Mathématiques en lycée

Modélisation du signal
I- Parité et Périodicité
1) Définitions
fest une fonction paire si pour tout x∈Df, on a −x∈Dfet f(−x) = f(x).
Définition Fonction paire
Conséquence : La courbe représentative de la fonction fest symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
fest une fonction impaire si pour tout x∈Df, on a −x∈Dfet f(−x) = −f(x).
Définition Fonction impaire
Conséquence : La courbe représentative de la fonction fest symétrique par rapport au point O(0;0)
Exemple
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x3
x2+ 1.
Etudier la parité de f.
Le domaine de définition est Rqui est symétrique par rapport à 0.
f(−x) = (−x)3
(−x)2+ 1 =−x3 x2+ 1 =−f(x).
Comme pour tout x∈Df, on a −x∈Dfet f(−x) = −f(x) alors la fonction est impaire.
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On dit qu’une fonction fdéfinie sur Dest périodique de période T si
∀x∈ D,x + T ∈ D et f(x+ T) = f(x)
Toutes les périodes sont des multiples de la plus petite période qui est appelée la période.
Définition Fonctions périodiques
Fonction Période
sinωx2π
ω
cosωx2π
ω
tanωxπ
ω
Théorème Périodes des fonctions périodiques les plus usuelles
2) Exercices
Exercice 1
On donne ci-dessous les graphiques de six fonctions. Par simple lecture graphique :
1) indiquez les fonctions paires,
2) indiquez les fonctions impaires.
Graphique de f1Graphique de f2Graphique de f3
Graphique de f4Graphique de f5Graphique de f6
Exercice 2
Compléter en bleu les représentations graphiques suivantes sachant qu’il s’agit de fonctions paires.
C1C2C3C4
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Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctions sont impaires (compléter en rouge).
Exercice 3
Soient fet gdeux fonctions paires. Compléter les tableaux suivants :
x-5 -3 -1 1 3 5
f(x) -10 -2 15
x−5−3035
13
g(x)
9 0
Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctions fet gsont impaires.
Exercice 4
Déterminer par le calcul si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou rien du tout.
1) a(x) = 4x
2) b(x) = x2−7
3) c(x) = x
x+ 100
4) d(x) = −5
5) e(x) = x4+1
x2
6) f(x) = x2+√x
7) g(x) = x+ 2
x+ 1
8) h(x) = x3+x
9) i(x) = x3
1−x2
Exercice 5
Dans cet exercice, on se propose de mettre en évidence une cohérence linguistique :
1) Déterminer la parité de chacune des fonctions suivantes :
f0:x7→ x0= 1 ; f1:x7→ x1;f2:x7→ x2;f3:x7→ x3;f4:x7→ x4;f5:x7→ x5.
2) Proposer une règle donnant la parité de x7→ xnsuivant la valeur de n.
3) Quelle cohérence remarque-t-on ?
II- Fonctions trigonométriques
1) Rappels
a) Mesure principale
On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure xqui se trouve dans l’intervalle ] −π;π]
Définition
Exemple
Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :
17π
4et −31π 6
•17π
4est un mesure trop grande (>π), il faut donc lui enlever un certain nombre kde tours (2π) pour obtenir
la mesure principale : 17π
4−k2π=π(17 −8k) 4=π 4avec k= 2
•−31π
6est une mesure trop petite(6−π), il faut donc lui rajouter un certain nombre kde tours (2π) pour
obtenir la mesure princimale :
−31π
6+k2π=π(−31 + 12k) 6=5π 6avec k= 3
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b) Résolution d’équations
• L’équation cosx= cosaadmet les solutions suivantes sur R:
x=a+k2πou x=−a+k2πavec k∈Z
• L’équation sinx= sinaadmet les solutions suivantes sur R:
x=a+k2πou x=π−a+k2πavec k∈Z
Propriété Équations trigonométriques
Exemple
Résoudre dans Rles équations suivantes :
a) √2cosx−1 = 0 b) 2sinx−√3 = 0
1) √2cosx−1 = 0 ⇔cosx=1
√2⇔cosx= cos π
4
On obtient les solutions : x=π
4+k2πou x=−π 4+k2πavec k∈Z
2) 2sinx−√3 = 0 ⇔sinx=√3
2⇔sinx= sin π 3
On obtient les solutions :
x=π
3+k2πou x=π−π 3+k2π=2π 3+k2πavec k∈Z
c) Signe des lignes trigonométriques
On a sur ] −π;π],
sinx > 0⇔x∈]0 ; π[
cosx > 0⇔x∈−π
2;π 2
O
0
π
2
−π
2
π
sinx > 0
cosx > 0
Propriété
2) Fonctions sinus et cosinus
a) Définition
À tout réel x, on associe un point unique M du cercle
unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les
coordonnées sont :
M(cosx; sinx)
sinx
cosx
x
M
O
On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives :
x7→ sinxet x7→ cosx
Définition
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Remarque
∀x∈R−16sinx61 et −16cosx61
b) Parité
D’après les formules de trigonométrie,
• La fonction sinus est impaire : ∀x∈Rsin(−x) = −sinx
• La fonction cosinus est paire : ∀x∈Rcos(−x) = cosx
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine, et la courbe représentative
de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété
c) Périodicité
D’après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2πpério-
diques.
∀x∈Rsin(x+ 2π) = sinxet cos(x+ 2π) = cosx
On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ] −π;π].
Propriété
d) De sinus à cosinus
D’après les formules de trigonométrie, on a :
sinπ
2−x= cosxet cosπ 2−x= sinx
Propriété
Exemple
Résoudre dans l’intervalle ] −π;π], l’équation suivante :
sinx+π
4= cosx
On transforme par exemple le cosinus en sinus, l’équation devient alors :
sinx+π
4= sinπ 2−x
Dans R, on trouve les solutions suivantes :
x+π
4=π 2−x+k2π
x+π
4=π−π 2−x+k2π⇔
2x=π
4+k2π
0x=π−π
2−π 4+k2π
La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dans R
x=π
8+kπ
Dans l’intervalle ] −π;π], on prend k=−1 et k= 0 , soit les solutions
x=−7π
8ou x=π 8
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