Exercice 3.
Vous participez au jeu télévisé “la porte de la fortune”. Il y a trois portes : 1, 2 et 3. Derrière l’une d’entre
elles se trouve une voiture ; il n’y a rien derrière les deux autres. La voiture a autant de chance d’être derrière
chacune des trois portes.
Etape 1. Vous choisissez au hasard une des trois portes sans l’ouvrir, par exemple la porte 1.
Etape 2. A ce moment-là, le présentateur, qui sait derrière quelle porte se trouve la voiture, ouvre une
porte parmi les deux restantes 2 et 3, derrière laquelle il n’y a évidement rien. Si la voiture est derrière la porte
1, le présentateur choisit au hasard d’ouvrir la porte 2 ou la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 2, il
ouvre systématiquement la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 3, il ouvre systématiquement la porte 2.
Etape 3. On vous propose alors de changer ou non de porte, le but étant d’ouvrir la porte qui cache la
voiture afin de la gagner.
L’objectif de cet exercice est de déterminer votre meilleure stratégie.
On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté, et on considère les événements suivants,
pour tout entier icompris entre 1 et 3 :
-Vi: "la voiture est derrière la porte i";
-Oi: "le présentateur ouvre la porte i".
On rappelle que vous avez choisi (à l’étape 1) la porte 1.
1) a) Quelle est la probabilité que le présentateur ouvre la porte 1 ?
b) Calculer la probabilité que le présentateur ouvre la porte 2.
c) En déduire la probabilité que le présentateur ouvre la porte 3.
2) a) Supposons que le présentateur ouvre la porte 2. Dans ces conditions, calculer les probabilités que :
- la voiture soit derrière la porte 1.
- la voiture soit derrière la porte 3.
b) Quelle est votre meilleure stratégie ? Avez-vous intérêt à changer de porte ?
3) Vérifier (rapidement) que la meilleure statégie est la même si le présentateur ouvre la porte 3.
Exercice 4.
Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir. Sur son trousseau, il y a nclefs dont une seule est la
bonne. Il ne voit évidemment pas laquelle est la bonne clé puisqu’il est dans le noir. Il essaie donc les clés
jusqu’à ce qu’il trouve la bonne et qu’il puisse alors ouvrir la porte.
On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté aux situations rencontrées dans la suite.
On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte.
Pour tout entier i≥1, on désigne par Ail’événement "la porte s’ouvre au i-ème essai".
1) Pour tout entier k≥1, exprimer l’événement Xkà l’aide des événements Ai.
2) On suppose qu’il essaie les clés une à une, sans utiliser deux fois la même. Déterminer alors la loi de
probabilité de X(justifier les calculs). Reconnaître une loi usuelle. En déduire l’espérance et la variance de X.
3) Lorsque le gardien est ivre, il mélange toutes les clés à chaque tentative donc il peut essayer plusieurs
fois la même clé. Déterminer alors la loi de probabilité de X(justifier les calculs). Reconnaître une loi usuelle.
En déduire l’espérance et la variance de X.
4) Le gardien est ivre un jour sur trois. Sachant qu’un jour ntentatives ont été nécessaires pour ouvrir la
porte, quelle est (en fonction de n) la probabilité que le gardien ait été ivre ce jour là ?
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