p probabilité -générale supérieure

Probabilités
I. Vocabulaire
1. Univers – Evénement
Définition
•
Une issue d'une expérience aléatoire est un résultat possible pour cette expérience.
•
L'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire est appelé l'univers associé à cette
expérience. On le note souvent Ω .
•
Un événement A est un sous-ensemble (une partie) de l'ensemble Ω . On dit qu'une issue
réalise un événement A lorsque cette issue est un résultat appartenant à la partie A.
Evénements particuliers
•
•
•
L'événement impossible est l'ensemble vide noté ∅ : aucune issue ne le réalise.
L'événement certain est l'univers Ω : toutes les issues le réalisent.
Un événement élémentaire est un événement formé d'une seule issue.
Exemples
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces et noter le nombre qui apparaît sur la face
supérieure.
• L’ensemble des issues possibles est Ω = {1;2; 3; 4;5;6} .
•
•
•
L’événement A « obtenir un multiple de 3 » est la partie de Ω : A = {3;6} .
L’issue 3 réalise l'événement A (car 3 ∈A ), mais l’issue 5 ne réalise pas A.
L’événement B « obtenir le 1 » est un événement élémentaire : B = {1} .
2. Intersection, réunion, événement contraire
Définition
Soient A et B deux événements.
• L'intersection de A et B, notée A ∩ B , ou A et B, est l’événement constitué des issues réalisant
A et B en même temps.
• Dans le cas où A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, c'est-à-dire si A ∩ B = ∅ ,
on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.
• La réunion de A et B, notée A ∪ B , ou A ou B, est l'événement constitué des issues réalisant A
ou B c'est-à-dire au moins l'un des deux.
•
2nde – Gan Ami
L'événement contraire de A, noté A , est constitué de toutes les issues de Ω ne réalisant pas A.
1
Exercice 1
Une urne contient deux boules rouges marquées R1 et R2 , et deux boules jaunes marquées J 2 et J 3 .
On tire au hasard une première boule dans l'urne, puis sans la remettre, on tire au hasard une deuxième
boule.
On note à chaque tirage la couleur et le numéro tirés.
1. Quel est l'ensemble des issues possibles ?
2. Écrire sous forme d'ensembles les événements suivants :
• A « obtenir deux boules de même couleur ou de même numéro ;
• B « obtenir deux boules portant des numéros ayant un écart de 1 ».
3. Déterminer l'événement « obtenir A et B ».
II. Probabilité d’un événement sur un ensemble fini
1. Loi de probabilité
Définitions
Soit une expérience aléatoire d'univers Ω fini, avec Ω = {e1;e2 ;...;en } .
•
•
•
Définir une loi de probabilité sur Ω , c'est associer à chaque issue ei un réel positif ou nul pi ,
vérifiant : p1 + p2 + ...+ pn = 1 .
Le nombre pi est appelé probabilité de l'événement élémentaire {ei } .
La probabilité d'un événement A, notée p ( A ) est la somme de toutes les probabilités associées
aux issues qui réalisent A.
Exercice 2
On lance un dé à six faces déséquilibré. On note pi la probabilité d'obtenir la face marquée i.
La loi de probabilité correspondant au lancer de ce dé est donnée par le tableau ci-dessous où la
probabilité p5 d'obtenir la face marquée 5 est inconnue.
1. Déterminer la probabilité p5 .
2. On note A l'événement « obtenir un nombre pair », et B l’événement « obtenir un multiple de 3 ».
Calculer p ( A ) , p ( B ) , p ( A ∩ B ) et p ( A ∪ B ) .
Exercice 3
Même énoncé avec p un nombre réel compris entre 0 et 1, et la loi :
1
p
2
p
3
2p
4
3p
5
p
6
4p
1. Déterminer p .
2. En déduire la probabilité d’obtenir un résultat impair.
2nde – Gan Ami
2
III. Calcul de probabilité
1. Equiprobabilité
Définition et propriété
•
Lorsque tous les événements élémentaires d'un univers ont la même probabilité, on dit qu'on
est dans une situation d'équiprobabilité.
•
En situation d'équiprobabilité, en notant n le nombre d’issues de l’univers, chaque événement
élémentaire a pour probabilité
1
.
n
2. Vocabulaire
Dans les énoncés usuels d'exercices, on rencontre souvent des expressions telles que :
« On tire au hasard... », « On lance un dé non pipé...», « On lance une pièce non truquée... ».
Cela signifie que la loi de probabilité choisie est équirépartie, c’est-à-dire que tous les événements
élémentaires sont équiprobables.
Propriété
En cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est :
p ( A) =
Propriété
nombre d'issues réalisant A
nombre de cas possibles
( )
Pour tout événement A on a : p A = 1− p ( A )
Exercice 4
Une urne contient 100 boules indiscernables au toucher.
25 boules sont rouges et numérotées 1 ;
15 sont rouges et numérotées 2 ;
20 sont vertes et numérotées 2 ;
20 sont bleues et numérotées 1 ;
10 sont jaunes et numérotées 1 ;
10 sont jaunes et numérotées 2.
On tire une boule au hasard de l'urne. Soient A et B les événements :
• A « la boule tirée est rouge » ;
• B « la boule tirée porte un numéro 2 ».
1. Déterminer p ( A ) et p ( B ) les probabilités de chacun des événements A et B.
2. Définir par une phrase l'événement A ∩ B et calculer sa probabilité.
( )
3. Déduire des questions précédentes p A et p ( A ∪ B ) .
2nde – Gan Ami
3
Exercice 5
Considérons un dé truqué tel que la probabilité qu’une face apparaisse est proportionnelle au nombre
situé sur cette face.
1. Calculer la probabilité des événements élémentaires.
2. On considère les événements suivants :
B : « le nombre est un multiple de 3 » ;
C : « le nombre est supérieur ou égal à 2 ».
a. Calculer p ( B ) .
b. Quel est l’événement contraire de C ?
a. En déduire p ( C ) .
Exercice 6
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
1. a. Quelle est la probabilité d'obtenir un 7 ?
b. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?
c. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou un 7 ?
2. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou un pique ?
Exercice 7
On dispose de deux dés tétraédriques non truqués, l'un bleu et l'autre rouge.
On lance les deux dés en même temps.
1. Une première expérience aléatoire consiste à prendre comme résultat le couple (nombre amené par
le dé bleu ; nombre amené par le dé rouge).
a. Dans un tableau à double entrée, écrire les 16 couples de résultats possibles.
b. Déterminer la probabilité de l'événement A « le nombre amené par le dé bleu est strictement
supérieur au nombre amené par le dé rouge ».
2. Une seconde expérience consiste à prendre comme résultat l'écart entre les deux nombres.
a. Écrire l'univers associé à cette expérience sous forme d'ensemble, ainsi que l'événement B « l'écart
est inférieur ou égal à 1 ».
b. À l'aide d'un tableau, déterminer la probabilité de B.
Exercice 8
On dispose d'une pièce truquée. On sait que la probabilité d'obtenir pile est supérieure de 0,2 à celle
d’obtenir face.
1. Déterminer la probabilité d'obtenir pile, puis celle d’obtenir face en un lancer.
2. Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite cette pièce et à noter dans l’ordre
d’apparition les cotés obtenus.
a. À l'aide d'un arbre, déterminer l'univers et préciser la probabilité de chacune des issues.
b. Soit A l'événement « on obtient plus de fois pile que face ». Calculer p ( A ) .
2nde – Gan Ami
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