Mathématiques, Feuille de TD 2

Mathématiques, Feuille de TD 2
1. Rappel d’intégration
Exercice 1.1. Dire pour quels indice p les fonctions suivantes appartiennent à
Lp (R) et calculer les normes quand cela a du sens.
i) x 7→ x1 1[1,∞[ (x),
ii) x 7→ e−|x| ,
iii) x 7→ cos(x),
iv) x 7→ xe−x 1R+ (x),
v) x 7→ x−1/3 1]0,1] (x),
vi) une fonction continue à support dans [0, 1].
Exercice 1.2. Donner un exemple de
- fonction de L1 ([0, 1] qui n’est pas dans L2 ([0, 1]),
- fonction de L2 (R) qui n’est pas dans L1 (R)
Exercice 1.3.
i) Montrer que pour tous réels a, b ∈ R+ on a 2|ab| ≤ a2 + b2 .
ii) En déduire que pour toutes fonctions f, g et tout x ∈ R on a 2|f (x)g(x)| ≤
f (x)2 + g(x)2 .
iii) Montrer que, pour tous f, g ∈ L2 (I) on a 2kf gk1 ≤ kf k22 + kgk22 .
iv) En déduire que si f, g ∈ L2 (I) alors f g ∈ L1 (I)
2. Exemples d’espace de hilbert
Exercice 2.1. Notons
E = Rn et pour tous X = (x1 , . . . , xn ), Y = (y1 , . . . , yn )
P
notons hX, Y i = i xi yi . Montrer que h, i définit un produit scalaire sur E.
Exercice 2.2. Notons E = C([0, 2π], R) l’ensemble des fonctions continues de
[0, 2π] dans R et pour tout f, g ∈ E notons
Z
1 2π
f (t)g(t)dt.
hf, gi =
π 0
i) Montrer que h, i définit un produit scalaire sur E.
ii) Montrer que la formule définissant ce produit scalaire a un sens pour f, g ∈
L2 ([0, 2π]) et que cela définit un produit scalaire sur L2 ([0, 2π]).
Exercice 2.3. Soit E un espace vectoriel et h, i un produit scalaire sur E. Fixons
deux vecteurs x, y ∈ E et notons, pour tout t ∈ R, P (t) = hx + ty, x + tyi.
i) Montrer que P ne prend que des valeurs positives.
ii) Montrer que P est un polynôme en t, puis que son discriminant est ≥ 0.
1
2
iii) En déduire que |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi avec égalité si et seulement si x et y
sont colinéaires (c’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz).
p
iv) Notons kzk = hz, zi pour tout z ∈ E. Montrer que k · k est une norme sur
E.
v) Montrer que si kx + yk = kxk + kyk alors x et y sont colinéaires.
Exercice
2.4. Notons E = `2 (R) l’ensemble des suites réelles (an )n∈N telles que
P
2
n |an | < ∞.
i) Montrer que pour toutes suites A = (an )n∈N , B = (bn )n∈N on a
!2
!
!
X
X
X
|an bn | ≤
|an |2
|bn |2
n
n
n
(on pourra pour cela le montrer tout d’abord pour des sommes finies à l’aide
de Cauchy-Schwarz (cf. exercice 1), puis passer à la limite).
P
ii) En déduire que la somme hA, Bi = n an bn a un sens.
iii) Montrer que h, i définit un produit scalaire sur E.
Exercice 2.5. Pour toute fonction f ∈ C([0, 2π], R) notons ϕ(f ) la suite définie
par ϕ(f )2n = an (f ) et ϕ(f )2n+1 = bn (f ).
Montrer qu’on définit ainsi une application linéaire ϕ : C([0, 2π], R) → `2 (R) et
que pour tout f ∈ C([0, 2π], R) on a kf k = kϕ(f )k les normes considérées étant
celles des exercices 2 (pour les fonctions) et 4 (pour les suites).
Exercice 2.6. Soit H l’ensemble des fonctions continues, nulles en
Z 10, dérivables
f 0 (t)g 0 (t)dt.
et dont la dérivée est élément de L2 ([0, 1]) On pose hf, gi =
0
Montrer que ceci munit H d’une structure d’espace préhilbertien, mais que ce
n’est pas un espace de Hilbert.
3. Projection
Exercice 3.1. Soit E un espace de Hilbert, h, i son produit scalaire et k · k la
norme induite. Considérons un sous-espace vectoriel F ⊂ E de dimension 2 et
fixons une base e1 , e2 de F .
Donner une procédure qui, pour x ∈ E fixé, détermine les coefficients a, b ∈ R
réalisant le minimum de la quantité
kx − (ae1 + be2 )k.
Exercice 3.2.
i) Trouver les réels a, b réalisant le minimum de la quantité
Z 2π
|x3 − (ax + b)|2 dx.
0
3
ii) Trouver les réels a, b réalisant le minimum de la quantité
Z 2π
|e−x − (ax + b)|2 dx.
0
Exercice 3.3. Dans l’espace `2 (R) muni de son produit scalaire habituel, calculer
la projection d’une suite (an )n∈N sur le sous-espace vectoriel vectoriel engendré
par la suite (bn )n∈N avec b0 = 0 et bn = n1 si n ≥ 1.
4. Bases hilbertiennes
Exercice 4.1. Considérons l’espace vectoriel `2 (R) muni de son produit scalaire
habituel, et pour tout p ∈ N définissons les suites εp = (δp,n )n∈N .
i) Montrer que la famille {εp } est une famille orthonormale de `2 (R).
ii) Montrer que la famille {εp } est base hilbertienne.
Exercice 4.2. Si n est un entier naturel on définit le polynôme Pn par
1 dn
2
n
Pn (x) = n
(x
−
1)
.
2 n! dxn
(1) Calculer P0 , P1 , P2 .
p
(2) Démontrer que la famille ( n + 1/2Pn )n∈N est une base hilbertienne de
L2 ([−1, 1]).
(3) En déduire une forme explicite de la projection orthogonale de l’espace
L2 ([−1, 1]) sur Rn [X] (fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal
à n).
Exercice 4.3. Soit E l’espace des fonctions f telles que
Z 1
1
dx < +∞,
|f (x)|2 √
1 − x2
−1
et pour f et g dans E, on pose :
Z 1
1
f (x)g(x) √
hf, gi =
dx.
1 − x2
−1
(1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E, qui en fait un espace
de Hilbert.
p
(2) p
Pour x ∈ [−1, 1], on pose T0 (x) =
1/π et pour n ≥ 1, Tn (x) =
2/π cos(nArccos x).
(3) Démontrer que pour tout n ∈ N, Tn est la restriction à [−1, 1] d’un
polynôme de degré n.
(4) Prouver que (Tn )n∈N est une base hilbertienne de E.