Chapitre 1 Dualité dans les espaces vectoriels

Chapitre 1
Chapitre 1
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Chapitre 1
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Dualit´ e dans les espaces vectoriels
Kd´esigne un corps commutatif.
I. Espace dual d’un espace vectoriel - bases duales
D´efinition.- Soit Eun espace vectoriel sur K; on appelle dual de Eet on notera E∗l’espace
vectoriel L(E, K) des applications lin´eaires de Edans K(ou formes lin´eaires sur E).
Remarque. Si dim E=net si (e1, . . . , en) est une base de E, donner f∈ L(E, K) revient `a
donner a1=f(e1), . . . , an=f(en) et `a poser :
∀(x1, . . . , xn)∈Knfn
X
i=1
xiei=a1x1+. . . +anxn.
On a bien entendu dim E∗= dim E.
Proposition et d´efinition.- Soit Eun espace vectoriel de dimension nsur Ket soit
(e1, . . . , en) une base de E. Soit (e∗
1, . . . , e∗
n) la famille d’´el´ements de E∗d´efinie par :
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}, e∗
i(ej) = δij =0 si i6=j
1 si i=j
(symbole de Kronecker)
Alors cette famille est une base de E∗. Elle est appel´ee base duale de la base (e1, . . . , en).
D´emonstration – Soit f∈E∗, soient λ1, . . . , λndans K. On a :
f=
n
X
i=1
λie∗
i⇐⇒ ∀j∈ {1, . . . , n}f(ej) =
n
X
i=1
λie∗
i(ej)
⇐⇒ ∀j∈ {1, . . . , n}f(ej) = λj.
On a donc, pour tout f∈E∗, une famille unique λ1, . . . , λndans Ktel que f=
n
X
i=1
λie∗
i.
Attention ! chaque e∗
id´epend de toute la famille (e1, . . . , en) et non seulement de ei.
Remarque.
1) Si on consid`ere l’isomorphisme :
E∗−→ M(1 ×n, K)
f7−→ f(e1), . . . , f(en)= Matrice de fpour la base (e1, . . . , en) de E, dans cet
isomorphisme la base (e∗
1, . . . , e∗
n) correspond `a la base canonique de M(n×1, K).
2) Pour tout x∈E, on a x=
n
X
i=1
xieiavec (x1, . . . , xn)∈Knet
∀j∈ {1. . . n}e∗
j(x) =
n
X
i=1
xie∗
j(ei) = xj.
Donc e∗
jest l’application qui `a xfait correspondre sa ji`eme coordonn´ee dans la base (e1, . . . , en).
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3) R´esum´e des formules `a connaˆıtre
Eespace vectoriel de base (e1, . . . , en) et (e∗
1, . . . , e∗
n) base duale. Alors on a :
a) ∀f∈E∗f=
n
X
i=1
f(ei)·e∗
i
b) ∀x∈E x =
n
X
i=1
e∗
i(x)·ei
D´efinition.- On appelle bidual de Eet on notera E∗∗, l’espace (E∗)∗dual de E∗.
Proposition.- Soit Eun espace vectoriel sur K. Alors :
1) L’application
E−→ E∗∗
x7−→ ex
d´efinie par : ∀ϕ∈E∗ex(ϕ) = ϕ(x) (canonique) est lin´eaire injective.
2) Si dim Eest finie, l’application pr´ec´edente est un isomorphisme.
D´emonstration –
1) Pour tout x∈E x fix´e, l’application ex:E∗−→ Kest lin´eaire.
ϕ7−→ ϕ(x)
On a donc ex∈E∗∗.
2) L’application E−→ E∗∗ est lin´eaire.
x7−→ ex
Montrons que son noyau est nul.
Soit x∈E\ {0}, montrons que ex6= 0 c’est-`a-dire il existe ϕ∈E∗tel que ϕ(x)6= 0.
Il existe Fsous espace vectoriel de Etel que E=Kx ⊕F. Soit ϕ∈ L(E, K) d´efinie
par ϕ(λx +f) = λpour tout λ∈Ket f∈F. On a ϕ(x) = 1.
3) Si dim Eest finie, on a dim E∗∗ = dim E∗= dim E.
Donc toute application lin´eaire injective de Edans E∗∗ est bijective.
Corollaire.- Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Alors toute base de E∗est la base
duale d’une et d’une seule base de E.
D´emonstration – Soit (f1, . . . , fn) une base de E∗. Soit (e1, . . . , en) une base de E.
Alors (f1, . . . , fn) est la base duale de (e1, . . . , en) si et seulement si on a :
∀i, j fi(ej) = δi,j
c’est-`a-dire eej(fi) = δi,j , ce qui signifie que ee1,...,eenest la base de E∗∗ duale de la base
f1, . . . , fnde E∗. Comme l’application E−→ E∗∗ est un isomorphisme, si f∗
1, . . . , f∗
n
x−→ ex
est la base duale de la base f1, . . . , fn, on a ∀i∃!ei∈Etel que eei=f∗
i. Alors (e1, . . . , en)
est une base de Eet c’est l’unique solution.
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Exemples.
Remarque : malgr´e cette proposition on peut montrer que, sauf (n= 2, K 'Z/2Z) il n’existe pas
d’isomorphisme canonique E−→ E∗.
1) Soit E=M(n×n, K).
Si A∈E, soit ϕA:E−→ Kon v´erifie que l’application E−→ E∗est lin´eaire injective.
M7−→ tr(AM)A7−→ ϕA
On en d´eduit que pour tout ψ´el´ement de E∗il existe Atel que ψ=ϕA.
2) Soit (f1, f2, f3) la base canonique de R3on pose :
e1= (1,−1,1)
e2= (1,0,1)
e3= (0,2,−1).
Alors (e1, e2, e3) est une base de R3dont on veut d´eterminer la base duale.
Si (x, y, z) = x1e1+x2e2+x3e3avec ∀i∈ {1,2,3}, xi∈R, on a :
P
x1
x2
x3
=
x
y
z
pour P=
1 1 0
−1 0 2
1 1 −1
.
D’o`u :
x=x1+x2
y=−x1+ 2x3
z=x1+x2−x3)et
x3=x−z
x1=−y+ 2x−2z
x2=−x+y+ 2z
e∗
1(x, y, z) = x1= (2f∗ 1−f∗ 2−2f∗ 3)(x, y, z)
e∗
2(x, y, z) = x2e∗ 3(x, y, z) = x3
Si Qest la matrice de passage de (f∗
1, f∗ 2, f∗ 3) `a (e∗ 1, e∗ 2, e∗ 3) on a donc :
Q=
2−1 1
−1 1 0
−2 2 −1
.
De fa¸con g´en´erale on a :
Proposition.- Soit Eun espace vectoriel de dim nsur Kde bases (f1, . . . , fn) et (e1. . . en).
Soit P= Pass(fi),(ei).
Soit Q= Pass(f∗
i),(e∗ i).
Alors on a Q=tP−1.
D´emonstration – Posons :
P−1=ai,j i,j = Pass(ei),(fi)
Q=bi,j i,j
on a :
• ∀j∈ {1, . . . , n}e∗
j=
n
X
i=1
bij f∗
iou encore ∀i∈ {1. . . n}bij =e∗ j(fi)
• ∀j∈ {1. . . n}fj=
n
X
i=1
aij eiou encore ∀i∈ {1. . . n}aij =e∗
i(fj) = bji.
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Remarque. Si on reprend l’exemple pr´ec´edent on v´erifie que :
P−1=
2−1−2
−1 1 2
1 0 −1
et Q=tP−1.
Proposition et d´efinition. Soient Eet Fdes espaces vectoriels sur K. Soit f∈ L(E, F ).
Pour tout ϕ∈F∗on pose (tf)(ϕ) = ϕ◦f
Ef −−−−→ Fϕ −−−−→ K.
Alors l’application tfest une application lin´eaire de F∗dans E∗appel´ee application transpos´ee
de f(not´ee aussi parfois f∗).
D´emonstration –
1) ∀ϕ∈F∗on a ϕ◦f∈E∗(compos´e d’applications lin´eaires). Donc tf:F∗−→ E∗.
2) tfest lin´eaire par d´efinition des structures d’espaces vectoriels de E∗et F∗.
Remarque. L’application L(E, F )−→ L(F∗, E∗) est ´egalement lin´eaire.
f7−→ tf
Proposition.
Soient E, F, G des espaces vectoriels sur K.
Soient f∈ L(E, F ),et g∈ L(F, G)
Ef −−−−→ Fg −−−−→ G G∗tg −−−−→ F∗tf −−−−→ E∗.
Alors on a t(g◦f) = tf◦tg,t(1IE) = 1IE∗
D´emonstration –Ef −−−−→ Fg −−−−→ Gϕ −−−−→ K.
Soit ϕ∈G∗.
On a tf◦tg(ϕ) = tf(ϕ◦g) = ϕ◦g◦f
=t(g◦f) (ϕ).
Proposition.
Soient Eet Fdes espaces vectoriels sur Ket f∈ L(E, F ).
Soient 
(e1, . . . , en) une base de E
(f1, . . . , fn) une base de F
A= Matf, (e∗
1, . . . , en),(f1, . . . , fn)
B= Mattf, (f∗
1, . . . , f∗ m),(e∗ 1, . . . , e∗ n)
Alors on a B=tA.
D´emonstration – Posons A= [ai,j ], B= [bij ] on a :
∀j∈ {1. . . n}(tf)(f∗
j) =
n
X
i=1
bij e∗
i
∀j∈ {1. . . n}f∗
jf(ek)=bkj
∀k∈ {1. . . n}
et f∗
jf(ek)=f∗ jn
X
i=1
aikfi
=ajk.
D’o`u bkj =ajk.
Remarque. Ceci permet de retrouver la proposition pr´ec´edente : t(AB) = tBtA.
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II. Orthogonalit´ e
Remarque. Soit un espace vectoriel sur K. On consid`ere l’application
b:E×E∗−→ K
(x, ϕ)7−→ ϕ(x).
Cette application est bilin´eaire, c’est-`a-dire :
1) Pour tout ϕ∈E∗fix´e, l’application :
E−→ K
x7−→ b(x, ϕ) est lin´eaire (c’est ϕ).
2) Pour tout x∈Efix´e, l’application :
E∗−→ K
ϕ7−→ b(x, ϕ) est lin´eaire.
•Certaines propri´et´es qui suivent sont des propri´et´es g´en´erales des applications bilin´eaires qu’on
retrouvera plus loin.
•On note parfois ϕ(x) = < x, ϕ > qui est une notation assez usuelle pour les applications
bilin´eaires.
D´efinition. Avec les notations de la remarque
1) Soient x∈Eet ϕ∈E∗. On dit que xet ϕsont orthogonaux pour la dualit´e si on a :
ϕ(x) = 0.
2) Soit A⊆E, on pose A⊥=ϕ∈E∗/∀a∈A ϕ(a)=0.
A⊥est l’orthogonal de Apour la dualit´e (not´e aussi A◦).
Soit A ⊆ E∗on notera ⊥A={x∈E / ∀ϕ∈ A ϕ(x) = 0}.
Exemples.
1) E=R4ϕ∈E∗ϕ(x, y, z, t) = ax +by +cz +dt.
A=(1,0,0,0),(1,2,3,4).
ϕ∈A⊥⇐⇒ a= 0,2b+ 3c+ 4d= 0.
On remarque que A⊥est un sous espace vectoriel de dimension 2 de E∗.
2) Soit ϕ∈E∗alors ⊥ϕ= Ker ϕ.
Propri´et´es imm´ediates
1) Si A⊆B⊆Ealors B⊥⊆A⊥.
2) Si A⊆Ealors A⊆⊥(A⊥).
3) Si A⊆Ealors A⊥= (Vect A)⊥et A⊥est un sous espace vectoriel de E∗.
En particulier si Fsous espace vectoriel de base e1, . . . , erde F, et ϕ∈E∗on a
ϕ∈F⊥⇐⇒ ∀i ϕ(ei) = 0 .
4) Si Fet Gsont des sous espaces vectoriels de E, alors on a : (F+G)⊥=F⊥∩G⊥.
5) Si Fest un sous espace vectoriel de E, alors on a :
F={0} ⇐⇒ F⊥=E∗
F=E⇐⇒ F⊥={0}.
1’) 2’) 3’) 4’) : propri´et´es analogues pour E∗et ⊥( ).
Remarque. Les propri´et´es 1) 2) 3) 4) sont des propri´et´es qu’on retrouvera pour les formes
bilin´eaires quelconques, et sont imm´ediates.
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