TABLE DES MATIÈRES

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TABLE DES MATIÈRES
Préface ...................................................................................................................1
Chapitre 0. Notions fondamentales du transfert thermique
0.1 Conduction ........................................................................................................................... 6
0.2 Convection ........................................................................................................................... 8
0.3 Rayonnement........................................................................................................................ 9
0.3.1 L’émission du rayonnement..................................................................................... 9
0.3.2 L’absorption du rayonnement................................................................................ 10
0.3.3 Le coefficient de transfert thermique par rayonnement......................................... 12
0.4 Modes combinés de transfert thermique ............................................................................ 12
0.5 Équations de la conduction thermique ............................................................................... 14
0.5.1 Équation de conduction thermique unidimensionelle (1D) ................................... 14
0.5.2 Équation de conduction thermique tridimensionnelle (3D)................................... 16
0.6 Conditions aux limites........................................................................................................ 16
0.6.1 Conditions aux limites de type “température imposée” (Dirichlet)....................... 17
0.6.2 Conditions aux limites de type “densité du flux thermique imposée“................... 17
0.6.3 Conditions aux limites de type “convection” (mixte)............................................ 19
Chapitre 1. Méthodes d’investigation et de prédiction de la réalité
1.1 L’expérience....................................................................................................................... 22
1.2 Le calcul théorique............................................................................................................. 22
1.3 Le calcul numérique (modélisation et simulation)............................................................. 23
Chapitre 2. Équations de conservation et classification des équations aux
dérivées partielles (EDP)
2.1 Forme générale des équations modèles (EDP)................................................................... 27
2.1.1 Principes de conservation.................................................................................... 27
2.1.2 Définitions........................................................................................................... 27
2.1.3 Forme intégrale ou globale de la loi de conservation.......................................... 28
2.1.4 Forme locale de la loi de conservation................................................................ 29
2.1.5 Forme conservative et non conservative des équations modèles ........................ 31
2.2 Classification des équations différentielles aux dérivées partielles du deuxième ordre .... 31
2.3 Coordonnées à simple et double influence......................................................................... 33
2.3.1 Définitions........................................................................................................... 33
2.4 Équations paraboliques et elliptiques................................................................................. 33
2.4.1 Définitions........................................................................................................... 33
2.4.2 Exemples ............................................................................................................. 34
Chapitre 3. Les methodes principales de discrétisation
3.1 Introduction ........................................................................................................................ 36
3.2 Méthode des différences finies (MDF) .............................................................................. 36

MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE •Méthode des volumes finis
4
3.3 Méthode des éléments finis (MEF) .................................................................................... 37
3.4 Méthodes spectrales (MS).................................................................................................. 38
3.5 Méthode des volumes finis (MVF) .................................................................................... 38
3.5.1 Exemple : conduction thermique 1D stationnaire .............................................. 40
3.5.2 Les règles de base................................................................................................ 42
Chapitre 4. Méthode des volumes finis appliquée aux problèmes de
conduction thermique
4.1 Conduction thermique 1D stationnaire .............................................................................. 44
4.1.1 Détermination de la conductivité thermique aux interfaces des volumes finis... 44
4.1.2 Conservation du flux à l’intérface....................................................................... 45
4.1.3 Traitement des non-linéairités............................................................................. 46
4.1.4 Linéarisation du terme source ............................................................................. 47
4.1.5 Traitement des conditions aux limites................................................................. 48
4.1.6 Algorithme de Thomas ou TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)................ 51
4.1.7 Exemples ............................................................................................................. 53
4.2 Conduction thermique 1D instationnaire ........................................................................... 63
4.2.1 Forme générale de l’équation discrétisée............................................................ 63
4.2.2 Schéma explicite ................................................................................................. 65
4.2.3 Schéma Cranck-Nicolson.................................................................................... 66
4.2.4 Schéma totalement implicite ............................................................................... 66
4.2.5 Exemples ............................................................................................................. 67
4.3 Conduction thermique stationnaire en deux dimensions (2D)........................................... 75
4.3.1 Forme générale de l’équation discrétisée............................................................ 75
4.3.2 Exemples ............................................................................................................. 76
4.3.3 Application de l’algorithme de Thomas aux problèmes 2D ............................... 86
4.4 Conduction thermique 2D instationnaire ........................................................................... 93
4.4.1 Forme générale de l’équation discrétisée............................................................ 93
4.4.2 Exemples ............................................................................................................. 95
4.5 Conduction thermique en trois dimensions (3D) ............................................................. 117
4.5.1 Forme générale de l’équation discrétisée en 3D stationnaire............................ 117
4.5.2 Forme générale de l’équation discrétisée en 3D instationnaire......................... 119
4.6 Application de la méthode des volumes finis en coordonnés cylindriques...................... 120
4.6.1 Forme générale de l’équation discrétisée en 1D stationnaire............................ 120
4.6.2 Conditions aux limites....................................................................................... 121
4.6.3 Application numérique...................................................................................... 123
4.6.4 Validation numérique........................................................................................ 126
4.6.5 Forme générale de l’équation discrétisée en 2D stationnaire............................ 128
4.6.6 Forme générale de l’équation discrétisée en 2D instationnaire......................... 129
Chapitre 5. Méthode des volumes finis appliquée aux problèmes de
convection-diffusion
5.1 Introduction ...................................................................................................................... 131
5.2 L’équation de convection-diffusion 1D stationnaire........................................................ 132
5.2.1 Discrétisation avec le schéma centré................................................................. 132
5.2.2 Discrétisation avec le schéma “upwind”........................................................... 134
5.2.3 Solution exacte du problème de convection-diffusion stationnaire 1D ............ 135
5.2.4 Le schéma exponentiel...................................................................................... 136

TABLE DES MATIÈRES
5
5.2.5 Le schéma hybride ............................................................................................ 138
5.2.6 Le schéma “Power Law”................................................................................... 139
5.2.7 Récapitulatif des différents schémas................................................................. 140
5.2.8 Formulation générale des différents schémas ................................................... 141
5.2.9 Schémas aux différences d’ordre supérieur pour problèmes de convection-
diffusion ..................................................................................................................... 145
5.2.10 Exemples ......................................................................................................... 149
5.2.11 Propriétés des schémas de discrétisation......................................................... 158
5.2.12 Les propriétés du schéma aux différences centrales ....................................... 163
5.2.13 Les propriétés du schéma “upwind”................................................................ 164
5.2.14 Les propriétés du schéma hybride................................................................... 164
5.3 Convection-diffusion 1D instationnaire........................................................................... 165
5.3.1 Forme générale de l’équation discrétisée.......................................................... 165
5.4 Convection-diffusion 2D et 3D stationnaire .................................................................... 168
5.5 Convection-diffusion 2D instationnaire........................................................................... 169
5.5.1 Forme générale de l’équation discrétisée.......................................................... 169
Chapitre 6. Méthode des volumes finis appliquée au traitement du couplage
vitesse-pression
6.1 Introduction ...................................................................................................................... 173
6.2 Représentation du gradient de pression dans les équations de quantité de mouvement
discrétisées ............................................................................................................................. 174
6.3 Représentation de l’équation de continuité discrétisée .................................................... 175
6.4 Volumes de contrôle décalés (déplacés) .......................................................................... 175
6.5 Équations de conservation de la quantité de mouvement ................................................ 177
6.5.1 Intégration de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.......... 177
6.6 L’algorithme SIMPLE...................................................................................................... 182
6.7 L’algorithme SIMPLER................................................................................................... 186
6.8 L’algorithme SIMPLEC................................................................................................... 188
6.9 L’algorithme PISO ........................................................................................................... 189
6.10 Conditions aux limites pour l’équation de correction de pression................................. 192
6.11 Comentaires sur les algorithmes SIMPLE, SIMPLER, SIMPLEC et PISO.................. 192
Annexes
Annexe A – Précision de la modélisation numérique ............................................................ 194
Annexe B – Algorithme de Thomas et son application ......................................................... 197
Annexe C – Maillage non uniforme....................................................................................... 201
Annexe D – Surrelaxation et sous-relaxation......................................................................... 203
Annexe E – Erreurs de la solution numérique........................................................................ 205
Annexe F – Le coefficient de convection............................................................................... 207
Annexe G – Programmes de calcul........................................................................................ 210
Annexe H – Maillage de type éléments finis ......................................................................... 247
Bibliographie..................................................................................................................... 252