Fiche méthode 04 – Résolution d`équations – Mise en équations

FM 04 : Résolution d’équations – Mise en équations
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Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 04 – Résolution d’équations – Mise en équations
1. Définitions – Propriétés - Méthodes
Définitions :
• Une égalité est une expression algébrique qui contient le signe "=". Une égalité peut être vraie ou fausse.
• Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu (souvent notés à l’aide d’une lettre x, y, a…)
• Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l’égalité soit vraie. On appelle
l’ensemble des solutions de l’équation, l’ensemble de ces valeurs.
• On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions.
Propriétés :
• Lorsqu’on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.
• Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une équation par un même réel non nul, on obtient une équation
équivalente.
"Equations-type" Résolution dans Ë Exemples
Equations du
premier degré
ax+b=0
a☻Ë et b☻Ë
ax+b=0ñx=-
b
a
S= -
b
a
Résolvons dans Ë : 3x−2−2(x−1)=8x+28
3x−2−2(x−1)=8x+28ñ3x−2−2x+2−8x=28
ñ−7x=28
ñx=-
28
7
=-4 donc S={-4}
Equations
produits
A×B=0
Un produit de facteurs est nul si et
seulement si au moins un de ses facteurs
est nul.
A×B=0ñA=0 ou B=0
Résolvons dans Ë : (4x−3)(5x−2)=0
(4x−3)(5x−2)=0ñ4x−3=0=0 ou 5x−2=0
ñx=
3
4
ou x=
2
5
donc S=
3
4
;
2
5
Equations
quotients
A
B
=0
Un quotient est nul si et seulement si son
numérateur est nul et son dénominateur
est non nul.
A
B
=0ñA=0 et Bý0
Résolvons dans Ë :
3x−2
4x+1
=0
Recherche des valeurs interdites : 4x+1=0ñx=-
1
4
On appelle E l’ensemble des réels, privé des éventuelles valeurs
interdites.
Sur E,
3x−2
4x+1
=0ñ3x−2=0ñx=
2
3
On vérifie que les solutions trouvées appartiennent à E avant de
conclure : S=
2
3
Exercice 1 : Résoudre dans Ë les équations suivantes :
1. (3x−1)(7−2x)=0
2. x
2
=-7
3. x
2
+9=6x
4. (x−2)(2−5x)=(3x+7)(2−5x)
5. x
2
+5=0
6. x(x−1)( x−2)−x(x−1)(3−2x)=0
7. x
2
=3
8.
5+x
(7x−1)(10+2x)
=0
9.
(2x−7)(3x+1)
x+8
=0
10.
x
2
−6x+9
x−2
=0
11.
25x
2
−9+(2x+1)(5x+3)
3x−10
=0
12.
1
1+x
=
1
1−x
13.
3x+2
x−2
=
2x−1
1−x
14.
x−2
x+7
=
x−1
x−5
15. x−2=
5
x+2
16.
1
x−2
−
3
x
2
−4
=0
Méthode de résolution d’équation :
- Si l’équation correspond à une des trois équations-type ci-dessus, conclure à l’aide du tableau.
- Sinon, montrer que l’équation est équivalente à une des trois équations-type par transformation d’écriture, puis conclure
à l’aide du tableau

FM 04 : Résolution d’équations – Mise en équations
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2. Résolution de problèmes
Méthode :
• Choix de l’inconnue et contraintes
• Mise en équation du problème
• Résolution
• Conclusion après avoir vérifié que les solutions trouvées sont compatibles avec les contraintes de l’énoncé.
Exercice 2
Résoudre les problèmes suivants après les avoir mis en équation :
1. Déterminer le ou les réels y tels que le quotient de y par 5 est égal à l’inverse de y.
2. Déterminer les nombres dont le carré du double est égal à 100.
Exercice 3
Soit [AB] un segment de longueur 8cm. Soient [AC] et [BD] des segments perpendiculaires à [AB] et de longueurs respectives 4cm
et 6cm. Soit M un point de [ A B] et soit x la longueur AM.
1. Déterminer x pour que les aires des triangles AMC et BMD soient égales.
2. a. Exprimer MC
2
en fonction de x, puis déterminer x tel que MC ait pour longueur 5cm.
b. Démontrer que MD
2
=x
2
−16x+100
c. Déterminer x pour que les longueurs MC et MD soient égales.
3. a. Démontrer que MC
2
+MD
2
=2
[ ]
(x−4)
2
+42 .
b. Déterminer x pour que MC
2
+MD
2
=86.
Exercice 4
La longueur d’un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est 450 m
2
.
Trouver les dimensions de ce rectangle.