Lycée de l'Essouriau Année 2014-2015 PCSI ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1 Langage ensembliste. Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d'un panier de basket. Il est convenu que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu'en cas d'ex-aequo les vainqueurs se partageront le paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons. 1. Quel espace de probabilité (Ω, P(Ω), P ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ? 2. En utilisant les événements : A = {Arthur marque un panier}, C = {Cécile B = {Béatrice marque un panier}, marque un panier}, écrire de façon ensembliste les événements suivants : D = {tous F = {Béatrice les trois réussissent à marquer}, obtient tous les bonbons}, H = {Cécile E = {aucun G = {les obtient au moins un bonbon}, trois enfants obtiennent des bonbons}, I = {Arthur 3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de ne réussit à marquer}, Ω ne reçoit aucun bonbon}. , préciser ceux qui sont des événements élé- mentaires et donner l'expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a, b et c qu'Arthur, Béatrice et Cécile respectivement marque un panier. On suppose maintenant que les enfants répètent suppose que l'on dispose de 1. n Ωn fois l'expérience précédente dans les mêmes conditions (on paquets de bonbons). (a) Quel espace de probabilité (b) Ecrire l'événement n (Ωn , P(Ωn ), Pn ) J = {Cécile choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ? n'a pas gagné lors des deux premières parties} comme sous-ensemble de : 2. On s'intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une probabilité p de marquer à chaque partie. (a) Proposer un nouvel espace de probabilité. (b) Soit i ∈ {1, ..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l'événement, Ci = {Cécile (c) Ecrire à l'aide des événements K = {Cécile L = {Cécile Ci , a gagné lors de la i-ème partie}. l'événement J puis les événements suivants a gagné au moins une fois lors des n a gagné au moins deux fois lors des (d) Donner les événements contraires des événements J, K (e) Donner les expressions des probabilités des événements 1 et premières parties} n premières parties}. L. J, K et L en fonction de p. Exercice 2 On pose au hasard de l'auteur n≥2 livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a 1. Proposer un codage de la disposition des livres de l'auteur 0 et M qui sont sur cette étagère n'utilisant que les symboles 1. 2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur 3. Soit k ∈ {2, . . . , n} M. r ≥ k. M soient côte à côte ? Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur M soient dans les r premiers livres de l'étagère ? 4. Soit ` ∈ {k − 2, . . . , n − 2}. Quelle est la probabilité qu'il y ait ` M qui se k = 2, combien livres entre le livre de l'auteur trouve le plus à gauche sur l'étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l'étagère ? Si de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l'auteur M sur l'étagère ? Exercice 3 On choisit au hasard deux sous ensembles 1. A∪B 2. A ∪ B = E. 3. A∩B 4. A ⊂ B. A et B d'un ensemble E à n éléments. Calculer la probababilité que : soit un singleton. soit un singleton. Exercice 4 r On répartit au hasard boules dans n cases. On s'intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case. 1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience. µr,n (k), que k boules tombent dans la case 1. Montrer que, si r tend vers λ > 0, on a : n 2. Calculer la probabilité, notée vers +∞, de sorte que µr,n (k) → µ(k) = λk −λ e , k! r1 , . . . , rn des entiers tels que r1 + · · · + rn = r. 1, . . . , rn boules dans la case n. 3. Soient case 4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi le même jour ? Pour quelles valeurs de r r et n tendent ∀k ∈ N. Calculer la probabilité d'obtenir r1 boules dans la r personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire cette probabilité est-elle supérieure à 0.5 ? 5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte aux lettres d'une des cinq secrétaires de l'entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive au moins un des n messages envoyés ? 10 boules blanches, Exercice 5 Une urne contient 1. On tire au hasard 3 4 noires, 6 rouges. boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité des événements suivants : (a) Tirage contenant une noire exactement (b) Tirage bicolore (c) Tirage tricolore 2. Reprendre les questions dans le cas d'un tirage successif sans remise, puis dans le cas d'un tirage simultané. 3. On tire maintenant toutes les boules de l'urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro 2 k Exercice 6 Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8 chaussures parmi les 20. Calculer la probabilité des évévnements suivants ; 1. Parmi les 8 chaussures ne gure aucune paire 2. Parmi ces 8 chaussures gure exactement une paire. 3. Parmi ces 8 chaussures gure au moins une paire ? Exercice 7 Une compagnie d'assurances répartit ses clients en trois classes R1 , R2 moyens et les mauvais risques. Les eectifs de ces trois classes représentent classe R1 , 50% pour la classe R2 30% et pour la classe R3 . R3 : 20% de et les bons risques, les risques la population totale pour la Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de et 0, 05, 0, 15 0, 30. Si M. Martin ,n'a pas eu d'accident dans l'année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque ? Exercice 8 Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 1/4. 1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit Dénir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et X le nombre de retards que ce client a subi. V (X). 2. On considère un ensemble de 8 clients diérents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit Dénir la loi de M. M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. La donner explicitement. Calculer E(M ). Exercice 9 Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S'il 2 points, sinon il en perd 3. Soit Xn le nombre de boules blanches et Yn le nombre tire une boule blanche, il gagne de points obtenus. Déterminer la loi de Exprimer Yn Xn , E(Xn ) et V (Xn ). Xn . En déduire la loi puis en fonction de de Yn , puis E(Yn ) et V (Yn ). Exercice 10 Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, . . . , n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit la case occupée par la puce après n sauts et Yn Xn le numéro de le nombre de fois où la puce a sauté d'une case au cours des n premiers sauts Donner la loi de Exprimer Xn Yn , E(Yn ) V (Yn ). Yn et n. En et et V (Xn ) puis la loi de une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p). Calculer en fonction de déduire E(Xn ) Xn . Exercice 11 Soit X 1 E( 1+X ). Exercice 12 On dispose de blanches et n−k n+1 urnes U0 , U 1 , . . . , U n telles que pour tout k de {0, 1, ..., n} l'urne Uk contient k boules boules noires. On eectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable 3 Z prend la valeur k (avec k > 1), alors on tire k une par une et avec remise, boules dans l'urne Uk et l'on note blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Z X la variable aléatoire égale au nombre de boules a pris la valeur 0, aucun tirage n'est eectué et X prend la valeur 0. 1. Déterminer 2. X (Ω). (a) Déterminer, en distinguant les cas i=0 et 1 6 i 6 n, (b) Déterminer, en distinguant les cas i=n et 0 6 i 6 n − 1, (a) PZ=0 (X = i). la probabilité PZ=n (X = i). {1, 2, ..., n − 1} déterminer, en distinguant les cas 0 6 i 6 k conditionnelle PZ=k (X = i). n−1 X n − k k 1 Montrer que P (X = 0) = + n 2n 2 (c) Pour tout 3. la probabilité k de et k < i 6 n, la probabilité k=1 (b) Montrer que 1 2n {1, 2, ..., n − 1}, P (X = i) P (X = n) = (c) Exprimer, pour tout i de sous forme dune somme que l'on ne cherchera pas à réduire. 4. Vérier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que Pn i=0 P (X = i) = 1. Exercice 13 On tire, avec remise, cinq boules d'une urne contenant dix boules numérotés de au maximum des deux numéros obtenus et 1. Déterminer soigneusement 2. Calculer P (X 6 k) pour X En déduire les lois de 3. Les variables X et Y X(Ω) et k ∈ X(Ω) Y. Y 1 à 10. On note X la var égale la var égale au minimum des cinq numéros obtenus. Y (Ω). et P (Y > k) pour k ∈ Y (Ω). et sont-elles indépendantes ? Exercice 14 Une urne contient X et Y n−2 2 boules blanches et boules noires. On tire les boules une à une sans remise. Soient les variables aléatoires réelles égales respectivement au rand d'apparition de la première et de la seconde boule noire. 1. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 2. Déterminer la loi jointe du couple 3. En déduire les lois marginales de 4. Calculer (X, Y ). X et Y ainsi que leus espérances et variances. cov(X, Y ). Exercice 15 On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise les boules de l'urne. Pour tout entier i ∈ [[1, 3]]On note Xi le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule noire. 1. Donner la loi de X1 ainsi que son espérance et sa variance. 2. Expliciter la loi conjointe de 3. On note T (X1 , X2 ). En déduire la loi de la variable aléatoire dénie par (a) Que représente T T = X2 − X1 . ? Donner son espérance et sa variance. (b) Donner la loi conjointe de 4. Donner la loi de X2 . (T, X1 ) puis la loi de X3 . 4 T. ième Exercice 16 On dispose de deux urnes l'urne U1 U1 et U2 , de six boules numérotées de contient les boules numérotées 1 et 2, l'urne U2 1 à 6 ainsi que d'un dé équilibré. Initialement, contient les boules numérotées 3, 4, 5 et 6. On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé. Pour n ∈ N, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U1 après n échanges successifs. 1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : Quel est le contenu de 2. Quelle est la loi de U1 X1 ? 1, 3, 2, 3, 5. à l'issue du cinquième échange ? Calculer son espérance mathématique E(X1 ). (X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 . (X1 , X2 ). × Montrer que pour tout entier n de N , on a : 1 1 P (Xn+1 = 0) = P (Xn = 1), P (Xn+1 = 6) = P (Xn = 5) 6 6 7−k k+1 ∀k ∈ {1, .., 5}, P (Xn+1 = k) = P (Xn = k − 1) + P (Xn = k + 1). 6 6 2 × En déduire que, pour tout entier n de N : E(Xn+1 ) = E(Xn ) + 1. 3 Calculer alors E(Xn ) en fonction de n, puis lim E(Xn ). 3. Déterminer la loi du couple Calculer la covariance du couple 4. 5. n→+∞ Exercice 17 On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables 1600 voyageurs se présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On suppose que chaque individu choisit au hasard l'une ou l'autre rame et qu'il n'a pas le temps d'en changer. Combien faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l'on veut qu'il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs soient obligés de rester debout ? (utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre). Exercice 18 Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note discrète égale au nombre de fois où, au cours des (On peut appeler XN N XN la variable aléatoire réelle premiers lancers, deux résultats successifs ont été diérents le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile alors la variable X9 aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3ième , 4ième , 5ième et 8ième lancers). X1 , X2 , X3 , X4 . Justier que XN (Ω) = {0, ..., N − 1}. N −1 N 1 1 Montrer que P (XN = 0) = et P (XN = 1) = 2(N − 1) . 2 2 1. Déterminer la loi de 2. 3. 4. (a) Justier que pour tout entier k de (d) 5. (a) (b) 1 2 1 P (XN +1 − XN = 0 ∩ XN = k) = P (XN = k). 2 1 En sommant cette relation de k = 0 à N − 1 , montrer que P (XN +1 − XN = 0) = . 2 Que représente la variable XN +1 −XN . En déduire que XN +1 −XN suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 . 2 1 En déduire la relation E(XN +1 ) = + E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction de N . 2 Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables XN +1 − XN et XN sont indépendantes. 1 En déduire par récurrence sur N que XN suit une loi binômiale B(N − 1, ). 2 (b) En déduire que pour tout entier (c) {0, ..., N − 1} : P(XN =k) (XN +1 = k) = k de {0, ..., N − 1} 5 Exercice 19 Un sac contient n billes numérotées de dans le sac. On appelle sans remise k X 1 n. à On tire une bille au hasard, on note son numéro et on la remet la variable aléatoire qui prend pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro estk , on tire p boites B1 , ...., Bp . Bi (i ∈ {1, ..., p}). billes que l'on distibueau hasard dans égale au nombre de billes reçues par la boite 1. Déterminer la loi du couple 2. En déduire pour (X, Yi ) (i ∈ {1, ..., p}) Yi la variable aléatoire (i ∈ {1, ..., p}). pour la loi de On désigne par Yi ainsi que son espérance et sa variance. Yi X. 3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire Exercice 20 Une urne contient On appelle X dans l'urne et 2 boules blanches et Z boules rouges. On eectue des tirages sans remise de cette urne. Y le nombre de boules rouges restant à ce moment le rang de sortie de la deuxième boule blanche. 1. Déterminer la loi de 2. Calculer n−2 le rang de sortie de la première boule blanche, X ,son espérance et sa variance. Z ainsi que son espérance et sa variance. E(Y ). 3. Déterminer la loi de 4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d'un tirage avec remise. Exercice 21 On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile , noté P, est p et celle de face, noté F, est q, avec 0<p<1 et p + q = 1, et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs. Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants : F P P F P P P F P F P P P P P F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois). On notera, pour tout entier naturel • An • Bn n non nul : l'événement : deux piles consécutifs sont réalisés au rang n . l'événement : deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang Enn on désigne par 1. On a bien sûr an et bn a1 = 0. les probabilités de ces événements Calculer de plus An et Bn . a2 , a3 , a4 . 2. Démontrer, pour tout nombre entier naturel n non nul : 6 an+2 = p2 an + qp2 . n .