Vitesse et Accélération

1) Mouvement de translation : Rappels & Définitions :
Translation d’un solide
Tous les points d'un solide en translation ont :
Des trajectoires identiques
La même vitesse.
La même accélération
Vitesse v
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse moyenne :
ttt 12
12
xxx vmoy
t
d
moy
v
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse instantanée :
)(
)(
)
t
(lim)( '
0t tx
dttdxx
tv 
La vitesse instantanée s’exprime en m/s
Par conséquent, la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la position x.
Accélération a
En dérivant la vitesse instantanée, nous obtenons l’accélération :
)(
)()(
)( ''
2
2tx
dt txd
dttdv
ta 
L’accélération
a
s’exprime en m/s2
2) Mouvement de translation rectiligne uniforme :
Rappel
Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un
repère R, tous les poins de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R.
Définition
Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse
constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.
Equations de mouvement
Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute considérée rectiligne.
On a :
t0 : instant initial du mouvement
t : instant de l'étude
x0 : position initiale (en m), à t0 ;
v0 : vitesse initiale (en m/s);
x(t) : la position x (en m) à l’instant t.
Instant t x
Instant t0
x(t)
x0
O
Origine du repère
SCIENCES DE L’INGENIEUR
Fiche cours
FC.03
Modéliser et représenter le réel
Mouvements particuliers

3) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MRU) :
Equations
a(t) = 0
v(t) = v0 = Cte
x(t) = v0.t + x0
x0, v0 sont les valeurs de position
et de vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs sont constantes
pendant toute la durée de la
phase d'étude.
Graphe de l’accélération
a = 0
0
t
a (m/s2)
Les équations ci-dessus sont
vraies si le MRU commence à
l’instant t0=0s.
Graphe de Vitesse
v(t) = v0 = Cte
0
t
v0
v (m/s)
Remarque :
Dans le cas où le mouvement
ne commence pas à t0=0 ; les
équations du mouvement
s'écrivent :
a(t) = 0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
Graphe de Position
x(t) = v0.t + x0
0
t
x0
x (m)
4) Mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MRUV) :
Définition
Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, l’accélération
reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V.
Equations du mouvement
Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur.
Soient :
t0 : instant initial du mouvement (en s);
x0 : la position initiale, à t=t0 ;
a : l’accélération de la phase (en m/s2) ;
v0 : la vitesse initiale (en m/s) ;
x(t) : la position (en m) à l’instant t.
Instant t x
Instant t0
x(t)
x0
O
v0v(t)

Equations
a(t) = constante
v(t) = a0.t + v0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
Comme pour le MRU,
x0, v0 sont les valeurs de position et de
vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs, comme l'accélération, sont
constantes pendant toute la durée de
la phase d'étude.
Graphe de l’accélération
a(t) = Cte
0
t
a0
a (m/s2)
Les équations ci-dessus sont vraies
si le MRUV commence à l’instant
t0=0s.
Graphe de vitesse
v(t) = a.t + v0
0
t
v0
v (m/s)
Remarque :
Dans le cas où le mouvement ne
commence pas à t0=0 ; les
équations du mouvement s'écrivent
:
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0. (t0-t) + v0
x(t) =1/2.a0. (t0-t)² + v0.(t0-t) + x0
Graphe de position
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
0
t
x0
x (m)
5) Mouvement circulaire (ou de rotation) : Rappels & Définitions
Rotation d’un solide
Pour connaître, à tout instant t, la position d’un
solide indéformable subissant un mouvement de
rotation, il nous suffit de définir sa position
angulaire
(t)
.
M1
M2
x
1=( t1)
2=( t2)
Instant t1
Instant t2
O
Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation 
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne:
moy 
2 1
t2t1 t
moy
s’exprime en rad/s
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée :
(t)lim
t0(
t)d
(t)
dt
'(t)
La vitesse angulaire s’exprime en rad/s
Formules utiles : vf² - vi² = 2 . a . (xf – xi)
a = (vf – vi) / (tf – ti)

Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire.
Accélération angulaire 
En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire :
(t)d
(t)
dt
d2
(t)
dt2
'' (t)
L’accélération angulaire s’exprime en rad/s2
Remarque : L’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est évidente.
Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) suivies du terme angulaire.
Nous allons donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation.
6) Mouvement circulaire uniforme :
Définition
L’accélération angulaire (t) est nulle. Ce mouvement est noté M.C.U.
Equations de mouvement
Les équations d’un MCU sont :
(t) = ’’(t) = 0 rad/s2
(t) = 0 = Constante
(t) = .(t-t0) + 0
t0, 0 et 0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCU deviennent :
(t) = 0 rad/s2
(t) =
0 = Constante
(t) = .t +
0
7) Mouvement circulaire uniformément varié :
Définition
L’accélération angulaire (t) est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V.
Equations de mouvement
Les équations horaires d’un MCUV sont :
(t) =  = Constante
(t) = .(t-t0) + 0
(t) =1/2..(t-t0)2 + 0.(t-t0) + 0
t0, 0, 0 et 0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCUV deviennent :
(t) = Constante
(t) = .t + 0
(t) = 1/2 ..t2 + 0.t + 0