TD2-Matrices

UNIVERSITÉ DE METZ ISFATES 1ière année - 2005-2006 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
Feuille d’exercices n◦2 : matrices
Exercice I
Effectuer toutes les multiplications possibles entre les matrices
A=!1 2 3 ", B =#1 0
0 0 $, C =#0 1 0 0 $, D =
−1
2
5
, E =!1 2 ",
F=#2 1
−5 0 $, G =#1 2 −1 0 4 3 $, H =
1 5
−4 0
3 0
, K =
0−5 1
2−3 0
0 1 4
.
Exercice II
Effectuer la multiplication suivante : #cos θ−sin θ
sin θcos θ$# cos ϕ−sin ϕ sin ϕcos ϕ$
Exercice III
Calculer Anpour (1) A=#2 0
0−1$(2) A=
2 0 0
0 5 0
0 0 −3
(3) A=#2 3
0 0 $
(4) A=#2 3
0 1 $(5) A=
0 1 1
−6−1 5
0 1 1
Exercice IV
Une cellule vivante est composée de dizaines de milliers de types de molécules (ADN, ARN, protéines,
lipides) qui interagissent entre elles physiquement et/ou chimiquement. On peut représenter l’ensemble
de ces interactions sous la forme d’un diagramme de transition dont les sommets représentent les molé-
cules et les flèches représentent les interactions entre ces molécules. On écrit A→Bs’il y a une action
directe de la molecule Asur la molécule B. Une action indirecte en 4étapes est representée par une
chaîne de la forme A→C→D→F→B.
Les interactions directes entre des molécules A,B,C,D,E,Fet Gsont données par : A→B,
A→C,A→E,B→E,B→F,C→D,C→E,D→E,D→G,E→F,E→G,F→G.
(a) Déterminer le diagramme et la matrice de transition qui décrivent les interactions entre les molé-
cules données.
(b) Il y a combien d’interactions indirectes en 4étaps entre Aet G? Quel est le nombre total d’inter-
actions différentes entre Aet G?
Exercice V
Un technicien doit administrer à un animal de laboratoire trois repas principaux par jour. Il dispose
de deux aliments A1 et A2. La quantité (en grammes) de protéines, de matières grasses et de fibres dans
une portion de 10 g des deux aliments est donnée par la matrice suivante :
A=
A1 A2
2 4
1 2
3 1
protéines
gras
fibres
Chaque repas pése au total 10 g ; les proportions de chacun de ces aliments dans chaque repas sont
indiquées par la matrice B:
B=
repas1 repas2 repas3
#0,2 0,5 0,6
0,8 0,5 0,4$A1 A2
(a) Calculer le produit matriciel AB et l’interpréter, si possible, dans le contexte donné.
(b) Calculer le produit matriciel BA et l’interpréter, si possible, dans le contexte donné.
(c) En combinant A1 et A2, on veut obtenir un repas (de poids arbitraire) contenant pgrammes de
protéines, ggrammes de matières grasses et fgrammes de fibres. Quelles sont les conditions sur
p,get fpour que cela soit possible ?
Exercice VI
Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d’attraper une maladie par piqûre d’insecte. Il
peut être dans l’un des trois états suivants : immunisé (I), malade (M), non malade et non immunisé
(S). D’un mois à l’autre, son état peut changer selon les règles suivantes :
•étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,9ou passer à l’état Savec une probabilité 0,1;
•étant dans l’état S, il peut le rester avec une probabilité 0,5ou passer à l’état Mavec une probabilité
0,5;
•étant malade, il peut le rester avec une probabilité 0,2ou passer à l’état Iavec une probabilité 0,8.
(a) Tracer le diagramme des probabilités de transition qui décrit cette situation et écrire la matrice des
probabilités de transition.
(b) Calculer l’état de probabilité de l’individu au bout de deux, trois et six mois, pour chacune des
situations suivantes :
(i) au, départ, il est immunisé ;
(ii) au départ, il est non malade et non immunisé ;
(iii) au départ, il est malade.