notions simples

Chapitre 1
Probabilités : notions simples
1.1 Le vocabulaire des événements
1.1.1 Généralités
Définition 1 Une expérience aléatoire Eest due au hasard, on ne peut prédire ses résultats et elle est renouvelable.
Définition 2 L’univers fini de l’expérience aléatoire est l’ensemble de ses résultats ou issues. On le note Ω.
Définition 3 Un événement est une partie de l’univers. Il est noté avec une majuscule : A, B, C... Un événement est inclus dans
l’univers : A ⊂Ω
Définition 4 Un événement élémentaire ne contient qu’un seul élément. Ωest la réunion de tous ses événements élémentaires.
Définition 5 Ωest l’événement certain : il est toujours réalisé. On note ∅(ensemble vide) l’événement impossible : il n’est jamais
réalisé.
1.1.2 Intersection, réunion, contraire
Définition 6 L’intersection de deux événements A et B est l’événement noté : A ∩B constitué des éléments communs à A et à B. On
le note aussi "A et B".
Définition 7 La réunion de deux événements A ou B est l’événement noté : A ∪B constitué des éléments de A ou de B. On le note
aussi "A ou B".
Définition 8 Le contraire d’un événement A est le complémentaire de A dans Ω. Il est constitué des éléments de Ωqui n’appar-
tiennent pas à A. On le note ¯ A. On a : A ∩¯ A=∅et : A ∪¯ A=Ω
Définition 9 Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés en même temps , s’ils ont une intersection
vide : A ∩B=∅. Par exemple A et ¯ A sont incompatibles.
1.2 Probabilités
1.2.1 Fréquence d’un événement
Soit Aun événement lié à une expérience aléatoire E. On répète nfois cette expérience et on note nAle nombre de réalisations
de Alors de ces nrépétitions de E. La fréquence de réalisation de Aest : fn(A)=nA
n
Si ndevient de plus en plus grand, fn(A) tend à se stabiliser autour d’une valeur fixe p.
Ce nombre pest la probabilité de l’événement Aet se note : P(A)
1

2 CHAPITRE 1. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES
1.2.2 Probabilité
Soit Eune expérience aléatoire, d’univers Ωet Aun événement. La probabilité de Aest notée P(A) et cette application vérifie les
propriétés :
0ÉP(A)É1
P(Ω)=1
Si A∩B=∅, alors : P(A∪B)=P(A)+P(B)
1.2.3 Equiprobabilité
Définition 10 On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires de Ωont la même probabilité. Dans ce cas,
la probabilité d’un événement élémentaire est : 1
n, n est le nombre d’éléments de l’univers et on a :
P(A)=nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de Ω
On note aussi :
P(A)=nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
1.2.4 Calcul des probabilités
Théorème 1 Pour tout événement A :
P(¯ A)=1−P(A)
Pour tout événement A et tout événement B :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
1.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
1.3.1 Exemple
Un traiteur propose un choix de 10 menus différents : 2 menus à 15 e; 5 menus à 18 eet 3 menus à 21 e. Une expérience aléa-
toire consiste pour un client à choisir au hasard un menu parmi les 10. Il y a équiprobabilité et chaque menu a une probabilité
de 1
10 d’être choisi. L’univers Ωde l’expérience est l’ensemble des 10 menus.
A chaque menu associons son prix, on définit ainsi une application de Ωdans l’ensemble {15;18;21}des prix. Cette application
notée Xest une VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE.
On peut alors envisager divers événements :
A : "le menu coûte 15 e", A est un ensemble de 2 éléments : il est noté (X=15).
B : "Le menu coûte 25 e", B est l’ensemble vide, on pourrait le noter (X=25).
C : "Le menu coûte strictement moins de 21 e", C sera noté : (X<21).
D : "Le menu coûte plus de 18 e", D sera noté : (XÊ18).
1.3.2 Définition
Xétant une variable aléatoire et kun réel, (X=k) est l’événement de l’univers Ωconstitué des événements élémentaires asso-
ciés au nombre kpar l’application X.
La probabilité de cet événement est notée : P(X=k).
Exemple : (X=21) est l’événement constitué des 3 menus à 21 e. De plus : P(X=21) =3
10
Exercice : Calculer : P(X=15) ; P(X<21) ; P(X=25) et P(XÊ18)

1.4. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE, VARIANCE ET ÉCART TYPE 3
1.3.3 Loi de probabilité
L’ensemble des valeurs réelles prises par la variable aléatoire Xest noté X(Ω) : c’est l’univers image. Dans l’exemple des prix des
menus : X(Ω)={15;18;21}. On calcule les probabilités des 3 événements élémentaires de X(Ω) et on note les résultats dans un
tableau, on construit ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On l’appelle aussi : Fonction de distribution.
k15 18 21
P(X=k)1
5
1
2
3
10
On remarque que :
XP(X=k)=1
car les 3 événements (X=15) ; (X=18) et (X=21) sont disjoints et que leur réunion est l’univers.
Définition : La loi de probabilité de la variable Xest donc la fonction fqui à tout réel kassocie la probabilité de l’événement
(X=k) : f:k7→ f(k)=P(X=k).
1.4 Espérance mathématique, Variance et écart type
1.4.1 Espérance mathématique E(X)
L’espérance est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probabilité. On a donc :
E(X)=Xk×P(X=k)
Dans l’exemple :
E(X)=15×1
5+18×1 2+21×3 10 =183 10 =18,3
E(X) correspond au prix moyen d’un menu quand l’expérience aléatoire du choix d’un menu au hasard est renouvelée un très
grand nombre de fois.
1.4.2 Propriétés de E(X)
Si E(X)=0, on dit que la variable aléatoire Xest centrée.
Si une nouvelle variable aléatoire Yest définie par Y=aX +b, on admet que :
E(Y)=aE(X)+b
.
1.4.3 Variance et écart type
Variance V(X)
On appelle variance de Xle nombre V(X) défini par :
V(X)=X(k−E(X))2×P(X=k)

4 CHAPITRE 1. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES
Cette formule étant d’usage difficile, on lui préfère la suivante qui sera admise :
V(X)=E(X2)−(E(X))2
Dans l’exemple :
V(X)=152×1
5+182×1 2+212×3 10 −(18,3)2=339,3−334.89 =4,41
La variance mesure la dispersion des valeurs de Xautour de l’espérance E(X). On dit que la variance mesure le risque.
Ecart type
On appelle écart type de Xle nombre noté σXou σ(X) égal à la racine carrée de la variance :
σX=pV(X)
Dans l’exemple :
σX=p4,41 =2,1
Propriétés
Quand l’espérance de Xest nulle et que l’écart type est égal à 1, on dit que la variable aléatoire Xest centrée et réduite.
Si une nouvelle variable aléatoire Yest définie par Y=aX +b, on admet que :
V(Y)=a2V(X)
Théorème
Si Xest une variable aléatoire d’expérance mathématique E(X)=met d’écart type non nul σ, alors la variable aléatoire X∗=X−m
σ
est centrée et réduite.
Preuve :
E(X∗)=E(X−m
σ)=E(1 σX−m σ)=1 σE(X)−m σ=m σ−m σ=0
V(X∗)=V(X−m
σ)=V(1 σX−m σ)=1 σ2V(X)=
σ2
σ2=1
La variable X∗est donc centrée et réduite : ce résultat sera utile dans le cours sur la Loi Normale ou de Laplace-Gauss.
Utilité économique
Si on a à choisir entre plusieurs projets dont les résultats sont des variables aléatoires, on choisit l’espérance de gain maximale
ou l’espérance de coût minimale et la variance minimale car elle représente le risque.
1.5 Exercices
Exercice 1
On interroge 100 clients d’un hypermarché pour connaître leurs avis sur deux produits génériques A et B. Les résultats sont les
suivants : tous les clients ont répondu, 20 clients sont satisfaits des deux produits, 35 clients sont satisfaits du produit A et 27
clients ne sont satisfaits que du produit B.
1. Compléter le tableau suivant :

1.5. EXERCICES 5
Nombre de personnes Satisfaites de A Non satisfaites de A Total
Satisfaites de B
Non satisfaites de B
Total 100
2. On interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, calculer, en justifiant la réponse,la probabilité que ce client
soit :
a. satisfait de B ;
b. satisfait de A seulement ;
c. non satisfait des deux produits ;
d. satisfait d’un seul produit ;
e. satisfait d’au moins un produit.
(on notera : p1,p2,p3,p4et p5les probabilités)
Exercice 2 (BAC STT CGI Nlle Calédonie 2002)
Un restaurant sert 300 couverts par service, en proposant un menu à 16 eet un menu à 24 e. Le gérant offre à chacun de ses
clients soit un café, soit un apéritif. 60 % des clients ont choisi un café, les autres un apéritif. La moitié des clients ont choisi un
menu à 24 eavec un café. Parmi ceux qui choisissent le menu à 24 e, 75 % ont choisi un café.
1. Réaliser un tableau donnant tous les cas possibles et les nombres de clients correspondants.
2. On choisit au hasard un client parmi les 300. On considère les événements :
•A: "le client a choisi un menu à 16 e"
•B: "le client a choisi un apéritif"
a. Définir l’événement : A∩B.
b. Calculer : P(A), P(B) et P(A∩B).
3. Un client a choisi un café. Déterminer la probabilité que ce client ait choisi un menu à 24 e.
Exercice 3
Dans un jeu de hasard, un joueur mise 1 esur le numero 5. Le jeu consiste à lancer deux dés. Si le numéro 5 est obtenu sur
chaque dé, le joueur reçoit 4 e. S’il est obtenu sur un seul dé, le joueur reçoit 3 e. S’il n’est obtenu sur aucun dé, le joueur perd
sa mise.
1. Quelles sont les probabilités de ces 3 événements ?
2. On note Xla variable aléatoire qui mesure le gain algébrique du joueur. Quelles sont les valeurs prises par X? Quelle est
son espérance ? Le jeu est-il équitable ? Quelle est la variance de X?
Exercice 4
Une enquête statistique portant sur la clientèle d’un restaurant a montré que la variable aléatoire Xmesurant le nombre de
desserts commandés par une table de 4 personnes vérifiait la loi de probabilité suivante :