B2 DM Une pièce donne pile avec une probabilité p a ]0, 1[. Une

B2
DM
Exercice 1
Une pièce donne pile avec une probabilité p a ]0, 1[. Une personne joue à un jeu de pile ou face.
Elle lance plusieurs fois la pièce, et elle est déclarée gagnante dès qu’elle a obtenu deux piles de
plus que de faces, est déclarée perdante dès qu’elle a obtenu deux faces de plus que de piles.
1. Quelle est la probabilité que la partie dure plus de 2n lancers ?
(On pourra commencer par des petites valeurs de n)
Soit Tn l'événement « la partie dure plus de 2n lancers »
P(T1) = 2pq (PF ou FP)
P(T2) = 4 p 2 q 2
(PFPF, PFFP, FPFP, FPPF)
L'événement Tn est réalisé après une séquence quelconque de PF et de FP (n au total)
n
Il y a
façons de placer k séquences PF dans une série de n séquences PF ou FP.
k
n
Donc P(Tn) = ∑ n ( pq)k ( pq)n−k =2n ( pq)n
k=0 k
()
()
2. Quelle est la probabilité pour que la personne gagne ?
Soit Gn l'évènement « la personne gagne aux lancers 2n+1 2n+2
Et G l'événement « la personne gagne »
+∞
Alors G= ∪ Gn
n=0
Et par disjonction, et sous réserve de convergence :
P(G) =
+∞
∑ P(Tn )×p 2
=
n=0
+∞
+∞
n=0
n=0
2
p
∑ (pq)k (pq)n−k =∑ 2 n (pq)n ×p2 = 1−2pq
3. Quelle est la probabilité pour que la personne perde ?
Par symétrie, cette probabilité est
2
q
1−2pq
4. Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s'arrête jamais ?
Elle vaut 1 -
2
2
q
p
=0
1−2pq
1−2pq
L'événement « le jeu ne s'arrête jamais » est donc négligeable.
Exercice 2
Une urne contient b boules blanches, n noires et r rouges. Un joueur tire une boule au hasard dans
l’urne. Si elle est blanche, il a gagné et le jeu s’arrête. Si elle est noire, il a perdu et le jeu s’arrête. Si
elle est rouge, il la remet et retire une autre boule.
1. Déterminer la probabilité que le jeu ne soit pas terminé après le N-ième tirage.
Soit TN l'événement « le jeu n'est pas terminé après le N-ième tirage »
Alors P(TN) = (
r
)
b+r+n
N
2. Déterminer la probabilité que le joueur gagne.
Soit G cet événement, soit Bk l'événement « une boule blanche est tirée au tirage numéro
k»
+∞
Alors G= ∪ (TN ∩B N+1 )
N=0
Par disjonction et indépendance, et sous réserve de convergence.
P(G) =
+∞
+∞
N=0
N=0
r
)
∑ P(T N )×P(B N+1 )= ∑ ( b+r+n
N
×
b
b
=
×
b+r+n
b+r+n
1
1−(
r
)
b+r+n
Convergence assurée car série géométrique.
P(G) =
b
b+n
Exercice 3
On dispose de n urnes (n ≥ 2) qui contiennent des boules bleues, jaunes et roses. Pour k a {1, . . . , n}, la kième urne contient 1 bleue, 2 jaunes et k roses. On choisit au hasard une urne et de celle-ci l’on tire une
boule.
1. Calculer la probabilité que cette boule soit bleue (le résultat contient une somme que l'on ne
cherchera pas à calculer).
n
n
1
1
1
1
×
=
∑ n 3+k n ∑ 3+k
k=1
k=1
2. Si la boule est rose, quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée de l’urne 2 ?
(le résultat contient une somme que l'on ne cherchera pas à calculer).
Soit U la variable aléatoire égale au numéro de l'urne tirée.
Et R l'événement « la boule est rose »
2 1
×
P( R∩( U=2)) P U=2 (R)×P(U=2)
5 n
2
PR (U=2)=
=
= n
= n
P(R)
P(R )
1
k
k
5∑
∑
n k=1 k+3
k=1 k+3
Exercice 4
On effectue des tirages successifs dans une urne où se trouvent p boules blanches et p boules noires.
1. On suppose que les tirages sont avec remise.
a) Calculer la probabilité que la k-ième boule tirée soit noire sachant que les (k − 1) premières sont
noires.
Les tirages sont indépendants. Donc Le « sachant que » n'a aucune incidence.
1
Résultat :
2
b) Quelle est la probabilité que les k premières boules tirées soient noires ?
k
1
( )
2
2. Mêmes questions lorsque les tirages sont sans remise.
p−k+1
a)
, pour k≤ p, 0 sinon.
2p−k+1
p
p−1
p−k+1
b) Probabilités composées :
×
×...×
2p 2p−1
2p−k+1
Exercice 5
On considère N +1 urnes (N ≥ 1) U0,...,UN. L’urne Uk contient k boules rouges et (N −k) vertes. On choisit
au hasard une urne et on y effectue des tirages successifs avec remise. Calculer pn, la probabilité de tirer une
rouge au (n + 1)-ième tirage sachant que lors des n premiers tirages on a obtenu une rouge à chaque fois.
Soit Rk l'événement : « on tire une rouge au k-ième tirage »
Soit Bk l'événement : « on choisit l'urne numéro k »
n+1
pn = P ∩ R (R n+1 )=
P( ∩ R k )
k=0
n
n
k
k= 0
P( ∩ R k )
k=0
N
n
n
Et P( ∩ R k )=∑ P B ( ∩ R k )×P(Bi ) (s.c.e., probabilités totales)
k=0
=
i
i=0
n
N
k=0
N
1
i
1
( )=
in
∑
n∑
N+1 i =0 N
(N+1) N i=0
N
Donc pn =
i n+1
∑
1
N
i=0
N
∑ in
i=0
Exercice 6
On lance quatre fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Soit X le nombre de faces obtenu et Y la plus
longue suite de faces obtenue.
1°/ Déterminer la loi du couple(X,Y), et les lois marginales.
2°/ Calculer cov (X, Y).
1)
X
0
1
2
3
4
Loi de Y
Y
4
0
1
( )
2
0
1
0
1
4×( )
2
2
0
0
1
3×( )
2
3
0
0
0
4
0
0
0
Loi de X
1
( )
2
4
1
4×( )
2
0
4
4
4
0
0
1
( )
2
4
1 0
3×( )
2
0
1
7×( )
2
4
0
1
5×( )
2
1
2×( )
2
4
0
1
2×( )
2
0
1
( )
2
4
1
( )
2
4
4
4
1
6×( )
2
1
2×( )
2
1
4×( )
2
4
4
4
4
1
( )
2
4
2) cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)
4
1
27
E(Y) = (7+10+6+4)×( ) =
2
16
4
1
32
E(Y) = ( 4+12+12+4)×( ) = =2
2
16
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
68 17
Et E(XY) = 1×4×( ) +2×3×( ) +4×3×( ) +6×2×( ) +9×2×( ) +16×( ) = =
2
2
2
2
2
2
16 4
17 27 7
Donc cov(X,Y) =
− =
4
8 8
Exercice 7
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note X N la variable aléatoire réelle
discrète égale au nombre de fois où, au cours des N premiers lancers, deux résultats successifs ont été
différents (On peut appeler X N le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ).
Par exemple, si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face ,
Pile , Pile alors la variable X 9 aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3ieme; 4ieme; 5ieme et 8ieme
lancers).
1. Déterminer la loi de X1 , X 2 et X 3
X 1 =0
1
X 2 (Ω)={0,1} , P( X 2=0 ) = =P(X 2=1)
2
3
3
3
1
1
1
X 3 (Ω)={0,1,2} P( X 3=0 ) = 2×( ) , P( X 3=1 ) = 4×( ) , P( X 3=2 ) = 2×( )
2
2
2
2. Justifier que X N (Ω)={0, ..., N-1}
Le nombre minimal de changement est évidemment 0.
Le nombre maximal est atteint lors d'une séquence PFPF..
Ce qui correspond à N-1 changements.
1
3. Montrer queP( X N =0)= ( )
2
N−1
1
et P( X N =1)= 2( N−1)( )
2
N
N
1
L'événement ( X N =0) est réalisé par N Pile ou N Face, donc sa probabilité est 2×( )
2
L'événement ( X N =1) est réalisé par N-k Pile puis k Face ou l'inverse (de même probabilité),
k variant de 1 à N-1.
1
2
Si il y eu k changements en N lancers, il y en a toujours k en N+1 lancers, si le N+1 ième
lancer est identique au N-ième lancer. Donc de probabilité ½.
b) En déduire que pour tout entier k de {0,1,...,N-1} :
1
P(X N+1−X N =0∩X N =k)= P( X N=k)
2
P(X N+1−X N=0∩X N =k)=P(X N+1=k∩X N=k)=P( X =k)( XN +1 =k )×P( XN =k)
D'où le résultat.
1
c) En déduire que P(X N+1−X N=0)=
2
Sommer b) de 0 à N-1.
4. a) Justifier que pour tout entier k de {0,1,...,N-1} , P(X
N
=k)
(X N+1 =k)=
N
1
d) Quelle est la loi de la variable aléatoire X N+1−X N ? En déduire E( XN+1 )= +E (X N )
2
X N+1−X N suit une loi de Bernoulli de paramètre ½.
1
Donc E( X N+1−X N ) =
Et E(X N+1−X N )=E(X N+1 )−E( X N ) D'où le résultat.
2
5. a) Montrer que les variables X N+1−X N et X N sont indépendantes.
On a pour tout 0≤k≤N-1 ,
1
P(X N+1−X N=0∩X N =k)= P( X N=k) = P(X N+1−X N=0)×P(X N=k )
2
P(X
−X
=1∩X
=k
)=P(
X N =k)−P (X N+1 −X N =0∩X N =k )
N+1
N
N
Et
=P (X N=k)−P(X N+1 −X N =0)×P( X N=k)
= P(X N+1−X N =1)×P( X N=k)
Conclusion :
∀(i ,k )∈[[0,1]]×[[ 0, N−1]],P (X N+1 −X N =i∩X N =k)=P(X N+1 −X N =i)×P(X N=k )
Donc les variables X N+1−X N et X N sont indépendantes.
b) En déduire par récurrence que X N suit une loi binomiale B(N-1 ,
Soit P(N) la propriété : X N suit une loi binomiale B(N-1 ,
1
)
2
1
)
2
P(1) est vraie.
Supposons P(N) vraie pour un entier N fixé.
Donc X N (Ω)=[[0, N−1]]
Comme X N+1−X N suit une loi de Bernoulli, X N+1 (Ω)=[[0, N]]
Et pour tout 0 ≤ k ≤ N ,
P( XN+1=k )=P( XN +1 −X N =0∩X N =k)+P(X N+1−X N =1∩X N=k−1)
(Car ( X N+1 −X N =0 , XN +1 −X N =1) est un s.c.e.)
Par indépendance :
P(X N+1=k )=P( XN+1−X N =0)×P(X N =k )+P( XN+1−X N =1)×P (X N =k−1)
N−1
N
1 1
1
Donc P(X N+1= N)=P(X N+1−X N=1)×P( X N=N−1)= ( ) =( )
2 2
2
Et pour k < N,
N−1
N−1
N
N
1 N−1 1
1 N−1 1
1
1
N−1
N−1
N
P(X N+1=k )=( )
( ) +( )
( ) =( ) (
+
)=( )
2
k
2
2 k−1 2
2
k
k−1
2
k
1
Donc X N+1 suit une loi binomiale B(N ,
)
2
La propriété P est donc initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel n non nul.
( )
( )
( )( )
()