Correction du devoir n°7 (DM)

Correction du devoir n°7 (DM)
Partie A
On considère l’équation (E) : 11x −26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.
( )
( )
1.
donc le couple (−7 ; −3) est solution de (E).
2.
{
(
)
(
)
}
( )
On a donc
( )
(
)
(
)
11 divise (
) or 11 et 26 sont premiers entre eux donc 11 divise
Il existe un entier relatif k tel que
. Et par suite,
Les couples solutions de l’équation (E) sont de la forme {(
.
.
)
}
1. On veut que
k est un entier donc la seule valeur possible est 1.
Le seul couple d’entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que 0 u
25 est (19 ; 8).
Partie B
On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :
On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
– on calcule 11x +8
– on calcule le reste de la division euclidienne de 11x +8 par 26, que l’on appelle y.
x est alors « codé » par y.
1. La lettre W correspond au nombre 22.
donc
La lettre W est donc codée par la lettre Q.
2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
a. Pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :
11x ≡ j (modulo 26) équivaut à :
(
) ≡ 19j (modulo 26) car la relation de congruence est compatible avec la multiplication.
donc
Donc
(
) ≡ 19j (modulo 26) équivaut à
Conclusion : 11x ≡ j (26) équivaut à à
(
)
b. Soit y l’entier correspondant à la lettre à décoder.
( )
Alors
( )
Ce qui équivaut d’après la question précédente à
x est le reste de la division de 19(
) par 26.
On retrouve la lettre de départ.
c. Décoder la lettre W.
(
Donc
)
.
La lettre codée par W est G.
(
)
.