CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 SECONDE EXERCICE 1 : Soient x le nombre de places à tarif normal et y le nombre de places à tarif réduit. On obtient les équations : Dans la salle de spectacle, il y avait 781 spectateurs, donc x + y = 781. Les places étaient vendues 8 euros en tarif normal et 4 euros en tarif réduit. La recette a été de 5048 euros. Donc 8x + 4y = 5048. On obtient le système équivaut à { { xy=781 y=781x . On le résout en utilisant la méthode par substitution : 8 x4 y=5048 8 x4781x =50 4 8 { { y= 781 x équivaut à 4 x3124=5048 { { y= 781 x y=781 x x=481 équivaut à équivaut à . 4 x=1924 x=481 y=300 Donc, il y avait 481 places à tarif normal et 300 places à tarif réduit. EXERCICE 2 : On pose x et y les dimensions du rectangle. Si le périmètre d'un rectangle est égal à 132 m, alors 2x + 2y = 132, soit x + y = 66. Si on augmente sa longueur de 24 m et sa largeur de 15 m, alors son aire augmente de 1620 m². Donc (x + 24)(y + 15) = xy + 1620; on développe : xy + 15x + 24y + 360 = xy + 1620; on simplifie : 15x + 24y + 360 = 1620, soit 15x + 24y = 1260, et en divisant par 3 : 5x + 8y = 420. On obtient le système { { xy=66 . On le résout en utilisant la méthode par combinaisons linéaires : 5 x8 y= 420 { { { L 1 xy=66 5× L 1 5 x5 y=330 L1 L 1 xy=66 x y=66 équivaut à équivaut à équivaut à L 2 5 x8 y=420 L 2 5 x8 y=420 5× L 1 L 2 3 y=90 L ' 2 y=30 équivaut à { L 1 x=6630 équivaut à y=30 L' 2 { x=36 . Donc les dimensions de ce rectangle sont 36 et 30. y=30 EXERCICE 3 : 1. Pour résoudre l'inéquation 2 x 0, on utilise un tableau de signes : x1 x2 Donc la solution est S = ]– 2; – 1[ [2; ; + [. – x –2 –1 2–x + + x+1 – – x+2 – 0 + 0 + + 2 0 – + + + + 2. Les entiers x tels que l'inverse de x soit plus petit quotient + || – || + 0 – que la somme des inverses des deux autres entiers 1 1 1 vérifient l'inéquation + , x x1 x2 1 1 1 x1 x2x x2x x1 – – 0, on met au même dénominateur : 0, on compare à 0 : x x1 x2 x x1 x2 x 23 x 2 x2 2 x x 2 x x 22 on développe le numérateur : 0, on le simplifie : 0, on factorise : x x1 x 2 x x1 x2 2 x 2 x 0; –1 0 + x – –2 – 2 2 x x1 x2 on utilise un tableau de signes : – – – – 0 + + x Donc la solution est S = ]– 2; – 2 ] ]– 1; 0[ [ 2 ; + [. On veut trouver des entiers x vérifiant cette inéquation; ce sont donc les entiers supérieurs ou égaux à 2. x+1 – – – 0 + 2 – x 2 + x + + + + + – – 0 + + + + x+2 – 0 + + + + + quotient + || – 0 + || – + || + + 0 0 – – 2 2 2 3. a) Pour tout réel x, en développant : (x – 1) – 4 = x – 2x + 1 – 4 = x – 2x – 3, et 2 2 (x – 3)(x + 1) = x + x – 3x – 3 = x – 2x – 3. b) En considérant les trois entiers consécutifs notés x, x + 1 et x + 2, pour trouver tous les entiers naturels x tel que la somme des carrés des deux entiers les plus petits soit égale au carré de l'entier le plus grand : on résout l'équation 2 2 2 2 2 2 2 x + (x + 1) = (x + 2) ; on développe : x + x + 2x + 1 = x + 4x + 4 ; on simplifie : x + 2x – 4x + 1 – 4 = 0 ; 2 2 soit x – 2x – 3 = 0. D'après la question 3. a) , x – 2x – 3 = 0 équivaut à (x – 3)(x + 1) = 0. Cette équation produit a deux solutions : 3 et – 1. La seule solution qui est un entier naturel est 3. Donc S = {3}.