TD: Rotation d`une balle de jokari

TD: Rotation d’une balle de jokari
1 Position du problème
Une balle de jokari de masse m = 50 g est fixée à l’extrémité d’un fil élastique de raideur k = 10 N.m−1
et de longueur au repos `0 = 0,5 m. On néglige le rôle de la pesanteur et du frottement de l’air; on étudie
seulement les mouvements de rotation de cette balle autour d’un point fixe.
La vitesse initiale ~v0 est orthoradiale.
1. Déterminer la valeur de ~v0 pour laquelle le mouvement serait circulaire uniforme, le rayon du cercle étant
`1 = `0 + a. On appellera ω0 la vitesse angulaire correspondante que l’on calculera. Application numérique:
a = 0,05 m.
2. On s’écarte peu des conditions précédentes, de sorte que le mouvement est presque circulaire. La distance
au centre est r = `1 + x et la vitesse angulaire ω = ω0 + ε.
a. Écrire, de façon générale, les équations différentielles vérifiées, en coordonnées cylindriques, par r(t)
et θ(t).
b. Simplifier ces équations, en supposant x(t) et ε(t) infiniment petits du premier ordre.
c. Résoudre les équations différentielles avec les conditions initiales: x = x0 , ε = 0 et vitesse initiale
orthoradiale. Trouver x(t), puis ε(t) et enfin θ(t).
Déterminer l’arc angulaire θ correspondant à une période entière des oscillations de x. À quelle
condition la courbe obtenue se refermera-t-elle sur elle-même (en supposant l’écart x0 infinitésimal) ?
Application numérique: Calculer ω0 pour que l’oscillation ait lieu 3 fois par tour. Même calcul si elle
a lieu une fois pour 3 tours.
3. Écrire le programme visualisant les trajectoires. On prendra x0 = 0,1 m. Le centre de la trajectoire sera
bien évidemment en O.
Tracer sur le même graphique: le cercle de référence de rayon `0 + a + x0 et la trajectoire correspondant à
3 oscillations par tour; puis le cercle de référence et la trajectoire correspondant à 1 oscillation tous les 3
tours.
Solution
1. Pour un mouvement circulaire uniforme,
de la dynamique appliqué à la balle donne:
q le principe fondamental
q
m.v02
`1
= k.(`1 − `0 ) = k.a; soit: v0 =
k.a.`1
m
et ω0 =
v0
`1
=
k.a
m.`1
(
••
•
k
2
~a.~ur = r −
= −m
.(r − `0 )
r.(θ)
•
d
2
~a.~uθ = dt r .θ = 0
2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la balle donne:
~v0 .~ur = 0
r0 = `0 + a + x0
avec les conditions initiales:
et
.
~v
uθ = ω.(`0 + a + x0 )
θ0 = 0
0 .~
r = `0 + a
.
Or, pour x = 0, on a: ε = 0 ⇒
k
r.ω02 = m
.a.
•
Dans le cas général, l’expression de l’accélération orthoradiale est nulle d’où: r2 .θ = cte
⇒ (`0 + a + x)2 .(ω0 + ε) = (`0 + a + x0 )2 .ω0 ⇒ (ω0 + ε) =
(`0 +a+x0 )2 .ω0
(`0 +a+x)2
(1)
••
k
L’expression de l’accélération radiale, quant à elle, s’écrit: x − (`0 + a + x).(ω0 + ε)2 = − m
.(a + x)
••
(`0 +a+x0 )4 .ω02
(` +a+x0 )4 .ω02
k
k
= −m
.(a + x) ⇒ x − 0 (`0 +a)
.(1 − `03.x
3
(`0 +a+x)3
+a ) ' − m .(a
i
4
2
4
2
••
3.(`0 +a+x0 ) .ω0
(`0 +a+x0 ) .ω0
k
⇒ x+
+m
.x ' − k.a
(`0 +a)4
m +
(`0 +a)3
h
i
4
2
3.(`
+a+x
)
.ω
(`0 +a+x0 )4 .ω02
0
0
k
0
On pose: ωx2 =
+m
et − k.a
= ωx2 .xpart .
(`0 +a)4
m +
(`0 +a)3
••
⇒ x−
h
1
+ x)
ISEN-Brest. Kany.
TD: Rotation d’une balle de jokari
••
La résolution de: x + ωx2 .x = ωx2 .xpart donne: x = A. cos(ωx .t + ϕ) + xpart de période Tx = 2.π
ωx .
On déduit de (1):
2
2
2
A. cos(ωx .t+ϕ)+xpart
0 ) .ω0
0 ) .ω0
0 ) .ω0
' (`0 +a+x
.(1 − 2. `0x+a ) = (`0 +a+x
.(1 − 2.
).
(ω0 + ε) = (`0(`+a+x
2
(`0 +a)2
(`0 +a)2
`0 +a
0 +a+x)
R Tx
Pendant une périodeh d’oscillation suivant
x, l’angle θ varie de ∆θ = t=0 (ω0 + ε).dt
i
xpart .Tx
2.x
(`0 +a+x0 )2 .ω0
(`0 +a+x0 )2 .ω0 2.π
∆θ =
. Tx − 2. `0 +a
=
. ωx .(1 − `0 part
(`0 +a)2
(`0 +a)2
+a )
Application 1: on impose 1 oscillation suivant x pendant 13 de tour de θ; c’est-à-dire: ∆θ = 31 .2.π.
Application 2: on impose 1 oscillation suivant x pendant 3 de tours de θ; c’est-à-dire: ∆θ = 3 × 2.π.
2 Code avec Mathematica
Jokari
Calcul numérique
In[1]:= k=10;l0=0.5;a=0.05;x0=0.1;m=0.05;
In[2]:= Rref=l0+a+x0;
Graph0=ParametricPlot[{Rref Cos[Theta],Rref Sin[Theta]},{Theta,0,2 Pi}, AspectRatio->1];
In[4]:=omega=.;
Jokari[omega ]:=( t=.;r=.;Vtheta=.;Theta=.;tmax=2;
Ar=r’’[t]-r[t] (Theta’[t])^2; Atheta=D[r[t]^2 Theta’[t],t];
Vr[t ]:=r’[t]; Vtheta[t ]:=r[t] Theta’[t];
Fr=-k (r[t]-l0); Ftheta=0; Vr0=0; Vtheta0=omega*(l0+a+x0); r0=l0+a+x0; Theta0=0;
tmp=NDSolve[{
Fr == m Ar,Vr[0]==Vr0,r[0]==r0, Ftheta==m Atheta,Vtheta[0]==Vtheta0,Theta[0]==Theta0},
{r[t],Theta[t]},{t,0,tmax}]; R=r[t]/.tmp[[1]][[1]]; Theta=Theta[t]/.tmp[[1]][[2]];
Graph1=ParametricPlot[{R Cos[Theta],R Sin[Theta]},{t,0,tmax}, AspectRatio->1];)
In[6]:= Jokari[4.9];Show[Graph1,Graph0]
Out[6]=
In[7]:= Jokari[9.5];Show[Graph1,Graph0]
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Rotation d’une balle de jokari
Out[7]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
from scipy.integrate import odeint
1.0
0.5
1.0
0.5
0.00.0
0.5
1.0
0.5
1.0
3
ISEN-Brest. Kany.
TD: Rotation d’une balle de jokari
1.0
0.5
1.0
0.5
0.00.0
0.5
1.0
0.5
1.0
4