Mathématiques, Feuille de TD 2

Mathématiques, Feuille de TD 2
1. Rappel d’intégration
Exercice 1.1. Dire pour quels indice ples fonctions suivantes appartiennent à
Lp(R)et calculer les normes quand cela a du sens.
i) x7→ 1
x1[1,∞[(x),
ii) x7→ e−|x|,
iii) x7→ cos(x),
iv) x7→ xe−x1R+(x),
v) x7→ x−1/31]0,1](x),
vi) une fonction continue à support dans [0,1].
Exercice 1.2. Donner un exemple de
- fonction de L1([0,1] qui n’est pas dans L2([0,1]),
- fonction de L2(R)qui n’est pas dans L1(R)
Exercice 1.3. i) Montrer que pour tous réels a, b ∈R+on a 2|ab| ≤ a2+b2.
ii) En déduire que pour toutes fonctions f, g et tout x∈Ron a 2|f(x)g(x)| ≤
f(x)2+g(x)2.
iii) Montrer que, pour tous f, g ∈L2(I)on a 2kfgk1≤ kfk2
2+kgk2 2.
iv) En déduire que si f, g ∈L2(I)alors fg ∈L1(I)
2. Exemples d’espace de hilbert
Exercice 2.1. Notons E=Rnet pour tous X= (x1, . . . , xn),Y= (y1, . . . , yn)
notons hX, Y i=Pixiyi. Montrer que h,idéfinit un produit scalaire sur E.
Exercice 2.2. Notons E=C([0,2π],R)l’ensemble des fonctions continues de
[0,2π]dans Ret pour tout f, g ∈Enotons
hf, gi=1
πZ2π
0
f(t)g(t)dt.
i) Montrer que h,idéfinit un produit scalaire sur E.
ii) Montrer que la formule définissant ce produit scalaire a un sens pour f, g ∈
L2([0,2π]) et que cela définit un produit scalaire sur L2([0,2π]).
Exercice 2.3. Soit Eun espace vectoriel et h,iun produit scalaire sur E. Fixons
deux vecteurs x, y ∈Eet notons, pour tout t∈R,P(t) = hx+ty, x +tyi.
i) Montrer que Pne prend que des valeurs positives.
ii) Montrer que Pest un polynôme en t, puis que son discriminant est ≥0.
1

2
iii) En déduire que |hx, yi|2≤ hx, xihy, yiavec égalité si et seulement si xet y
sont colinéaires (c’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz).
iv) Notons kzk=phz, zipour tout z∈E. Montrer que k·k est une norme sur
E.
v) Montrer que si kx+yk=kxk+kykalors xet ysont colinéaires.
Exercice 2.4. Notons E=`2(R)l’ensemble des suites réelles (an)n∈Ntelles que
Pn|an|2<∞.
i) Montrer que pour toutes suites A= (an)n∈N,B= (bn)n∈Non a
X
n|anbn|!2
≤ X
n|an|2! X n|bn|2!
(on pourra pour cela le montrer tout d’abord pour des sommes finies à l’aide
de Cauchy-Schwarz (cf. exercice 1), puis passer à la limite).
ii) En déduire que la somme hA, Bi=Pnanbna un sens.
iii) Montrer que h,idéfinit un produit scalaire sur E.
Exercice 2.5. Pour toute fonction f∈C([0,2π],R)notons ϕ(f)la suite définie
par ϕ(f)2n=an(f)et ϕ(f)2n+1 =bn(f).
Montrer qu’on définit ainsi une application linéaire ϕ:C([0,2π],R)→`2(R)et
que pour tout f∈C([0,2π],R)on a kfk=kϕ(f)kles normes considérées étant
celles des exercices 2 (pour les fonctions) et 4 (pour les suites).
Exercice 2.6. Soit Hl’ensemble des fonctions continues, nulles en 0, dérivables
et dont la dérivée est élément de L2([0,1]) On pose hf, gi=Z1
0
f0(t)g0(t)dt.
Montrer que ceci munit Hd’une structure d’espace préhilbertien, mais que ce
n’est pas un espace de Hilbert.
3. Projection
Exercice 3.1. Soit Eun espace de Hilbert, h,ison produit scalaire et k · k la
norme induite. Considérons un sous-espace vectoriel F⊂Ede dimension 2et
fixons une base e1, e2de F.
Donner une procédure qui, pour x∈Efixé, détermine les coefficients a, b ∈R
réalisant le minimum de la quantité
kx−(ae1+be2)k.
Exercice 3.2. i) Trouver les réels a, b réalisant le minimum de la quantité
Z2π
0|x3−(ax +b)|2dx.

3
ii) Trouver les réels a, b réalisant le minimum de la quantité
Z2π
0|e−x−(ax +b)|2dx.
Exercice 3.3. Dans l’espace `2(R)muni de son produit scalaire habituel, calculer
la projection d’une suite (an)n∈Nsur le sous-espace vectoriel vectoriel engendré
par la suite (bn)n∈Navec b0= 0 et bn=1
nsi n≥1.
4. Bases hilbertiennes
Exercice 4.1. Considérons l’espace vectoriel `2(R)muni de son produit scalaire
habituel, et pour tout p∈Ndéfinissons les suites εp= (δp,n)n∈N.
i) Montrer que la famille {εp}est une famille orthonormale de `2(R).
ii) Montrer que la famille {εp}est base hilbertienne.
Exercice 4.2. Si nest un entier naturel on définit le polynôme Pnpar
Pn(x) = 1
2nn!
dn
dxn(x2−1)n.
(1) Calculer P0,P1,P2.
(2) Démontrer que la famille (pn+ 1/2Pn)n∈Nest une base hilbertienne de
L2([−1,1]).
(3) En déduire une forme explicite de la projection orthogonale de l’espace
L2([−1,1]) sur Rn[X](fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal
àn).
Exercice 4.3. Soit El’espace des fonctions ftelles que
Z1
−1|f(x)|21
√1−x2dx < +∞,
et pour fet gdans E, on pose :
hf, gi=Z1
−1
f(x)g(x)1
√1−x2dx.
(1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E, qui en fait un espace
de Hilbert.
(2) Pour x∈[−1,1], on pose T0(x) = p1/π et pour n≥1,Tn(x) =
p2/π cos(nArccos x).
(3) Démontrer que pour tout n∈N,Tnest la restriction à [−1,1] d’un
polynôme de degré n.
(4) Prouver que (Tn)n∈Nest une base hilbertienne de E.