Fiche méthode 04 – Résolution d`équations – Mise en équations

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 04 – Résolution d’équations – Mise en équations
1.
Définitions – Propriétés - Méthodes
Définitions :
• Une égalité est une expression algébrique qui contient le signe "=". Une égalité peut être vraie ou fausse.
• Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu (souvent notés à l’aide d’une lettre x, y, a…)
• Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l’égalité soit vraie. On appelle
l’ensemble des solutions de l’équation, l’ensemble de ces valeurs.
• On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions.
Propriétés :
• Lorsqu’on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.
• Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une équation par un même réel non nul, on obtient une équation
équivalente.
Résolution dans Ë
"Equations-type"
Equations du
premier degré
ax+ b=0
a☻Ë et b☻Ë
Equations
produits
A×B=0
ax+ b=0ñx=-
b
a
S=-
b

 a
Un produit de facteurs est nul si et
seulement si au moins un de ses facteurs
est nul.
A×B=0ñA=0 ou B=0
Equations
quotients
Un quotient est nul si et seulement si son
numérateur est nul et son dénominateur
est non nul.
A
=0
B
A
=0ñA=0 et Bý0
B
Exemples
Résolvons dans Ë : 3x−2−2(x−1)=8x+28
3x−2−2( x−1)=8x+28ñ3x−2−2x+2−8x=28
ñ−7x=28
28
ñx=- =-4 donc S={-4}
7
Résolvons dans Ë : (4x−3)(5x−2)=0
(4x−3)(5x−2)=0ñ4x−3=0=0 ou 5x−2=0
3
2
3 2
ñx= ou x= donc S= ; 
4
5
4 5
3x−2
Résolvons dans Ë :
=0
4x+1
1
Recherche des valeurs interdites : 4x+1=0ñx=4
On appelle E l’ensemble des réels, privé des éventuelles valeurs
interdites.
3x−2
2
Sur E,
=0ñ3x−2=0ñx=
3
4x+1
On vérifie que les solutions trouvées appartiennent à E avant de
2
conclure : S= 
3
 
Méthode de résolution d’équation :
- Si l’équation correspond à une des trois équations-type ci-dessus, conclure à l’aide du tableau.
- Sinon, montrer que l’équation est équivalente à une des trois équations-type par transformation d’écriture, puis conclure
à l’aide du tableau
Exercice 1 : Résoudre dans Ë les équations suivantes :
1.
(3x−1)(7−2x)=0
2.
x 2=-7
3.
x 2+9=6x
4.
( x−2)(2−5x)=(3x+7)(2−5x)
5.
x 2+5=0
6.
x( x−1)( x−2)−x( x−1)(3−2x)=0
7.
x 2=3
8.
5+ x
=0
(7x−1)(10+2x)
13.
3x+2 2x−1
=
x−2
1−x
9.
(2x−7)(3x+1)
=0
x+8
14.
x−2 x−1
=
x+7 x−5
10.
x 2−6x+9
=0
x−2
15. x−2=
11.
25x 2−9+(2x+1)(5x+3)
=0
3x−10
16.
12.
1
1
=
1+ x
1−x
5
x+2
1
3
−
=0
x−2 x 2−4
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2.
Résolution de problèmes
Méthode :
•
Choix de l’inconnue et contraintes
•
Mise en équation du problème
•
Résolution
•
Conclusion après avoir vérifié que les solutions trouvées sont compatibles avec les contraintes de l’énoncé.
Exercice 2
Résoudre les problèmes suivants après les avoir mis en équation :
1.
Déterminer le ou les réels y tels que le quotient de y par 5 est égal à l’inverse de y.
2.
Déterminer les nombres dont le carré du double est égal à 100.
Exercice 3
Soit [ AB] un segment de longueur 8cm. Soient [ AC] et [ BD] des segments perpendiculaires à [ AB] et de longueurs respectives 4cm
et 6cm. Soit M un point de [ AB] et soit x la longueur AM.
1.
Déterminer x pour que les aires des triangles AMC et BMD soient égales.
2.
a. Exprimer MC en fonction de x, puis déterminer x tel que MC ait pour longueur 5cm.
2
b. Démontrer que MD = x 2−16x+100
2
c. Déterminer x pour que les longueurs MC et MD soient égales.
3.
a. Démontrer que MC + MD =2[( x−4) +42].
2
2
2
b. Déterminer x pour que MC + MD =86.
2
2
Exercice 4
La longueur d’un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est 450 m 2.
Trouver les dimensions de ce rectangle.
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