CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 SECONDE

CORRIGÉ
DEVOIR MAISON N° 8
SECONDE
EXERCICE 1 : Soient x le nombre de places à tarif normal et y le nombre de places à tarif réduit.
On obtient les équations : Dans la salle de spectacle, il y avait 781 spectateurs, donc x + y = 781.
Les places étaient vendues 8 euros en tarif normal et 4 euros en tarif réduit. La recette a été de 5048 euros. Donc
8x + 4y = 5048.
On obtient le système
équivaut à
{
{
xy=781
y=781x
. On le résout en utilisant la méthode par substitution :
8 x4 y=5048
8 x4781x =50
4
8
{
{
y= 781 x
équivaut à
4 x3124=5048
{
{
y= 781 x
y=781 x
x=481
équivaut à
équivaut à
.
4 x=1924
x=481
y=300
Donc, il y avait 481 places à tarif normal et 300 places à tarif réduit.
EXERCICE 2 : On pose x et y les dimensions du rectangle. Si le périmètre d'un rectangle est égal à 132 m,
alors 2x + 2y = 132, soit x + y = 66.
Si on augmente sa longueur de 24 m et sa largeur de 15 m, alors son aire augmente de 1620 m².
Donc (x + 24)(y + 15) = xy + 1620;
on développe : xy + 15x + 24y + 360 = xy + 1620;
on simplifie : 15x + 24y + 360 = 1620, soit 15x + 24y = 1260, et en divisant par 3 : 5x + 8y = 420.
On obtient le système
{
{
xy=66
. On le résout en utilisant la méthode par combinaisons linéaires :
5 x8 y= 420
{
{
{
L 1 xy=66
5× L 1 5 x5 y=330
L1
L 1 xy=66
x y=66
équivaut à
équivaut à
équivaut à
L 2 5 x8 y=420
L 2 5 x8 y=420
5× L 1 L 2 3 y=90
L ' 2 y=30
équivaut à
{
L 1 x=6630
équivaut à
y=30
L'
2
{
x=36
. Donc les dimensions de ce rectangle sont 36 et 30.
y=30
EXERCICE 3 : 1. Pour résoudre l'inéquation
2 x
0, on utilise un tableau de signes :
x1 x2
Donc la solution est S = ]– 2; – 1[ [2; ; + [.
–
x
–2
–1
2–x
+
+
x+1
–
–
x+2
–
0
+
0
+
+
2
0
–
+
+
+
+
2. Les entiers x tels que l'inverse de x soit plus petit
quotient
+
||
–
||
+
0
–
que la somme des inverses des deux autres entiers
1
1
1
vérifient l'inéquation
+
,
x
x1
x2
1
1
1
x1 x2x x2x x1
–
–
0, on met au même dénominateur :
0,
on compare à 0 :
x
x1
x2
x x1 x2
x 23 x 2 x2 2 x x 2 x
x 22
on développe le numérateur :
0, on le simplifie :
0, on factorise :
x x1 x 2
x x1 x2
2 x 2 x
0;
–1
0
+
x
–
–2
– 2
2
x x1 x2
on utilise un tableau de signes :
–
–
–
–
0 +
+
x
Donc la solution est
S = ]– 2; – 2 ] ]– 1; 0[ [ 2 ; + [.
On veut trouver des entiers x vérifiant cette
inéquation; ce sont donc les entiers
supérieurs ou égaux à 2.
x+1
–
–
–
0 +
2 – x
2 + x
+
+
+
+
+
–
–
0 +
+
+
+
x+2
–
0 +
+
+
+
+
quotient
+
|| –
0 +
||
–
+
|| +
+
0
0
–
–
2
2
2
3. a) Pour tout réel x, en développant : (x – 1) – 4 = x – 2x + 1 – 4 = x – 2x – 3, et
2
2
(x – 3)(x + 1) = x + x – 3x – 3 = x – 2x – 3.
b) En considérant les trois entiers consécutifs notés x, x + 1 et x + 2, pour trouver tous les entiers naturels x tel que la
somme des carrés des deux entiers les plus petits soit égale au carré de l'entier le plus grand : on résout l'équation
2
2
2
2
2
2
2
x + (x + 1) = (x + 2) ; on développe : x + x + 2x + 1 = x + 4x + 4 ; on simplifie : x + 2x – 4x + 1 – 4 = 0 ;
2
2
soit x – 2x – 3 = 0. D'après la question 3. a) , x – 2x – 3 = 0 équivaut à (x – 3)(x + 1) = 0. Cette équation produit a deux
solutions : 3 et – 1. La seule solution qui est un entier naturel est 3. Donc S = {3}.