4 Loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite
Définition
La loi normale centrée réduite, notée N (0 ; 1),
est la loi ayant pour densité de probabilité
2
la fonction f définie sur ! par
1 ! x2
f ( x) =
e
2!
Comment calculer une probabilité (à la calculette) :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi
normale centrée réduite N (0 ; 1), alors :
P ( a ! X ! b)!=!
#
b
a
2
1 " x2
e
dx !
2!
On ne peut calculer l’intégrale "à la main" : pas de primitive directe
Avec la Ti-nspire : menu – probabilité – distribution – Normal FdR
Comment déterminer x connaissant la probabilité P( X < x )
Avec la Ti-nspire :
menu – probabilité – distribution
– Inverse Normale
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Symétrie de la courbe
P ( X ! "x )!!=!!P ( X # x )
P ( !x " X " x )!!=!!2 # P ( 0 " X " x )
P ( X ! 0 )!!=!!P ( X " 0 )!!=!
1
2
1
P ( X ! x )!!=!! !"!P ( 0 # X # x )
2
Propriété : intervalle associé à une probabilité donnée
Soit X une variable aléatoire de loi N (0 ; 1).
Pour tout α dans ] 0;1 [ , il existe un unique réel positif u! tel que :
P ( !u! " X " u! ) = 1 ! !
Pour déterminer u! , on va d’ abord
trouver son opposé ! u!
à la calculette sachant que :
!
P ( X ! " u! ) =
2
Exemple : pour ! = 0,10
On a : 1 ! ! = 0, 90
On va résoudre P ( X ! " u! ) = 0, 05 à la calculette
On obtient : ! u! " !1, 645
Par conséquent P ( !1, 645 " X " 1, 645) # 0, 9
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