20XX-XX.rappels.la-CVaR.adr2016-11-07 09:26162

1. La CVaR (Conditional Value at Risk)
Une critique supplémentaire de la VaR est qu'elle ne permet pas d'apprécier
l'amplitude de la perte subie au delà de la VaR. La CVaR est une mesure de risque
qui permet de corriger les défauts de la VaR. Il s'agit en fait de la perte moyenne
dans le cas ou la perte est supérieure à la VaR. C'est donc une espérance
conditionnelle :
CVaR_alpha(X) = (1/(1-alpha)) x int_alpha^1 VaR_u(X)du
Théorème : la CVaR est une mesure de risque cohérente.
Exercice : Démontrer le théorème ci-dessus.
Exemple : Si la perte X au temps T>0 d'un investissement suit une loi uniforme
entre -30 et 10, alors 0.9-VaR(X)=6 et 0.9-CVaR(X)=8.
Exercice : On suppose qu'eu temps t=0 on dispose d'un portefeuille dont la perte au
temps T est une variable aléatoire X exponentiellement distribuée de moyenne 4.
Calculez 0.9-VaR(X) et 0.9-CVaR(X).
Exercice : On suppose qu'eu temps t=20 on dispose d'un portefeuille dont les pertes
historiques pendant les 20 derniers jours (t=0, …, 19) ont été les suivantes :
X_0=-5; X_1=-10; X_2=4; X_3=-2; X_4=-9; X_5=-3; X_6=-4; X_7=0; X_8=60;
X_9=-6; X_10=-7;
X_11=-8; X_12=-5; X_12=-2; X_13=-4; X_14=-6; X_15=-8; X_16=0; X_17=0;
X_18=0; X_19=-3; X_20=-7;
Calculer la 0.95-CVaR historique sur les 20 derniers jours.
2. L'échantillonnage préférentiel
Supposons que l'on veuille estimer theta=P(X>=20) où X est une variable aléatoire
normale centrée réduite. C'est précisément le genre d'estimation nécessaire à la
mesure du risque (voir définition de la VaR). Pour obtenir cette estimation, voilà
comment procède la méthode de Monte-Carlo :
1. générer des réalisations x_1, …, x_n de la variable aléatoire X,
2. Pour tout i de 1 à n, poser I_i = 0 si x_i<20 et I_i=1 sinon,
3. Calculer la moyenne des I_i,
4. Il reste à calculer un intervalle de confiance pour cette estimation.
En fait cette approche par Monte-Carlo serait complètement inadéquate dans ce cas.
En effet, elle ne permet pas d'approcher theta avec une précision satisfaisante
puisqu'il faudrait n > 10^89 pour pouvoir obtenir en moyenne au moins une valeur
non-nulle de I !! En pratique, si on utilise une valeur de n plus petite, on risque
d'obtenir theta=0 avec comme intervalle de confiance [0,0].
On pourrait se dire qu'avec une valeur si petite de P(X>=20), il serait naturel de

supposer que cette probabilité est nulle sans risquer de faire une erreur significative.
En fait il se trouve que dans de nombreuses situations, on peut évaluer une
probabilité faible pour un évènement excessivement couteux. Autrement dit, la
quantité à évaluer serait le produit d'un nombre très proche de zéro avec un nombre
très grand. Dans ce contexte il est essentiel de disposer d'une estimation fiable de la
probabilité, aussi faible soit-elle.
Exemple : supposons qu'il y ait sur le marché une option dont le prix, très faible, est
difficile à estimer, et qu'on ait pour l'instant une fourchette entre 0.01 cent et 10 cent
pour le prix de cette option. Cette fourchette est très imprécise et un investisseur ne
va pas perdre grand chose si elle ne dispose que d'une approximation de ce prix
puisqu'elle risque de perdre au plus 10 cents pour cette option. Mais maintenant,
imaginons qu'une banque ait 1 million de ces options. Supposons de plus qu'un
achat soit fait chaque semaine… Dans ce cas, le prix de l'option sera multiplié par
un nombre très élevé et notre fourchette de prix nous donne une estimation de la
perte qui est imprécise avec un facteur multiplicatif de 1000 !! La perte serait par
exemple estimée entre 1000 dollars et 1 million de dollars !!
Méthode : Supposons que l'on veuille estimer la moyenne theta de h(X), où X est
une variable aléatoire dont la densité est notée f. Choisissons une autre densité, g,
telle que g(x)!=0 dès que f(x)!=0. C'est à dire que le support de f est contenu dans le
support de g. Dans ce cas :
theta = E[h(X)] = int h(x)f(x)dx = int h(x)[f(x)/g(x)]g(x)dx = E[h(X)f(X)/g(X)].
La dernière espérance est donc calculée avec la densité g, ce qui revient à dire que
X admet g comme fonction de densité. Ceci permet de changer radicalement la
qualité de l'estimation de theta obtenue par la méthode de Monte-Carlo. En effet,
nous pouvons modifier la méthode décrite ci-dessus de la manière suivante :
1. générer des réalisations x_1, …, x_n d'une variable aléatoire de densité g,
2. Pour tout i de 1 à n, poser I_i = h(x_i)f(x_i)/g(x_i),
3. Calculer la moyenne des I_i,
4. Il reste à calculer un intervalle de confiance pour cette estimation.
Exemple : reprenons l'exemple précédent. La densité de la variable aléatoire X (de
loi normale centrée réduite) est :
f(x) = [1/sqrt(2pi)]exp(-x^2/2)
Choisissons g(x) = [1/sqrt(2pi)]exp(-(x-20)^2/2). Dans ce cas :
P(X>=20) = int_20^{+\infty} f(x)dx = int_20^{+\infty} [f(x)/g(x)]g(x)dx
3. Réduction de la variance
Pour améliorer la précision des estimations obtenues par la méthode de
monte-Carlo, il est possible de réduire la variance des données simulées en utilisant
la densité auxiliaire introduite dans la méthode d'échantillonnage préférentiel.
Rappelons que la variance d'une variable aléatoire X est donnée par Var(X) = E[X^2]

- E[X]^2. Dans ce cas,
a. Si X suit la densité f, V_f(X) = Var(h(X)) = int h(x)^2f(x)dx - theta^2
b. Si X suit la densité g, V_g(X) = Var(h(X)f(X)/g(X)) = int h(x)^2(f(x)/g(x))f(x)dx -
theta^2
On obtient : V_f(X) - V_g(X) = int h(x)^2(1-f(x)/g(x))f(x)dx
Si la quantité V_f(X) - V_g(X) est positive alors la variance des données simulées a
été réduite par l'introduction de la densité g. Pour que cela se produise, il faut que
les deux conditions suivantes soient satisfaites :
1. f(x)/g(x) > 1 quand h(x)^2f(x) est petit
2. f(x)/g(x) < 1 quand h(x)^2f(x) est grand
Exercice :