Vitesse et Accélération

Fiche cours
FC.03
SCIENCES DE L’INGENIEUR
Mouvements particuliers
Modéliser et représenter le réel
1) Mouvement de translation : Rappels & Définitions :
Translation d’un solide
Tous les points d'un solide en translation ont :
Des trajectoires identiques
La même vitesse.
La même accélération
Vitesse v
vmoy 
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse moyenne :
x 2  x1 x

t2  t1 t
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse instantanée :
v(t )  lim (
t 0
x
dx(t )
)
 x ' (t )
t
dt
La vitesse instantanée s’exprime en m/s
Par conséquent, la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la position x.
Accélération a
a(t ) 
En dérivant la vitesse instantanée, nous obtenons l’accélération :
dv(t ) d 2 x(t )

 x '' (t )
2
dt
dt
L’accélération angulaire a s’exprime en m/s2
2) Mouvement de translation rectiligne uniforme :
Rappel
Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un
repère R, tous les poins de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R.
Définition
Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse
constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.
Equations de mouvement
Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute considérée rectiligne.
On a :
t0 : instant initial du mouvement
t : instant de l'étude
x0 : position initiale (en m), à t0 ;
v0 : vitesse initiale (en m/s);
x(t) : la position x (en m) à l’instant t.
x(t)
x0
Origine du repère
O
Instant t0
Instant t
x
3) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MRU) :
Equations
Graphe de l’accélération
a (m/s2)
a(t) = 0
v(t) = v0 = Cte
x(t) = v0.t + x0
x0, v0 sont les valeurs de position
et de vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs sont constantes
pendant toute la durée de la
phase d'étude.
a=0
t
0
Graphe de Vitesse
Les équations ci-dessus sont
vraies si le MRU commence à
l’instant t0=0s.
v (m/s)
v(t) = v0 = Cte
v0
0
t
Graphe de Position
Remarque :
Dans le cas où le mouvement
ne commence pas à t0=0 ; les
équations du mouvement
s'écrivent :
x (m)
x(t) = v0.t + x0
x0
a(t) = 0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
0
t
4) Mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MRUV) :
Définition
Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, l’accélération
reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V.
Equations du mouvement
Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur.
x(t)
Soient :
t0 : instant initial du mouvement (en s);
x0 : la position initiale, à t=t0 ;
a : l’accélération de la phase (en m/s2) ;
v0 : la vitesse initiale (en m/s) ;
x(t) : la position (en m) à l’instant t.
x0
v0
O
Instant t0
v(t)
Instant t
x
Equations
Graphe de l’accélération
a (m/s2)
a(t) = constante
v(t) = a0.t + v0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
a(t) = Cte
a0
Comme pour le MRU,
x0, v0 sont les valeurs de position et de
vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs, comme l'accélération, sont
constantes pendant toute la durée de
la phase d'étude.
0
t
Graphe de vitesse
v (m/s)
Les équations ci-dessus sont vraies
si le MRUV commence à l’instant
t0=0s.
v(t) = a.t + v0
v0
0
t
Graphe de position
x (m)
Remarque :
Dans le cas où le mouvement ne
commence pas à t0=0 ; les
équations du mouvement s'écrivent
:
x0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0. (t0-t)² + v0
x(t) =1/2.a0. (t0-t)² + v0.(t0-t)² + x0
0
t
5) Mouvement circulaire (ou de rotation) : Rappels & Définitions
Rotation d’un solide
M2
Pour connaître, à tout instant t, la position d’un
solide indéformable subissant un mouvement de
rotation, il nous suffit de définir sa position
angulaire  (t) .
Instant t2
2=( t2)
M1
Instant t1

O
1=( t1)
x

Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation 
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne:
moy 
 2 1
t2  t1


t
moy s’exprime en rad/s
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée :

(t)  lim (
t0

 d (t)
)
  ' (t)
t
dt
 s’exprime en rad/s
La vitesse angulaire


Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire.
Accélération angulaire 
En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire :
(t) 
d(t) d 2 (t)

  '' (t)
dt
dt 2
L’accélération angulaire  s’exprime en rad/s2

Remarque : L’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est évidente.

Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération)
suivies du terme angulaire.
Nous allons donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation.
6) Mouvement circulaire uniforme :
Définition
L’accélération angulaire (t) est nulle. Ce mouvement est noté M.C.U.
Equations de mouvement
Les équations d’un MCU sont :
(t) = ’’(t) = 0 rad/s2
(t) = 0 = Constante
(t) = .(t-t0) + 0
t0, 0 et 0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCU deviennent :
(t) = 0 rad/s2
(t) = 0 = Constante
(t) = .t + 0
7) Mouvement circulaire uniformément varié :
Définition
L’accélération angulaire (t) est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V.
Equations de mouvement
Les équations horaires d’un MCUV sont :
(t) =  = Constante
(t) = .(t-t0) + 0
(t) =1/2..(t-t0)2 + 0.(t-t0) + 0
t0, 0, 0 et 0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCUV deviennent :
(t) = Constante
(t) = .t + 0
(t) =
1
..t2 + 0.t + 0
2