Calcul de Probabilité

Chapter 1
Calcul de Probabilité
Introduction
La théorie de probabilité a pour objectif de modéliser des expériences où plusieurs
résultats sont possibles mais où leur réalisation n’est pas déterminé à l’avance: lancer
de dés, prix d’une action, perturbation sur une ligne téléphonique, fils d’attente, . . .
etc. Ceci pour évaluer les risques et mettre sur pied des stratégies pour faire face
aux aléas.
•La première difficulté est donc de décrire correctement l’expérience aléatoire
afin d’énumérer l’ensemble des résultats possibles. Un résultat étant généralement
noté ω. On regroupe les résultats possibles dans un ensemble noté traditionnellement
Ωet appelé espace des issus ou univers. On appelle événement tout sous-ensemble
de Ω. Les singletons de Ωnoté {ω}sont appelés événements élémentaires.
Définition 1 Soit Ωl’univers d’une expérience aléatoire E. L’ensemble de tous les
évéments est appelé tribu des évéments et est noté F.
Remarque 1 Dans la pratique si aucune mention n’est faite, on prendra F=P(Ω)
l’ensemble des parties de Ω.
•La deuxième difficulté est alors d’attribuer à chaque événement A⊆Ωun
nombre compris entre 0et 1qui estime les chances qu’ à cet événement de se réaliser.
On appelle ce nombre la probabilité de A.
1.1 Probabilité
Définition 2 Une probabilité, notée Pest une fonction de Fdans [0,1] telle que
1. P(Ω) = 1.
2. P(A∪B) = P(A) + P(B)si Aet Bsont disjoints.
Le triplet (Ω,F,P)est appelé espace probabilisé.
On en déduit quelques propriétés immédiates.
1

1.2 Proposition
Si Pest une probabilité sur P(Ω) alors pour tout A, B ∈ P(Ω)
1. P(φ) = 0.
2. P(¯ A) = 1 −P(A).
3. P(A) = P(A∩¯ B) + P(A∩B).
4. P(A∪B) = P(A∪B)−P(A∩B).
5. Si A⊆Balors P(A)≤P(B)et P(B−A) = P(B)−P(A).
Théorème 1 Soit Ω = {ω1, ω2,...,ωn}un univers fini. Si P1, P2, . . . , Pnsont les
probabilités des événements ω1, ω2,...,ωnon a nécessairement
n
X
i=1
Pi= 1.
La probabilité Pest unique et est définie par ∀A∈ F,P(A) = Pn
i=1 Pi. Par
définition on a :
P(Ω) =
n
X
i=1
P({ωi}) =
n
X
i=1
Pi,avec Ω =
n
[
i=1
{ωi}.
∀A∈ F, A =[
ωi∈A
{ωi}.
1.3 Equiprobabilité
On dit qu’on a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ω1, ω2, . . . , ωn
ont la même probabilité de se produire: P1=P2=...=Pn=1
n·
On obtient,
P(A) = card(A)
card(Ω) =nombre de cas favorable nombre de cas possible ·
1.4 Probabilité conditionnelle
On considère l’espace probabilisé définie sur Ωet un événement Bfixé tel que
P(B)>0. La connaissance de Bmodifie la probabilité de réalisation d’événements
élémentaires puisque l’ensemble des résultats est devenu Bet non Ω.
Définition 3 On appelle probabilité de Arelative à B(ou sachant B) l’application
PB:F −→ [0,1]
A−→ PB(A) = P(A/B) = P(A∩B)
P(B)·
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1.5 Indépendance de deux événements
Soit A, B ∈ F deux événements de probabilités non nulles.
Définition 4 On dit que deux événements Aet Bsont indépendants si
P(A∩B) = P(A)P(B).
Proposition 1 Si Aet Bsont deux événements indépendants, alors
P(A/B) = P(A).
La probabilité de réalisation de Ane dépend pas de la réalisation de B.
De même,
P(B/A) = P(B).
Remarques 1 1. Ne jamais confondre indépendance et incompatibilité qui veut
dire qu’au préalable A∩B=φ⇒P(A∩B) = 0.
2. L’indépendance mutuelle entraine l’indépendance deux à deux. Par contre des
événements peuvent être indépendants deux à deux sans l’être mutuellement.
Exemple
On tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de n’obtenir
qu’un seul as lorsqu’on sait que parmi les 13 cartes figure l’as de pique.
Considérons les événements :
A="parmi les 13 cartes figures un seul as".
B="parmi les 13 cartes figure l’as de pique".
P(A) = C1
4C12 48
C13
52
;P(B) = C1
1C12 51
C13
52
,
P(A∩B) = C1
1C12 48
C13
52
;P(B)P(A) = P(A∩B)⇒Aet Bsont indépendants.
1.5.1 Propriétés
Si Aet Bsont deus événements indépendants alors
(i) ¯ Aet Bsont indépendants.
(ii) Aet ¯ Bson indépendants.
(iii) ¯ Aet ¯ Bsont indépendants.
3

Preuve
(i)
P(¯ A∩B) = P(¯ A/B)P(B) = (1 −P(A/B))P(B),
or Aet Bsont indépendants alors,P(A/B) = P(A).
Donc ,
P(¯ A∩B) = (1 −P(A))P(B) = P(¯ A)P(B).
Proposition 2 Soit A∈ F,B∈ F deux événements de probabilité non nuls, alors
on a:
(i)
P(A) = P(A/B)P(B) + P(A/ ¯ B)P(¯ B).
(ii)
P(B/A) = P(A/B)P(B)
P(A/B)P(B) + P(A/ ¯ B)P(¯ B)·
Preuve
(i)
A=A∩Ω = A∩(B∪¯ B) = (A∩B)∪(A∩¯ B),
P(A) = P(A∩B) + P(A∩¯ B),
or P(A/B) = P(A∩B
P(B)⇒P(A∩B) = P(B)P(A/B),
De même,
P(A∩¯ B=P(A/ ¯ B)P(¯ B),
d’où
P(A) = P(B)P(A/B) + P(A/ ¯ B)P(¯ B).
(ii)
P(B/A) = P(A∩B)
P(A)or P(A∩B) = P(A/B)P(B),
⇒P(B/A) = P(A/B)P(B)
P(A/B)P(B) + P(A/ ¯ B)P(¯ B)·
4

1.6 Théorème de Bayes
On considère une partition de Ω,E1, E2,...,Enavec P(Ei)>0,i= 1, . . . , n. Alors
on a le théorème suivant
Théorème 2 Pour tout A∈ F on a
(i)(formule des probabilités totales) P(A) =
n
X
i=1
P(Ei)P(A/Ei).(1.1)
Si P(A)>0alors,
(ii)∀i= 1,...,n, P(Ei/A) = P(Ei)P(A/Ei)
Pn
i=1 P(Ei)P(A/Ei)(formule de Bayes).(1.2)
Preuve
(i)
Ei∩Ej=φ∀i6=j,
Ω = ∪n
i=1Ei, A =A∩ ∪n i=1Ei=∪n i=1A∪Ei.
⇒P(A) = P(∪n
i=1A∩Ei) =
n
X
i=1
P(A∩Ei),or P(A/Ei) = P(A∩Ei)
P(Ei),
⇒P(A∩Ei) = P(A/Ei)P(Ei),
⇒P(A) =
i=n
X
i=1
P(A/Ei)P(Ei).
Ejet Eiétant comptable si i6=j⇒A∩Ejet A∩Eisont incomptables.
En effet,
Ei∩Ej=φ, (A∩Ei)∩(A∩Ej) = A∩Ei∩A∩Ej=A∩(Ei∩Ej) = A∩φ=φ.
(ii)
P(Ei/A) = P(Ei∩A)
P(A),∀i= 1, . . . , n,
or
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