L`espace Rn

Chapitre 1
L’espace Rn
L’ensemble Rnest d´efini comme l’ensemble des n-tuplets ordonn´es (x1, . . . , xn)
de nombres r´eels. Ces n-tuplets sont appel´es points de Rn. En mˆeme temps on
peut interpr´eter l’ensemble Rncomme espace vectoriel de dimension n. Dans
ce chapitre nous passons d’abord en revue cette structure alg´ebrique de Rn.
Ensuite nous introdusions une structure topologique qui nous permet d’´etendre
le concept du processus limite `a l’espace Rn. On retrouve ces structures de base
dans des situations plus abstraites comme celles d’un espace norm´e ou d’un
espace m´etrique auxquelles nous donnons ´egalement une br`eve introduction.
1.1 L’espace vectoriel Rn
Notations. Une autre repr´esentation des ´el´ements de l’espace vectoriel Rn
est donn´ee par des vecteurs-colonnes `a ncomposantes (au lieu des n-tuplets
(x1, . . . , xn). On les note
x=
x1
·
·
·
xn
ou surmont´es d’une fl`eche x=⃗x.` A chaque n-tuplet correspond un unique
vecteur-colonne et vice versa. Pour le calcul nous utilisons g´en´eralement des
vecteurs-colonnes pour les ´el´ements de Rnet les deux notations pour les argu-
ments des fonctions d´efinies sur Rnen raison d’une meilleure lisibilit´e du texte.
Espace vectoriel. L’ensemble Rnpeut ´egalement ˆetre consid´er´e comme un
espace vectoriel r´eel muni d’une addition
x+y=
x1
·
·
·
xn
+
y1
·
·
·
yn
=
x1+y1
·
·
·
xn+yn
3

CHAPITRE 1. L’ESPACE RN4
et d’une multiplication avec un scalaire λ∈Rd´efinie par
λx=λ
x1
·
·
·
xn
=
λx1
·
·
·
λxn
Produit scalaire. L’espace vectoriel Rnest ´egalement muni d’un produit
scalaire ⟨·,·⟩ :Rn×Rn−→ Rd´efini par
⟨x,y⟩=
n
k=1
xkyk.
De fa¸con g´en´erale un produit scalaire ⟨·,·⟩ v´erifie les trois propri´et´es suivantes :
1. Positivit´e : ⟨x,x⟩ ≥ 0 pour tout xet ⟨x,x⟩= 0 ⇔x=0
2. Sym´etrie : ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩
3. Lin´earit´e dans chaque argument : ⟨αx+βy,z⟩=α⟨x,z⟩+β⟨y,z⟩pour
tous x,y,z∈Rnet α, β ∈R
L’alg`ebre lin´eaire : Un vecteur xest aussi une matrice n×1, sa transpos´ee,
not´ee xT= (x1, ..., xn) est alors une matrice 1 ×n. Par cons´equent, on peut
interpr´eter le produit scalaire de deux vecteurs x,ycomme produit matriciel de
xTet y:
⟨x,y⟩=xTy= (x1, . . . , xn)·
y1
·
·
·
yn
.
Dimension de Rn.Les vecteurs
e1=
1
0
·
·
0
, . . . , ek=
0
·
1
·
0
, . . . , en=
0
·
·
0
1
forment une base orthonormale de Rnet
x=
n
k=1
xkek
pour tout x∈Rno`u xk=⟨x,ek⟩ ∈ R. Alors,
dim Rn=n < ∞.
On dit que Rnest un espace vectoriel euclidien de dimension n. Tout espace
vectoriel r´eel de dimension npeut ˆetre identifi´e avec Rn.

CHAPITRE 1. L’ESPACE RN5
SUPPL´ EMENT : AUTRES ESPACES VECTORIELS
Espaces euclidiens de dimension infinie. L’ensemble l2(R) consiste en les
suites num´eriques (xk)k∈Ntelles que ∞
k=0
x2
k<∞. C’est un espace vectoriel muni
de l’addition (xk)k∈N+ (yk)k∈N= (xk+yk)k∈N. On d´efinit un produit scalaire
par
⟨(xk)k∈N,(yk)k∈N⟩=∞
k=0
xkyk.
Il est plus commode de repr´esenter les suites formellement par des vecteurs dans
”R∞”. On peut donc ´ecrire
⟨x,y⟩=∞
k=0
xkyk.
L’ensemble C([a, b]) des fonctions continues f: [a, b]−→ Rest un espace
vectoriel. Sur C([a, b]) on peut d´efinir un produit scalaire par
⟨f, g⟩=b
a
f(x)g(x)dx.
L’espace vectoriel complexe Cn.L’espace Cnest l’ensemble de vecteurs
complexes xmuni de l’addition habituelle et d’une multiplication externe par
des nombres complexes. C’est un espace vectoriel complexe (c’est-`a-dire sur le
corps C). On peut d´efinir un produit scalaire par
⟨x,y⟩=
n
k=1
¯xkyk.(1.1)
Ce produit scalaire a la propri´et´e d’ˆetre lin´eaire dans sa deuxi`eme composante
et anti-lin´eaire dans sa premi`ere composante. De plus, pour tous x,y∈Cn
⟨x,y⟩=⟨y,x⟩.
Les vecteurs ek,k= 1 . . . n, forment une base orthonormale. On dit que l’es-
pace Cnest un espace hermitien de dimension n. En m´ecanique quantique non
relativiste l’´etat de spin d’une particule de spin sest repr´esent´e par un vecteur
dans C2s+1.
L’espace vectoriel r´eel Cn.Un espace hermitien est toujours un espace
euclidien si la multiplication externe est restreinte aux nombres r´eels. On prend
le produit scalaire
⟨x,y⟩R= Re(⟨x,y⟩) = Re
n
k=1
¯xkyk.(1.2)
Les vecteurs ek, iek,k= 1 . . . n, forment une base orthonormale par rapport `a
ce produit scalaire. Par cons´equent, l’espace vectoriel r´eel Cnest de dimension
2n. Nous pouvons donc identifier Cnavec l’espace euclidien R2n.

CHAPITRE 1. L’ESPACE RN6
1.2 L’espace norm´e Rn
Pour pouvoir ´etendre les methodes d’analyse d´evelopp´ees en Analyse I `a
l’espace Rn, celui-ci doit ˆetre muni d’une structure topologique. Sur le corps R
nous avons utilis´e la valeur absolue |·| pour d´efinir une distance d(x, y) = |x−y|.
On a d´efini la convergence et la continuit´e dans Rpar cette distance d. On veut
g´en´eraliser la valeur absolue et la distance `a l’espace Rn. Pour cela nous allons
introduire les notions d’une norme et d’une m´etrique.
D´efinition - norme et espace norm´e. Soit Eun espace vectoriel r´eel. Une
fonction || · || :E−→ R+est appel´ee une norme sur Esi || · || v´erifie les trois
propr´et´es suivantes :
1. Positivit´e : ||x|| ≥ 0 pour tout x∈Eet ||x|| = 0 ⇔x=0
2. Homog´en´eit´e : ||λ·x|| =|λ| · ||x|| pour tout λ∈Ret x∈E
3. In´egalit´e triangulaire : ||x+y|| ≤ ||x|| +||y|| pour tout x,y∈E
Le couple (E, || · ||) est appel´e un espace norm´e.
La norme euclidienne sur Rn.La fonction || · ||2:Rn−→ Rd´efinie par
||x||2=⟨x,x⟩=n
k=1
x2
k1
2
(1.3)
est une norme sur Rn. On l’appelle la norme euclidienne (canonique) sur Rn.
L’in´egalit´e triangulaire est une cons´equence de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz
⟨x,y⟩2≤ ⟨x,x⟩⟨y,y⟩=||x||2||y||2.(1.4)
Il en suit que Rnmuni de la norme euclidienne est un espace norm´e :
Proposition. (Rn,|| · ||2) est un espace norm´e.
Distance euclidienne sur Rn.Sur un espace norm´e (E, || · ||) on peut in-
troduire une distance entre des vecteurs par
d(x,y) := ||x−y||.(1.5)
Elle v´erifie les trois propri´et´es suivantes :
1. Positivit´e : d(x,y)≥0 pour tous x,y∈Met d(x,y) = 0 ⇔x=y
2. Sym´etrie : d(x,y) = d(y,x)
3. In´egalit´e triangulaire : d(x,y)≤d(x,z) + d(z,y)
pour x,y,z∈E. Le couple (E, d) est appel´e un espace m´etrique. Sur Rnon
mesure la distance entre des vecteurs par la distance (ou m´etrique) euclidienne
donn´ee par
d(x,y) = d2(x,y) = ||x−y||2=(x1−y1)2+. . . + (xn−yn)2.(1.6)

CHAPITRE 1. L’ESPACE RN7
Interpr´etation g´eom´etrique. Dans R2ou R3la m´etrique euclidienne d2(x,y) =
||x−y||2signifie la distance euclidienne (habituelle) de deux points xet y. La
norme euclidienne ||x||2correspond ´egalement `a la longueur du vecteur x. Le
produit scalaire ⟨x,y⟩donne une mesure de l’angle entre les vecteurs xet y:
On d´esigne θ=^(x,y), alors
⟨x,y⟩=||x||2||y||2cos θ.
En particulier, si xet ysont des vecteurs orthogonaux, i.e. θ=±π/2, alors
⟨x,y⟩= 0.
1.3 Sous-ensembles de Rn
Pour d´efinir certaines notions et propri´et´es des sous-ensembles de Rnon
utilise seulement le fait que l’espace Rnest muni d’une m´etrique, par exemple
la distance euclidienne d(x,a) = d2(x,a) . Nous allons voir plus loin que pour
l’espace vectoriel Rnces notions ne d´ependent pas du choix de dsi dest d´efinie
`a partir d’une autre norme sur Rn.
Boule ouverte. Soit a∈Rnet r > 0. L’ensemble
B(a, r) = {x∈Rn:d(x,a)< r}
est appel´e la boule ouverte de centre aet de rayon r. Les caract´erisations topo-
logiques des sous-ensmbles des r´eels introduites en Analyse 1 s’´etendent natu-
rellement `a l’espace Rn:
Sous-ensemble ouvert. Un sous-ensemble S⊂Rnest dit ouvert si pour
tout x∈Sil existe un voisinage B(x, ϵ) tel que B(x, ϵ)⊂S. L’ensemble vide ∅
et l’espace Rnsont ouverts. Toute boule ouverte B(a, r) est un ensemble ouvert.
Toute r´eunion quelconque d’ouverts est un ensemble ouvert. Toute intersection
finie d’ouverts est un ouvert.
Sous-ensemble ferm´e. Un sous-ensemble S⊂Rnest dit ferm´e si Rn\Sest
ouvert. L’ensemble vide ∅et l’espace Rnsont ferm´es (et ouverts).
L’int´erieur et le bord d’un ensemble. Soit S⊂Rnet a∈S. On dit que
aest dans l’int´erieur de Ss’il existe un voisinage B(a, ϵ) tel que B(a, ϵ)⊂S.
L’ensemble des points int´erieurs `a Sest appel´e l’int´erieur de Set not´e ◦ S. Un
point a∈Rnest appel´e point fronti`ere de Ssi tout voisinage B(a, ϵ) contient
des points de Set des points de Rn\S. L’ensemble des points fronti`eres `a Sest
appel´e le bord de Set not´e ∂S.
Exemple. La boule unit´e ouverte dans Rn(par rapport `a la norme ||·||2) est
d´efinie par
B1=B(0,1) = {x∈Rn:||x|| <1}.
Son bord est la sph`ere
∂B1={x∈Rn:||x|| = 1}.