par l’élève.
1)
2)
3)
4)
Par quelle loi modélise-t-on la variable X ? Justifier la réponse et préciser les paramètres.
Déterminer avec précision la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Calculer E(X) et donner une interprétation.
Calculer
.
Exercice 4 :
1
x² – x + x e–x .
2
1) Grâce à la calculette, conjecturer le sens de variation de f sur IR.
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =
2) a) Résoudre dans IR l'inéquation 1 – e–x  0.
b) Montrer que pour tout réel x on a f '(x) = ( x – 1 ) ( 1 – e–x ).
c) Etudier les variations de f sur IR et dresser son tableau de variations.
On ne demande pas les limites.
3) Grâce au tableau de variations, conclure et dire si la conjecture est vérifiée.
( 7 points )
Exercice 5 :
( 7 points )
TS Correction DS4
Exercice 1 :
1
Si la suite (Un) est
géométrique de raison 0,8 et
de premier terme U0=3 alors
2
Si U0=3 et Un+1= 0,3Un+1
alors
3
La suite (
4
Si A et B sont deux
évènements indépendants d’un
même univers E et que
P(A
et P(A)=0,2
alors P(
A
Un= 3
B
Un= 0,8
(Un) est
minorée par 1
(Un) est
majorée par 1
(Un) est
croissante
Bornée et
divergente
Convergente
vers 0 et non
monotone
0,4
Strictement
négative et
divergente
0,32
)n est
0,2
C
Un= 3
Exercice 2 : Si A et B sont indépendants, démontrer alors que
M
0,82
O
H
F
H
0,08
I
F
0,5
0,5
(Un) n’est ni
croissante, ni
décroissante.
Strictement
positive et de
limite 0
0,6
et B le sont aussi : voir cours .
1)
2) a) Probabilité que ce soit un agent de maintenance :
P(M) = 1 – (P(O)+P(I)) = 1 –( 0,82+0,08)= 0,1
b) Probabilité que ce soit une femme agent de
maintenance :
P(F M)=P(M) PM(F)=0,1
c) Probabilité que ce soit une femme:
0,1
0,6
0,4
Un= 0,8
Exercice 3 : Partie A :
F
0,25
0,75
D
P(F)= P(F
+ P(F
H
Partie B: On a dans l’énoncé : P (A
=0,002 ,
et P(B)= 0,04
1) On cherche P(A
2) On cherche P(A
+ P(A
3) On cherche PA(B
= 0,037+0,002=0,039
=
4)
Exercice 4 : Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d’elles, 4 réponses possibles dont une seule
correcte. Un élève donne au hasard une réponse à chaque question. On note X le nombre de réponses correctes
données par l’élève.
1) On a une expérience de Bernoulli avec pour succès S: « l’élève trouve la bonne réponse »
On répète cette expérience de façon identique et indépendante 3 fois,
donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n=3 et p=
2) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par:
X=xi
0
1
P(X=xi)
3) E(X)
0,42188 =
27
64
0,42188=
27
64
2
0,14063=
3
9
64
0,01563=
ou E(X) = np = 3 
TOTAL
1
64
1
1 3
=
4 4
Interprétation : L’élève a en moyenne 0,75 réponse de juste au QCM !!!
4)
0,75 ou (X) = np (1– p) =
3 3
 =
4 4
9 3
=
16 4
Exercice 5 : Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.
 Un salarié malade est absent
 La première semaine de travail le salarié n’est pas malade.
 Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,04.
 Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 1, par En l’évènement :
« Le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note pn la probabilité de l’évènement En.
On a ainsi p1= 0 et, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 : 0
.
1)a) Déterminer la valeur p3 à l’aide d’un arbre de probabilité.
E3
0.24
E2
0.76
E3
0.24
On a :
p3= 0
0,04 0,24+0,96
E1
E3
0.76
0.04
E2
0
0.96
E3
E3
0.24
E2
1
0.76
E3
0.04
E1
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie
la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été
aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine,
on veut la probabilité conditionnelle :
PE3(E2)=
E3
0.96
0.04
E2
En+1
En
0.76
E n+1
pn
En+1
1-pn
0.96
E3
0.24
0.04
En
0.96
2) a)
b) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
pn+1= 0,24pn + (1 pn) 0,04= 0,24pn +0,04 0,04 pn = 0,2 pn +
0,04
c) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
Un+1= pn+1 ,05 =0,2 pn+0,04 0,05=0,2 pn 0,01
= 0,2 (pn 0,05)= 0,2 Un
Donc Un est la suite géométrique de raison q= 0,2 et de premier
terme U1= P1 0,05
En+1
Donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
Un= 0,05
car Un=
si (Un) est une suite géométrique
Pn=
car Un= Pn 0.05 Pn= 0,05 +Un
d) La limite de la suite
est nulle car on a une suite géométrique de raison comprise strictement entre 1
et 1
Donc la limite de
est nulle
Donc la limite de (pn) est 0,05
e) J correspond à l'indice du premier terme n0 de la suite (Pn) tel que Pn0  0,05 –10-k
La suite est croissante et a pour limite 0,05 donc il existe un n0 tel que tous les termes de la suite dont l'indice
est
supérieur à n0 soient compris dans un intervalle du type ] 0,05 – 10–k ; 0,05 + 10–k [ donc cet algorithme
s’arrête .

