Fiche 7 Lois continues (2) La loi normale centrée réduite Rem : les lois

Fiche 7 Lois continues (2) La loi normale centrée réduite Rem : les lois normales sont aussi appelées gaussiennes ou lois de Laplace Gauss I Loi normale centrée réduite ou Calcul de Probabilité. a) Densité et fonction de répartition La Loi normale centrée réduite ou a pour une densité: Soit X suivant cette loi, on note X→
avec E(X)=0 (variable centrée) et V(X)=1 (variable réduite). Soit F sa fonction de répartition Cette intégrale ne peut être exprimée par des fonctions usuelles. Il existe donc des tables. (p166) b) Utilisation de la table de la fonction de répartition de la loi Soit X →
pour le calcul de probabilité. , calculer les probabilités suivantes en utilisant la propriété F(-­‐x)=1-­‐F(x) : p(X<1,23) p(0<X<1,23) p(0,36<X<1,23) p(X<-­‐0,88) p(-­‐0,88<X<0) p(-­‐0,88<X<1,23) p(X>-­‐2,25) p(X>2,25) p(X≥1,23) p((X>2,23)ou(X<-­‐1,49)) p(X≤0) p(X=1,23) p(|X|<2) // Film loi de
calcul de proba. II Quantiles de la loi On note U le quantile α de la loi lecture de la table : α
U0,99= 2,33 , c'est-­‐à-­‐dire le réel qui vérifie F(U )=p(X<U )=α ainsi pour α
α
Propriété U1-­‐ = -­‐U α
α
a) Calculer les quantiles : α 0,75 U Calculer U1-­‐ /2 pour α
α
0,8413 α=0,05 α=0,1 α=0,01 α U α
0,1 0,5 0,9 0,95 0,05 0,01 0,975 0,9771 0,99 // Film quantiles b) Intervalles centrés de probabilité donnée Vérifiez que p(-­‐a<X<a)=2 F(a)-­‐1 Calculez p(-­‐1,96<X<1,96) Trouvez a tel que p(-­‐a<X<a)=0,9 puis 0,99 puis 0,5 puis 1-­‐α // Film intervalles centrés 0,9987