CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 SECONDE

CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 SECONDE
EXERCICE 1 : Soient x le nombre de places à tarif normal et y le nombre de places à tarif réduit.
On obtient les équations : Dans la salle de spectacle, il y avait 781 spectateurs, donc x + y = 781.
Les places étaient vendues 8 euros en tarif normal et 4 euros en tarif réduit. La recette a été de 5048 euros. Donc
8x + 4y = 5048.
On obtient le système
{
xy=781
8x4y=5048
. On le résout en utilisant la méthode par substitution :
{
y=781x
8x4781x=504 8
équivaut à
{
y=781x
4x3124=5048
équivaut à
{
y=781x
4x=1924
équivaut à
{
y=781x
x=481
équivaut à
{
x=481
y=300
.
Donc, il y avait 481 places à tarif normal et 300 places à tarif réduit.
EXERCICE 2 : On pose x et y les dimensions du rectangle. Si le périmètre d'un rectangle est égal à 132 m,
alors 2x + 2y = 132, soit x + y = 66.
Si on augmente sa longueur de 24 m et sa largeur de 15 m, alors son aire augmente de 1620 m².
Donc (x + 24)(y + 15) = xy + 1620; on développe : xy + 15x + 24y + 360 = xy + 1620;
on simplifie : 15x + 24y + 360 = 1620, soit 15x + 24y = 1260, et en divisant par 3 : 5x + 8y = 420.
On obtient le système
{
xy=66
5x8y=420
. On le résout en utilisant la méthode par combinaisons linéaires :
L1
L2
{
xy=66
5x8y=420
équivaut à
5×L1
L2
{
5x5y=330
5x8y=420
équivaut à
L1
5×L1L2
{
xy=66
3y=90
équivaut à
L1
L '2
{
xy=66
y=30
équivaut à
L1
L '2
{
x=6630
y=30
équivaut à
{
x=36
y=30
. Donc les dimensions de ce rectangle sont 36 et 30.
EXERCICE 3 : 1. Pour résoudre l'inéquation
2x
x1 x2
 0, on utilise un tableau de signes :
Donc la solution est S = ]– 2; – 1[  [2; ; +  [.
2. Les entiers x tels que l'inverse de x soit plus petit
que la somme des inverses des deux autres entiers
vérifient l'inéquation
1
x
1
x1
+
1
x2
,
on compare à 0 :
1
x
–
1
x1
–
1
x2
 0, on met au même dénominateur :
x1 x2xx2xx1
xx1 x2
 0,
on développe le numérateur :
x23x2x22xx2x
xx1 x2
 0, on le simplifie :
x22
xx1 x2
 0, on factorise :
2x 2x
xx1 x2
 0;
on utilise un tableau de signes :
Donc la solution est
S = ]– 2; –
2
]  ]– 1; 0[  [
2
; +  [.
On veut trouver des entiers x vérifiant cette
inéquation; ce sont donc les entiers
supérieurs ou égaux à 2.
x– – 2 – 1 2 + 
2 – x + + + 0 –
x + 1 – – 0 + +
x + 2 – 0 + + +
quotient + || – || + 0 –
x– – 2 –
2
– 1 0
2
+ 
x – – – – 0 + +
x + 1 – – – 0 + + +
2
– x + + + + + 0 –
2
+ x – – 0 + + + +
x + 2 – 0 + + + + +
quotient + || – 0 + || – || + 0 –

3. a) Pour tout réel x, en développant : (x – 1)2 – 4 = x2 – 2x + 1 – 4 = x2 – 2x – 3, et
(x – 3)(x + 1) = x2 + x – 3x – 3 = x2 – 2x – 3.
b) En considérant les trois entiers consécutifs notés x, x + 1 et x + 2, pour trouver tous les entiers naturels x tel que la
somme des carrés des deux entiers les plus petits soit égale au carré de l'entier le plus grand : on résout l'équation
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 ; on développe : x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4 ; on simplifie : x2 + 2x – 4x + 1 – 4 = 0 ;
soit x2 – 2x – 3 = 0. D'après la question 3. a) , x2 – 2x – 3 = 0 équivaut à (x – 3)(x + 1) = 0. Cette équation produit a deux
solutions : 3 et – 1. La seule solution qui est un entier naturel est 3. Donc S = {3}.