CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS

Terminale S-SI
Cinématique Analytique
CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS
1. Mouvement de translation : Définitions
1.1. Translation d’un solide
Tous les points d'un solide en translation ont :
- Des trajectoires identiques
- La même vitesse.
- La même accélération
1.2. Vitesse v
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse moyenne :
vmoy =
x 2 − x1 ∆x
=
t2 − t1 ∆t
vmoy s’exprime en m/s
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse instantanée :
v(t ) = lim (
∆t → 0
∆x
dx(t )
)=
= x ' (t )
dt
∆t
La vitesse instantanée
v s’exprime en m/s
Par conséquent, la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la position x.
1.3. Accélération a
En dérivant la vitesse instantanée, nous obtenons l’accélération :
a (t ) =
L’accélération angulaire
dv(t ) d 2 x(t )
=
= x '' (t )
dt
dt 2
a s’exprime en m/s2
2. Mouvement de translation rectiligne uniforme
2.1. Rappel
Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un
repère R, tous les poins de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R.
2.2. Définition
Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse
constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.
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2.3. Equations de mouvement
Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute considérée rectiligne.
On a :
t0 : instant initial du mouvement
t : instant de l'étude
x0 : position initiale (en m), à t0 ;
v0 : vitesse initiale (en m/s);
x(t) : la position x (en m) à l’instant t.
x(t)
x0
Origine du repère
O
Instant t0
x
Instant t
Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MRU)
Equations
Graphe de l’accélération
a (m/s2)
a(t) = 0
v(t) = v0 = Cte
x(t) = v0.t + x0
x0, v0 sont les valeurs de
position et de vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs sont constantes
pendant toute la durée de la
phase d'étude.
a=0
t
0
Graphe de Vitesse
Les équations ci-dessus sont
vraies si le MRU commence à
l’instant t0=0s.
v (m / s)
v (t) = v 0 = C te
v0
0
t
Graphe de Position
Remarque :
Dans le cas où le mouvement ne
commence pas à t0=0 ; les
équations du mouvement
s'écrivent :
a(t) = 0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
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x (m)
x(t) = v0.t + x0
x0
0
t
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3. Mouvement de translation rectiligne uniformément varié
3.1. Définition
Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements,
l’accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V.
3.2. Equations du mouvement
Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur.
x(t)
Soient :
t0 : instant initial du mouvement (en s);
x0 : la position initiale, à t=t0 ;
a : l’accélération de la phase (en m/s2) ;
v0 : la vitesse initiale (en m/s) ;
x(t) : la position (en m) à l’instant t.
x0
v0
O
v(t)
Instant t0
Equations
Instant t
x
Graphe de l’accélération
a (m/s2)
a(t) = constante
v(t) = a0.t + v0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
Comme pour le MRU,
x0, v0 sont les valeurs de
position et de vitesse
à l'instant zéro.
Ces valeurs, comme l'accélération,
sont constantes pendant toute la
durée de la phase d'étude.
a(t) = Cte
a0
0
t
Graphe de vitesse
Les équations ci-dessus sont
vraies si le MRUV commence à
l’instant t0=0s.
v (m/s)
v(t) = a.t + v0
v0
0
t
Graphe de position
Remarque :
Dans le cas où le mouvement ne
commence pas à t0=0 ; les équations du
mouvement s'écrivent :
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0. (t0-t)² + v0
x(t) =1/2.a0. (t0-t)² + v0.(t0-t)² + x0
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x (m)
x0
x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0
0
t
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4. Mouvement circulaire (ou de rotation) : Définitions
4.1. Rotation d’un solide
M2
Pour connaître, à tout instant t, la position
d’un
solide
indéformable
subissant
un
mouvement de rotation, il nous suffit de définir sa
position angulaire θ (t) .
Instant t2
θ2=θ( t2)
M1
Instant t1
∆θ
O
θ1=θ( t1)
x
4.2. Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω
ω moy =
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne:
ω moy
θ 2 − θ1
t2 − t1
=
∆θ
∆t
s’exprime en rad/s
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée :
ω (t) = lim (
∆t→0
∆θ
dθ (t )
)=
= θ ' (t)
∆t
dt
La vitesse angulaire
ω
s’exprime en rad/s
Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire.
4.3. Accélération angulaire α
En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire :
α (t) =
L’accélération angulaire
dω (t ) d 2θ (t)
=
= θ '' (t)
2
dt
dt
α
s’exprime en rad/s2
Remarque : L’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est évidente.
Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) suivies du terme angulaire. Nous allons
donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation.
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5. Mouvement circulaire uniforme
5.1. Définition
L’accélération angulaire α(t) est nulle. Ce mouvement est noté M.C.U.
5.2. Equations de mouvement
α(t) = θ’’(t) = 0 rad/s2
ω(t) = ω0 = Constante
θ(t) = ω.(t-t0) + θ0
Les équations d’un MCU sont :
t0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCU deviennent :
α(t) = 0 rad/s2
ω(t) = ω0 = Constante
θ(t) = ω.t + θ0
6. Mouvement circulaire uniformément varié
6.1. Définition
L’accélération angulaire α(t) est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V.
6.2. Equations de mouvement
α(t) = α = Constante
ω(t) = α.(t-t0) + ω0
θ(t) =1/2.α
α.(t-t0)2 + ω0.(t-t0) + θ0
Les équations horaires d’un MCUV sont :
t0, α0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
Si t0 = 0 alors les équations du MCUV deviennent :
α(t) = Constante
ω(t) = α.t + ω0
1
α.t2 + ω0.t + θ0
θ(t) = .α
2
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7. Vitesse et Accélération d’un point d’un solide en mouvement de rotation
Parfois, il nous est nécessaire de s’intéresser à un point M appartenant au solide en rotation.
7.1. Vitesse d’un point
En dérivant (par rapport au temps) le vecteur
position
OM (t) , dans le repère ℜ, nous obtenons :
 dOM 
V(M∈S/R) = 
 = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t
 dt ℜ
Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les
t
T (M ∈ S / R)
V ( M ∈ S / R)
points du solide, la vitesse linéaire V(M∈S/R) varie
linéairement avec la distance r à l’axe de rotation.
n
M
_VP
_VN
7.2. Accélération
O
En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse
V(M∈S/R) , dans le repère ℜ, nous obtenons :
N
P
θ( t)
r=OM
x
 dV(M∈S/R) 
Γ (M∈S/R) = 
 = r .α (t ).t − r.ω 2 (t ).n
dt

ℜ
.t : tangentielle
.n : normale
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