UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE - AIX

Imprimé le 10/11/01
UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE - AIX-MARSEILLE II
DESS AIR & ESPACE
Mécanique spatiale
Volume I
Mouvements képleriens
Robert GUIZIOU
Mis à jour le 10 novembre 2001
Technopôle de Château-Gombert
60, rue Joliot Curie - 13453 MARSEILLE CEDEX 13 - Tél : [phone] - Fax : [phone]

Dess Air & Espace
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Mouvements képlériens
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SOMMAIRE
1 CONSTANTES PHYSIQUES SPATIALES DU SYSTÈME SOLAIRE.......................................................9
1.1 CONSTANTES PHYSIQUES ...............................................................................................................................9
1.2 CARACTÉRISTIQUES DES PLANÈTES................................................................................................................9
1.2.1 Positionnement en distance à partir du soleil.......................................................................................9
1.2.2 Caractéristiques orbitales...................................................................................................................10
1.2.3 Rayons des planètes et environnement................................................................................................10
1.3 JOUR SOLAIRE MOYEN..................................................................................................................................10
2 MOUVEMENTS KÉPLÉRIENS.....................................................................................................................13
2.1 HISTORIQUE.................................................................................................................................................13
2.2 LOI DE LA GRAVITATION ..............................................................................................................................13
2.2.1 Enoncé en hypothèse newtonienne......................................................................................................13
2.2.2 Valeurs numériques du système solaire ..............................................................................................14
2.3 MISE EN PLACE DU CADRE DE L’ÉTUDE........................................................................................................15
2.3.1 Problème des deux corps en interaction de gravitation......................................................................15
2.3.2 Notion de sphère d’influence d’une planète........................................................................................16
2.3.3 Points de LAGRANGE ........................................................................................................................18
2.3.4 Repères de calcul adoptés...................................................................................................................19
2.4 GRANDES LOIS DU MOUVEMENT ..................................................................................................................21
2.4.1 Conservation du moment cinétique = Loi des Aires............................................................................21
2.4.2 Conservation de l’énergie mécanique.................................................................................................22
2.5 OÙ L’ON RETROUVE QUE LES TRAJECTOIRES SONT DES CONIQUES...............................................................23
2.5.1 Equation polaire de la trajectoire.......................................................................................................23
2.5.2 Conclusions.........................................................................................................................................23
2.5.3 Longueurs et relations remarquables dans l’ellipse ...........................................................................25
2.5.4 Energie et demi-grand axe..................................................................................................................26
2.6 RÉSUMÉ DES ÉQUATIONS .............................................................................................................................27
2.6.1 Conservations......................................................................................................................................27
2.6.2 Quelques relations courantes..............................................................................................................27
2.7 ERREURS DE TIR...........................................................................................................................................27
3 PARAMÉTRAGE DU MOUVEMENT..........................................................................................................29
3.1 ANOMALIE EXCENTRIQUE ϕ........................................................................................................................29
3.1.1 Définition de l’anomalie excentrique..................................................................................................29
3.1.2 Paramétrage de l’ellipse.....................................................................................................................30
3.1.3 Quelques relations classiques.............................................................................................................30
3.2 POSITION-VITESSE EN FONCTION DE ϕ.........................................................................................................31
3.2.1 Repère périfocal..................................................................................................................................31
3.2.2 Calcul de r et V en fonction de
ϕ
.........................................................................................................31
4 PARAMÈTRES ORBITAUX ..........................................................................................................................33
4.1 DÉFINITION DES VECTEURS FONDAMENTAUX ..............................................................................................33
4.1.1 Moment cinétique réduit h
r................................................................................................................33
4.1.2 Vecteur excentricité e
r........................................................................................................................33

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4.1.3 Vecteur nodal n
r................................................................................................................................34
4.2 DÉFINITION DES PARAMÈTRES ORBITAUX.................................................................................................... 35
4.2.1 Repérage du plan orbital.................................................................................................................... 35
4.2.2 Repérage du grand axe dans son plan................................................................................................ 36
4.2.3 Paramétrages de forme de l’orbite..................................................................................................... 37
4.2.4 Paramètre de position sur l’orbite...................................................................................................... 37
4.3 CALCUL DES VECTEURS P, Q, W DANS IJK................................................................................................. 37
4.3.1 Calcul des composantes...................................................................................................................... 37
4.3.2 Matrice de passage de (IJK) à (PQW)................................................................................................ 38
5 PARAMÈTRES D’INJECTION..................................................................................................................... 39
5.1 DÉFINITIONS DES PARAMÈTRES D’INJECTION............................................................................................... 39
5.1.1 Repère géographique.......................................................................................................................... 39
5.1.2 Paramètres d’injection........................................................................................................................ 40
5.1.3 Passage de IJK à ENZ ........................................................................................................................ 42
5.2 CALCUL DES PARAMÈTRES ORBITAUX ......................................................................................................... 42
5.2.1 Passage des conditions relatives aux conditions absolues ................................................................. 42
5.2.2 Calcul de paramètres orbitaux ........................................................................................................... 43
5.3 CALCUL DE L’INCLINAISON ORBITALE......................................................................................................... 44
6 TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE ................................................................................................................ 45
6.1 DÉFINITIONS DE BASE.................................................................................................................................. 45
6.1.1 Triangle sphérique.............................................................................................................................. 45
6.1.2 Angles ................................................................................................................................................. 45
6.2 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES................................................................................................................. 46
6.2.1 Relation générale................................................................................................................................ 46
6.2.2 Relation des sinus............................................................................................................................... 46
6.2.3 Relations générales............................................................................................................................. 47
6.2.4 Exemple : Distance entre 2 points de la Terre.................................................................................... 47
6.3 CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A...................................................................................... 47
7 POINTS SURVOLÉS....................................................................................................................................... 49
7.1 HYPOTHÈSES ET CALCULS ........................................................................................................................... 49
7.1.1 Repères et notations............................................................................................................................ 49
7.1.2 Matrices de passage............................................................................................................................ 50
7.2 MÉTHODE DE CALCUL.................................................................................................................................. 51
7.3 ETUDE DE LA TRACE .................................................................................................................................... 52
7.3.1 Formule explicite donnant la latitude................................................................................................. 52
7.3.2 Exploitation du résultat....................................................................................................................... 53
7.3.3 Notion de phasage en képlérien.......................................................................................................... 54
7.3.4 Phasage non képlérien........................................................................................................................ 54
7.4 VARIANTE POUR LE CALCUL DE LA TRACE................................................................................................... 55
8 CHANGEMENT D’ORBITES........................................................................................................................ 57
8.1 GÉNÉRALITÉS .............................................................................................................................................. 57
8.1.1 Données .............................................................................................................................................. 57
8.1.2 Figure de manœuvre........................................................................................................................... 58
8.1.3 Calcul des éléments de la manœuvre.................................................................................................. 58
8.2 EXEMPLES DE MANŒUVRES......................................................................................................................... 59
8.2.1 Transfert de HOHMANN.................................................................................................................... 59
8.2.2 Correction d’apogée (périgée)............................................................................................................ 60
8.2.3 Correction du phasage........................................................................................................................ 61
8.2.4 Correction d’inclinaison..................................................................................................................... 61
8.2.5 Réorientation du grand axe ................................................................................................................ 62

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9 ETUDE DE L’ORBITE GÉOSTATIONNAIRE ...........................................................................................65
9.1 ORBITE GÉOSTATIONNAIRE..........................................................................................................................65
9.1.1 Orbite géosynchrone...........................................................................................................................65
9.1.2 Orbite géostationnaire képlérienne.....................................................................................................65
9.1.3 Orbite géostationnaire réelle ..............................................................................................................66
9.1.4 Intérêt de l'orbite géostationnaire réelle.............................................................................................66
9.2 POINT DE STATIONNEMENT..........................................................................................................................66
9.2.1 Calcul de l'orientation de l'antenne ....................................................................................................66
9.2.2 A propos de l'antenne..........................................................................................................................67
9.3 LANCEMENT GÉOSTATIONNAIRE..................................................................................................................67
9.3.1 Base de lancement équatoriale............................................................................................................67
9.3.2 Orbite GTO .........................................................................................................................................68
9.3.3 Manœuvres de mise à poste.................................................................................................................69
9.4 MISE À POSTE RÉELLE..................................................................................................................................71
9.4.1 Contraintes solaires ............................................................................................................................71
9.4.2 Contraintes de visibilité ......................................................................................................................72
9.4.3 Créneau de tir .....................................................................................................................................72
9.4.4 Problème des bases non équatoriales.................................................................................................72
9.4.5 Perturbations.......................................................................................................................................73
9.5 MAINTENANCE.............................................................................................................................................73
9.5.1 Notion de fenêtre de position ..............................................................................................................73
9.5.2 Maintenance et contraintes.................................................................................................................73
9.5.3 Optimisation........................................................................................................................................74
9.5.4 Coût du maintien à poste.....................................................................................................................74
9.6 UTILISATION D’UNE ORBITE SUPERSYNCHRONE...........................................................................................75
9.6.1 Description de l'orbite SSTO...............................................................................................................75
9.6.2 Rôle de l'orbite SSTO..........................................................................................................................75
9.6.3 Détail de la mise en orbite ..................................................................................................................76
9.6.4 Inconvénients et avantages liés à une SSTO .......................................................................................77
10 PROBLÈME DE GIBBS..................................................................................................................................79
10.1 POSITION DU PROBLÈME ..............................................................................................................................79
10.2 RAPPELS ......................................................................................................................................................79
10.3 RÉSOLUTION................................................................................................................................................80
11 ECLIPSE – VISIBILITÉ..................................................................................................................................81
11.1 ECLIPSE........................................................................................................................................................81
11.1.1 Calcul des périodes d’éclipse..............................................................................................................81
11.1.2 Cas particuliers...................................................................................................................................82
11.2 VISIBILITÉ D’UNE STATION SOL....................................................................................................................83
11.2.1 Présentation et données ......................................................................................................................83
11.2.2 Définition de visibilité d’un satellite ...................................................................................................84