TD2-Matrices

U NIVERSITÉ
DE
M ETZ
ISFATES 1ière année - 2005-2006
D ÉPARTEMENT
DE
M ATHÉMATIQUES
Exercice V
Un technicien doit administrer à un animal de laboratoire trois repas principaux par jour. Il dispose
de deux aliments A1 et A2. La quantité (en grammes) de protéines, de matières grasses et de fibres dans
Feuille d’exercices n 2 : matrices
◦
une portion de 10 g des deux aliments est donnée par la matrice suivante :
A1 A2
2 4
A= 1 2
3 1
Exercice I
Effectuer toutes les multiplications possibles entre les matrices


#
$
#
$
−1
!
"
!
"
0 1
1 0
A = 1 2 3 ,B =
,C =
,D =  2 ,E = 1 2 ,
0 0
0 0
5




#
$
#
$
1 5
0 −5 1
2 1
1 2 −1
F =
,G =
, H =  −4 0  , K =  2 −3 0  .
−5 0
0 4
3
3 0
0
1 4
Effectuer la multiplication suivante :
Exercice III
Calculer A pour (1) A =
n
(4) A =
Chaque repas pése au total 10 g ; les proportions de chacun de ces aliments dans chaque repas sont
indiquées par la matrice B :
B=
3
# repas 1 repas 2 repas$
0,2
0,5
0,6
A1
0,8
0,5
0,4
A2
(a) Calculer le produit matriciel AB et l’interpréter, si possible, dans le contexte donné.
(b) Calculer le produit matriciel BA et l’interpréter, si possible, dans le contexte donné.
Exercice II
#
protéines
gras
fibres
2 3
0 1
$
#

2
0
0 −1
$
#
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ

$#
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ

2 0
0

0 5
0 
(2) A =
0
0
−3

$
(3) A =
#
(c) En combinant A1 et A2, on veut obtenir un repas (de poids arbitraire) contenant p grammes de
protéines, g grammes de matières grasses et f grammes de fibres. Quelles sont les conditions sur
p, g et f pour que cela soit possible ?
2 3
0 0
$
0
1 1
(5) A =  −6 −1 5 
0
1 1
Exercice IV
Une cellule vivante est composée de dizaines de milliers de types de molécules (ADN, ARN, protéines,
lipides) qui interagissent entre elles physiquement et/ou chimiquement. On peut représenter l’ensemble
de ces interactions sous la forme d’un diagramme de transition dont les sommets représentent les molécules et les flèches représentent les interactions entre ces molécules. On écrit A → B s’il y a une action
directe de la molecule A sur la molécule B. Une action indirecte en 4 étapes est representée par une
chaîne de la forme A → C → D → F → B.
Les interactions directes entre des molécules A, B, C, D, E, F et G sont données par : A → B,
A → C, A → E, B → E, B → F , C → D, C → E, D → E, D → G, E → F , E → G, F → G.
(a) Déterminer le diagramme et la matrice de transition qui décrivent les interactions entre les molécules données.
(b) Il y a combien d’interactions indirectes en 4 étaps entre A et G ? Quel est le nombre total d’interactions différentes entre A et G ?
Exercice VI
Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d’attraper une maladie par piqûre d’insecte. Il
peut être dans l’un des trois états suivants : immunisé (I), malade (M ), non malade et non immunisé
(S). D’un mois à l’autre, son état peut changer selon les règles suivantes :
• étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0, 9 ou passer à l’état S avec une probabilité 0, 1 ;
• étant dans l’état S, il peut le rester avec une probabilité 0, 5 ou passer à l’état M avec une probabilité
0, 5 ;
• étant malade, il peut le rester avec une probabilité 0, 2 ou passer à l’état I avec une probabilité 0, 8.
(a) Tracer le diagramme des probabilités de transition qui décrit cette situation et écrire la matrice des
probabilités de transition.
(b) Calculer l’état de probabilité de l’individu au bout de deux, trois et six mois, pour chacune des
situations suivantes :
(i) au, départ, il est immunisé ;
(ii) au départ, il est non malade et non immunisé ;
(iii) au départ, il est malade.