Partiel - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
Faculté de Mathématiques et d’Informatique
2007-2008
Licence mention Mathématiques - Deuxième année - Semestre 4
Probabilités Elémentaires
Partiel du jeudi 27 mars 2008
Durée 2h00
Document joint : tableau des variables aléatoires discrètes usuelles
Tout autre document interdit - Calculatrices autorisées
Les 4 exercices sont indépendants
Exercice 1.
Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1. On considère la grille ci-dessous, constituée de p  1
colonnes et n − p  1 lignes, sur laquelle on se déplace de case en case. On cherche à déterminer le nombre de
chemins croissants permettant de relier la case de départ  à la case d’arrivée ★, les seuls déplacements
autorisés étant donc vers la droite et vers le haut. A chaque étape du chemin, on choisit donc de se déplacer
vers la droite ou vers le haut, en ne sortant évidemment pas de la grille.
n−p
 ★



1
0

0
1   p
1) Pour un chemin croissant reliant  à ★, combien doit-on faire de déplacements vers la droite ? de
déplacements vers le haut ? de déplacements au total ?
2) On convient d’appeler "mot" toute suite finie de lettres, même si elle ne figure pas dans le dictionnaire.
a) Combien de mots de n lettres peut-on écrire avec les lettres D et H ? Expliquer.
b) Combien parmi eux contiennent exactement p fois la lettre D ?
c) En déduire, en justifiant, le nombre de chemins croissants reliant  à ★.
3) On considère maintenant les deux cases  et  situées immédiatement à gauche et au dessous de ★.
a) En utilisant le résultat du 2)c), donner (sans calcul) le nombre de chemins croissants reliant  à ,
et le nombre de chemins croissants reliant  à .
p
p
p−1
b) Retrouver alors la formule de Pascal : C n−1  C n−1  C n .
Exercice 2.
Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20, les boules numérotées de 1 à 10 étant blanches, les
autres étant noires. Dans chacune des questions suivantes, on proposera un espace probabilisé , A, P
adapté à la situation considérée.
1) On effectue trois tirages successifs et avec remise d’une boule de l’urne (on tire donc trois boules).
Calculer la probabilité des événements suivants :
a) A : "on obtient au moins une fois le numéro 1" ;
b) B : "on obtient trois fois (exactement) le numéro 1" ;
c) C : "on obtient trois fois (exactement) le même numéro" ;
d) D : "on obtient trois fois (exactement) la même couleur" ;
e) E : "on obtient au moins une boule blanche et une boule noire" ;
f) F : "le plus grand numéro obtenu est inférieur ou égal à 5" ;
g) G : "le plus grand numéro obtenu est égal à 5" ;
2) On tire deux boules de l’urne et on considère les événements N : "on obtient deux boules noires"
et I : " on obtient deux boules impaires". Les événements N et I sont-ils indépendants :
a) si les tirages sont successifs et sans remise ?
b) si les tirages sont simultanés ?
1
Exercice 3.
Vous participez au jeu télévisé “la porte de la fortune”. Il y a trois portes : 1, 2 et 3. Derrière l’une d’entre
elles se trouve une voiture ; il n’y a rien derrière les deux autres. La voiture a autant de chance d’être derrière
chacune des trois portes.
Etape 1. Vous choisissez au hasard une des trois portes sans l’ouvrir, par exemple la porte 1.
Etape 2. A ce moment-là, le présentateur, qui sait derrière quelle porte se trouve la voiture, ouvre une
porte parmi les deux restantes 2 et 3, derrière laquelle il n’y a évidement rien. Si la voiture est derrière la porte
1, le présentateur choisit au hasard d’ouvrir la porte 2 ou la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 2, il
ouvre systématiquement la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 3, il ouvre systématiquement la porte 2.
Etape 3. On vous propose alors de changer ou non de porte, le but étant d’ouvrir la porte qui cache la
voiture afin de la gagner.
L’objectif de cet exercice est de déterminer votre meilleure stratégie.
On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté, et on considère les événements suivants,
pour tout entier i compris entre 1 et 3 :
- V i : "la voiture est derrière la porte i" ;
- O i : "le présentateur ouvre la porte i".
On rappelle que vous avez choisi (à l’étape 1) la porte 1.
1) a) Quelle est la probabilité que le présentateur ouvre la porte 1 ?
b) Calculer la probabilité que le présentateur ouvre la porte 2.
c) En déduire la probabilité que le présentateur ouvre la porte 3.
2) a) Supposons que le présentateur ouvre la porte 2. Dans ces conditions, calculer les probabilités que :
- la voiture soit derrière la porte 1.
- la voiture soit derrière la porte 3.
b) Quelle est votre meilleure stratégie ? Avez-vous intérêt à changer de porte ?
3) Vérifier (rapidement) que la meilleure statégie est la même si le présentateur ouvre la porte 3.
Exercice 4.
Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir. Sur son trousseau, il y a n clefs dont une seule est la
bonne. Il ne voit évidemment pas laquelle est la bonne clé puisqu’il est dans le noir. Il essaie donc les clés
jusqu’à ce qu’il trouve la bonne et qu’il puisse alors ouvrir la porte.
On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté aux situations rencontrées dans la suite.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte.
Pour tout entier i ≥ 1, on désigne par A i l’événement "la porte s’ouvre au i-ème essai".
1) Pour tout entier k ≥ 1, exprimer l’événement X  k à l’aide des événements A i .
2) On suppose qu’il essaie les clés une à une, sans utiliser deux fois la même. Déterminer alors la loi de
probabilité de X (justifier les calculs). Reconnaître une loi usuelle. En déduire l’espérance et la variance de X.
3) Lorsque le gardien est ivre, il mélange toutes les clés à chaque tentative donc il peut essayer plusieurs
fois la même clé. Déterminer alors la loi de probabilité de X (justifier les calculs). Reconnaître une loi usuelle.
En déduire l’espérance et la variance de X.
4) Le gardien est ivre un jour sur trois. Sachant qu’un jour n tentatives ont été nécessaires pour ouvrir la
porte, quelle est (en fonction de n) la probabilité que le gardien ait été ivre ce jour là ?
2
Tableau des variables aléatoires discrètes usuelles
Nom
Loi de probabilité
Espérance
Variance
Uniforme sur
1, 2, . . . , n
PX  k  1n
k ∈ 1, 2, … , n
n1
2
n2 − 1
12
Binomiale
PX  k  C kn p k 1 − p n−k
Bn, p
k ∈ 0, 1, … , n
np
np1 − p
Hypergéométrique
H N, n,
N1
N
PX  k 
C kN 1 C n−k
N−N 1
C nN
k compris entre
k−r
r
PX  k  C r−1
k−1 p 1 − p
Pr, p
k ∈ r, r  1, … 
P
n NN1 1 −
N1
N
max0, n − N − N 1  et minN 1 , n
Pascal
Poisson
n N1
N
k
PX  k  e − 
k!
k∈ℕ
Loi de Bernoulli : Binomiale B1, p  Bp
Loi Géométrique : Pascal P1, p  Gp
3
r
p
r1 − p
p2


N−n
N−1