DS2005

DS de maple
(lundi 23 mai 2005, de 13 h 30 à 14 h 30)
Calcul numérique d’une intégrale.
1) On désire calculer numériquement 1
4
01
dx
x−
∫. Ecrire la commande.
2) La réponse à cette commande est
(
111
,
442
B
)
. Que faire ?
Algorithmique
1) Si est une liste, comment désigne-t-on le troisième élément de cette liste ? L
2) Soit une liste de 347 points, chaque point étant une liste de ses deux coordonnées entières . Ecrire un
programme qui calcule une nouvelle liste de 347 points, chaque point se déduisant de son homologue de la première
liste et ayant pour coordonnées .
,xy
,xx y×
3) Soit t un tableau indicé de 1 à , contenant des entiers et un entier. Ecrire une procédure de paramètres t, N
et qui retourne true si est un élément de t et false dans le cas contraire. On utilisera une boucle while pour éviter
d’examiner le reste du tableau si on a trouvé l’élément.
N p
p p
Cinétique d’ordre 2.
1) Soit k et deux constantes positives. Lors d’une cinétique chimique, une concentration c évolue au cours du
temps t selon
0
c
2
dc kc
dt
−=. Résoudre analytiquement cette équation différentielle, avec la condition initiale .
0
cc=
2) En déduite l’instant pour lequel .
1
t0/2cc=
3) Tracer le graphe de entre les instants 0 et .
()
ct 1 5t
Le chien et le lapin.
Un lapin A court le long du grillage circulaire de centre C et de rayon R qui entoure un pré avec la vitesse angulaire
constante ω positive. Un chien M part d’un point M0 du grillage tel que
(
et court en direction du
lapin avec une vitesse u de module constant et inférieure à celle du lapin.
)
0
,AC AM =θ0
)
Plaçons nous dans le référentiel tournant lié à AC et repérons le chien par ses coordonnées polaires par rapport au
lapin r et . Choisissons comme unité de longueur le rayon du pré et comme unité de vitesse
celle du lapin. Les équations en coordonnées polaires du mouvement du chien sont :
AM=
(
,AC AMθ=
sin
cos 1
dr u
dt
d
dt r
=−+θ
θθ
=−
1) Résoudre numériquement ces équations pour et (la résolution analytique échoue). 0, 5u=00θ=
2) Afficher la trajectoire du chien.
3) Ecrire une procédure dont les paramètres sont u, et la durée maximale étudiée et qui retourne un objet de type
plot représentant la trajectoire du chien. 0
θ
4) Afficher la trajectoire du chien et le grillage pour et en utilisant cette procédure. 0, 5u=00θ=
Corrigé
A.1.
> int(1/sqrt(1-x^4),x=0..1); 1
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Β,
1
41 2
A.2.
> evalf(int(1/sqrt(1-x^4),x=0..1)); 1.311028777
B.1.
L[3]
B.2.
> for i to 5 do L[i]:=[L[i,1],L[i,1]*L[i,2]] od:
B .3.
> existe:=proc(t ::array(integer),N ::integer,p ::integer)
local i:

i:=1:
while i<=N and t[i]<>p do i:=i+1 od:
evalb(i<=N):
end:
C.1.
> sol:=dsolve({diff(c(t),t)=-k*c(t)^2,c(0)=c0},c(t));
:= sol = ()ct1
+ kt 1
c0
C.2. et 3.
> assign(sol):
t1:=solve(c(t)=c0/2,t);
:= t1 1
kc0
plot(subs(k=1,c0=1,c(t)),t=0..subs(k=1,c0=1,t1)*5,0..1);
D.1.
> restart:with(plots):
sol:=dsolve({diff(r(t),t)=-0.5+sin(theta(t)),
diff(theta(t),t)=cos(theta(t))/r(t)-1,
theta(0)=0,r(0)=2},{r(t),theta(t)},numeric);
:= sol proc( ) ... end procrkf45_x
D.2.
> odeplot(sol,[r(t)*cos(theta(t)),r(t)*sin(theta(t))],
0..20,scaling=constrained);
D.4.
> traj:=proc(u,theta0,duree)
local sol:
sol:=dsolve({diff(r(t),t)=-u+sin(theta(t)),
diff(theta(t),t)=cos(theta(t))/r(t)-1,
theta(0)=theta0,r(0)=2},{r(t),theta(t)},numeric);
odeplot(sol,[r(t)*cos(theta(t)),r(t)*sin(theta(t))],
0..duree,numpoints=200);
end:
D.5.
> display({traj(0.5,0,20),polarplot(2*cos(theta),
theta=-Pi/2..Pi/2)},scaling=constrained);