Cours Mécanique du solide 2015/2016 SMP S3

Ch II
Cinématique du Solide
I.Généralités et définitions
Cinématique ≡ Etude du mouvement indépendamment des causes qui le produisent
1. Définition d’un solide indéformable
P
Un solide (S) est indéformable ou rigide si:
∀ A, B ∈ (S), ∀ t,
REMARQUES :
• ∀ A, B ∈ (S),
()= Cte
(S)
∈
∈ (S)
• Un point P est rigidement lié à (S) :
A
()= Cte
∀A∈
∈(S), ∀t, B
2. Référentiel, Repère
(R)
x
Balle lâchée dans un wagon en mouvement par rapport à la gare
R(Oxyz, t)
z
= Référentiel orthonormé direct
≡ ensemble de points rigidement liés muni de :
i
k
O
j
(S)
Repère d’espace (Oxyz):
• Homogène : indépendant de la position
• Isotrope :
y
indépendant de la direction
Repère de temps (horloge):
• Temps absolu : indépendant de l’observateur O
2. Point d’un solide
z
M : point matériel quelconque d’un solide (S)
•
Vecteur position :
•
Vecteur vitesse (m/s) :
•
M
()
⁄ = Vecteur accélération: (m/s ) : γ /
2
(S)
=
=
y
x
/
3. Paramétrage de la position d’un solide
Mouvement de (S)/() ≡ Translation
+
Rotation
z
Z
(S )
On attache à (S) :
OS
k
i
Y
X
()
)
Un référentiel qui lui est rigidement lié : % (% ; ', ), *
j
(S)
Mouvement de (S) / () ≡ Mouvement de (% ) / ().
⇒ Repérage de la position et Orientation de (% )/() :
y
O
x
•
Paramétrage de la position de l’origine % : Translation
K
φ K
3 coordonnées : cartésiennes(+, ,, -), cylindriques (ρ, θ, z) ou
θ
sphériques (r, θ, ϕ).
ϕ).
) : Rotation
• Paramétrage de l’orientation de la base (', ), *
3 angles : angles d’Euler ψ, θ et ϕ.
ϕ
!
i
ψ
j
OS
u
Angles d’Euler :
ψ
. θ
φ
: angle de Précession
/
: angle de Nutation
: angle de Rotation propre
Le mouvement de rotation de (S) peut être décomposé en trois rotations planes successives autour de
trois axes de rotation.
, , !)
La première rotation s’effectue autour de l’axe (% !) avec l’angle ψ tel que : (0, 1, !) → (3
) s’appelle première base intermédiaire
, , !
La base (3
•
ψ k
k
ψ
j
k
u
ψ
ψ
i
j
ψ
7
(4 /) = 5!
Ω
i
•
avec l’angle θ:
La deuxième rotation s’effectue autour de l’axe % 3
)
, , !) → (3
, 8
, 9
(3
) s’appelle deuxième base intermédiaire
, 8
, 9
La base (3
K
=
θ
7
9
v
θ
k
θ
Ω( /4 ) = :3
:3
w
θ
u
v
@K
K
k
• La troisième rotation s’effectue autour de l’axe
avec l’angle ϕ tel que :
→
, 8
, 9
% *
3
)
w
ϕ
ϕ
u
)
(>, ?, 9
I
Ligne des nœuds
J
w
ϕ
I
ϕ
(% / ) = @9
Ω
K
u
Conclusion :
Solide libre non rectiligne ⇒
⇒
6 paramètres primitifs : (x, y, z , ψ, θ, ϕ)
ϕ
Exemples :
1. Point matériel libre : n=3:
3 degrés de translation = 3 coordonnées
2. Solide rectiligne non ponctuel (barre rigide) E = F
z
B
θ
3 degrés de translation : 3 coordonnées
y
A
2 degrés de rotation : 2 angles d’Euler : ψ et θ
x
ψ
3. Système matériel : {E4 solides non rectilignes } ∪ {E solides rectilignes } ∪ {EG points matériels}}
E = HE4 + FE + GEG
II. Champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
Dérivation vectorielle. Formule de Varignon.
K
Soient et ′ deux référentiels :
K
= L
(′⁄)∧K
+ Ω
Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide (F.F.C.S).
∀ A et B ∈(S) :
dAB
dt
= dAB
dt
M
( M ⁄ )∧
+Ω
∧AB
est un vecteur constant dans (N ) lié au solide (S), donc : dAB
dOB
S
dAB
Q =P
Q ⎯P
Q = T(/) − T(⁄)
P
dt dt S (N ⁄) = Ω
(N⁄)
Comme (S) et (N ) sont rigidement liés: Ω
dt
M
= O
Alors :
(N⁄)∧
(⁄) = (
⁄) + Ω
∀
, ∈(N)
III. Torseur cinématique
est antisymétrique et par conséquent c’est un
de vecteur associé Ω
D’après la F.F.C.S., le champ des vecteurs vitesse torseur. On l’appelle torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses noté:
(N⁄)
Ω
(N⁄), (
⁄)]
[W(N/)]
= Y
Z ou [Ω
(
)
⁄
(M⁄) : résultante du torseur cinématique = vecteur rotation instantané de (S) par rapport à ()
Ω
(
⁄) : moment en A du torseur cinématique = vecteur vitesse de A ∈S par rapport à ()
REMARQUES
(M⁄) ≠ O , alors l’axe central (∆)
1. Si Ω
∆) du torseur cinématique existe et on l’appelle axe instantané de rotation et
de glissement ou encore axe de viration
2. Le champ de vitesses est équiprojectif :
.
.
(⁄) = (
⁄)
∀
, ∈(N)
IV. Mouvements de Translation et de rotation
1. Mouvement de translation - Couple
() = ^_
∀
, ∊ (N)∀
Le torseur cinématique est un couple :
•
•
Le champ des vitesses est uniforme
(N⁄) = O.
le vecteur rotation instantané est nul : Ω
Instant t
v
(A /)
B’
v
(B’ /)
A
B
Preuve :
1.
2.
v
(A’ /)
A’
,
() = ab
v
(B /)
Instant t’ > t
S
alors : S
= O
donc :
⇒ Torseur cinématique = couple:
Instant t :
(/) = (
/)
()
= Instant ’ = + :
(′/) = (
′/)
(′)
= (/) = (
/) = ()
(N/)∧
(/) = (
/) + Ω
∀
, ∊ (N) (N⁄) = O
(
/) ⟹ Ω
(/) = = ′′
(N⁄) = O
(
⁄).Ω
⇒ >[W] = O
[W(N/)]
= d
e
(
⁄) ≠ O
∀t
Remarque :
), lié au solide (S) gardent des directions fixes dans ( ).
Les vecteurs de base du référentiel % ( % ; ' , ) , *
S'
S)
S*
P Q = P Q = P Q = O
S S S k
Mouvement de translation rectiligne
Le mouvement de translation de (S) par rapport à
() est dit rectiligne si la trajectoire d’un point
quelconque de (S) dans () est une droite.
i
O
j
Trajectoire
Mouvement de translation circulaire
Le mouvement de translation de (S) par rapport à
() est dit circulaire si la trajectoire d’un point
quelconque de (S) dans () est un cercle.
k
i O
j
K
I
K
OS
OS
J
I
J
K
OS
I
N ⁄
J
v OS ⁄ℛ 2. Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe.
Soit (S) un solide en rotation autour d’un axe (∆
∆) fixe dans un référentiel ().
Soit O ∊ (∆
∆) :
(⁄) = O
i
z
La distance du point O à tout point du solide (S) est constante au cours du temps.
y
(N⁄)∧
(N⁄)∧
= Ω
(⁄) = (⁄) + Ω
∈(N)
(N⁄) = O
(⁄).Ω
Donc: >[W] = O
Torseur cinématique = Glisseur
Axe central = (∆
∆).
Si tous les points du solide (S) sont en mouvement sur des trajectoires circulaires
centrées sur l’axe (∆
∆) de vecteur unitaire j, à la même vitesse angulaire,k, alors :
(M/) = kj
Ω
V. Champ des vecteurs accélération des points d’un solide
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (). La formule de transport :
∀ A et B ∈ (S)
(N⁄)∧
(⁄) = (
⁄) + Ω
En dérivant par rapport au temps, dans (), on obtient :
S
S
(M⁄)o ∧ (M/) ∧ q
(⁄) = l
(⁄) + m n
l
+ n
r
S
S ϕ
x
Sachant que :
On arrive à :
S
(M⁄) ∧ q
r = T(⁄)−
−T(⁄) = n
S (N⁄)
t
(N/) ∧ ut
(N/) ∧ + t
v
(⁄) = s
(
⁄) + q
s
r ∧ (M/) ∧ un
(M/) ∧ Le dernier terme n
vest en général non nul. Par suite, le champ des vecteurs accélération des
points d’un solide n’est pas représentable par un torseur.
VI. Composition de mouvements
z
()
(S)
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à deux
référentiels () et (´).
(O; w, x, j) : référentiel absolu
, x′
, j′
): référentiel relatif
´(´; w′
Soit A un point du solide (S).
′ + Relation de Chasles :
= ′
1. Composition des vecteurs rotation
( N⁄ ) =Ω
( N⁄' ) +Ω
(′/)
Ω
('⁄M)
Ω(N⁄') = −Ω
Ω
A
k
i
x
O
j
k′
' O’
j'
i′
y
Généralisation :
}{€4
(4 /{ ) = | Ω
(} /}~4 )
Ω
}4
K
Exemple : Rotation autour d’un point fixe
• (O; i, j, k) : Repère fixe
!
φ K
) : Repère lié à un solide (S)
• S(OS ≡ O; ', J, *
• (S) en rotation autour du point fixe OS ≡ O (mouvement de rotation
d’une toupie par exemple).
(% ; i , j , k)
)
, *
(% ; 7, =
,ψ
(j
, RRRRR‚
,@
(*
RRRRR‚
θ
,:
(7
, T, j) RRRRR‚
4 (% ; 7
% (% ; ', ), *
Vecteur rotation instantané de (S) par rapport à () :
N/ = Ω
(N / = Ω
(N / + (4 /
Ω
Ω( /4 + Ω
(N/ = 5
+ @9
! + :3
Ω
j
OS
ψ
i
u
2. Composition des vecteurs vitesse
La vitesse absolue = vitesse relative + vitesse
d’entrainement :
ƒ (
= „ (
+ (
_
ƒ (
= (
⁄ = • Vecteur vitesse absolue :
„ (
= (
⁄′ = • Vecteur vitesse relative :
• Vecteur vitesse d’entraînement :
L
L
⁄
(
(′
=
+
Ω
(′/∧
∧
′
_
(
„ (
′ = O) et qui coïncide, à l’instant t, avec le
= Vitesse absolue d’un point ′ fixe dans le repère relatif (′) (
_
point A dans son mouvement par rapport à (). Les points A et
′ occupent la même position à l’instant t.
Notation du point coïncidant ′:
La vitesse d’entrainement s’écrit :
Finalement :
′ ≡ ∈ ′
„ (
′ = T(′⁄ ′ = T( ∈ ′⁄ ′ = O
(
(
∈′⁄
= ƒ (
∈′ = _
L
(
⁄ = ‡
⁄ ˆ + (
∈′⁄
Remarque :
(
∈′⁄ = −
(
∈⁄′
‰E€4
(
∈4 /E = | (
∈‰ /‰~4 ‰4
On obtient également l’égalité des torseurs :
(N/
Ω
(N/’
Ω
(’/
Ω
Y
Z= Y
Z+ Y
Z
(
⁄
(
⁄ ′
(
∈′⁄
D’où la relation de composition des torseurs cinématiques :
[W(M/] = [W(M/’] + [W(’/]
3. Composition des vecteurs accélération
accélération absolue= accélération relative+ accélération d’entrainement + accélération de Coriolis :
ƒ (
= s
„ (
+ s
^ (
+ s
_ (
s
• Accélération absolue :
• Accélération relative :
• Accélération de Coriolis :
ƒ (
= s
(
/ = s
„ (
= s
(
/′ = s
ƒ (
„ (
=
Š
(′⁄ ∧ ^ (
= t
„ (
s
=
d2 O'A
2
dt
'
• Accélération d’entraînement :
∧ n
∧ ′
lb ( = l(′⁄ + ∧ L + n
Sn
S C’est l’accélération absolue du point coïncidant ∈ ′fixe dans le repère relatif (′):
Finalement :
Remarque :
b ( = l( ∈ ′⁄
l
(′⁄ ∧ (
⁄ = s
(
⁄L + s
(
∈ L ⁄ + t
(
⁄′
s
(
⁄
′
∈
(
∈ L ⁄ ≠ P
b ( = s
l
Q = _ (
VII. Cinématique de contact entre deux solides
1. Définitions
On dit que deux solides (S1) et (S2) sont en contact, à un instant t, s’ils ont un ensemble commun de points matériels qui
coïncident. Le contact est soit :
Ponctuel :
un seul point de contact
Multi-ponctuel : linéique ou surfacique
Liaison
• Liaison :
contrainte qui limite le mouvement relatif d’un solide par rapport à un autre.
= Equation algébrique entre les paramètres primitifs, Œ‰ (≡ +, ,, -, 5, :, @ des solides en contact
et/ou de leurs dérivées par rapport au tempsŒ ‰ (≡ + ,, , - , 5 , :,@) :
• Liaison holonome :
, Œ‰ =
Rigidité d’un solide indéformable (S):
O
:
, Œ‰ , Œ ‰ = O
 ne dépend pas des Œ ( = Ž( −  + ( −  + (‘ − ‘ = ’%b
∀
, ∈(N,∀
• Liaison non-holonome :
• Liaison bilatérale :
• Liaison unilatérale :
(, Œ‰ , Œ ‰ = O
exclut la rupture du contact entre les deux solides ( = O.
possibilité de rupture du contact ( ≥ O”3 ≤ O
Degrés de liberté
Solide (S) libre : Le paramétrage est donné par n paramètres primitifs.
Solide (S) soumis à –— liaisons :
Liaison
≡
contrainte qui limite le mouvement
Les n paramètres primitifs ≡
variables dépendantes.
⇒ La position de (S) est donnée par N paramètres indépendants
N
≡ nombre de degrés de liberté
Système libre :
–— = O
≡
—
N < n
nombre de variables indépendantes.
– = E
j O
Exemple : Disque de rayon R sur l’axe (Ox)
• Coordonnées généralisées : n=6 : (+˜ , ,˜ , -˜ ,: , 5 @
• Liaisons holonomes :
,˜ = , -˜ = O,: = ™š_ , 5 = @
⇒ –— = ›
• Nombre de degrés de liberté : – = E − –— = H − › = : (+˜ , @
j
0
O0 i0

j
G
i
2. Contact ponctuel
(S1) et (S2) : Solides en mouvement dans ℛ (O; i, j, k). On distingue 3 points :
• I1 : point matériel lié à S1
(I1 I ∈ S1)
≡
• I2 : point matériel lié à S2
(I2 I ∈ S2)
• I : point géométrique de contact
(S1)
≡
(ℛ)
I1
I
2.1. Vitesse de glissement
œ (>; N4 ⁄N , du solide
On appelle vecteur vitesse de glissement au point I, (S1) par rapport au solide (S2), la vitesse d’entraînement du point I du solide
(S1) par rapport au solide (S2) :
œ (>;N4 ⁄N = (> ∈ N4 ⁄N = _ (>
Composition des vitesses:
(> ∈ N4 ⁄N = (>⁄N − (>⁄N4 O
I2
(S2)
œ (>; N4 ⁄N = (> ∊ N4 ⁄ − (> ∊ N ⁄∀(
Ce qui donne:
œ (>; N4 ⁄N = −
œ (>; N ⁄N4 Remarque :
Pivotement
Proposition : Le vecteur vitesse de glissement est
parallèle au plan tangent commun à (S1) et à (S2) en I.
Définition
Le solide (S1) roule sans glisser sur le solide (S2)
œ (>; N4 ⁄N = O
si : 2.2. Roulement
et
pivotement
au
point
π
tt
tn
Ω
n
(S1)
œ (N4 ⁄N I
de
contact.
Roulement
(N4 ⁄N = Ω
E + Ω
Ω
E = uΩ
(N4 ⁄N . E
: Vecteur rotation de pivotement
vE
•Ω
Ω
= E
(N4 ⁄N ∧ Ev: Vecteur rotation de roulement.
∧ uΩ
•Ω
Ω
(/N = ∊ (N4 Ÿ
œ
‰_šš__
œ—‰šš_ _E
(S2)
E¢£¢
¢£¢
+ ¡¢
+ Ω
∧>
∧>
Ω
¡¢
¢¤
¢¤
‰_šš__
¥‰”_ _E
‰_šš__
„”3—_ _E
k
3. Contact multi-ponctuel. Quelques types de liaisons
Ω
S2 (Cylindre)
3.1. Liaison rotoïde (pivot)
).
1 seul degré de liberté : rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A,j
Torseur cinématique = Glisseur
O
[W(N4 /N ] = § O
k
O
O¨
O
,
,x,j
(w
S1 (piston)
kj
= Y
Z
O
A
∧ ( ∊ N4 /N = kj
3.2. Liaison glissière
).
1 seul degré de liberté : translation (de paramètre λ) selon l’axe (A,j
Torseur cinématique = Couple:
O
[W(N4 /N ] = §O
O
( ∊ N4 /N = ©j
O
O
e
= d
O¨
© (w,x,j
©j
S1
k
S2
A
k
3.3. Liaison verrou (ou pivot-glissant)
) et une
2 degrés de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A,j
).
translation (de paramètre λ) selon l’axe (A,j
O
[W(N4 /N ] = § O
k
O
j
k
O¨
= Y
Z
© (w,x,j
©j
Ω
S2 (Cylindre)
S1 (piston)
A
+ @! ∧ ( ∊ N4 /N = ©j
3.4. Liaison sphérique (ou rotule)
3.5.
3 degrés de liberté : les trois rotations correspondant aux angles d’Euler: ψ, θ, ϕ.
Torseur cinématique = Glisseur:
+ ª3
+ 5!
@9
[W(N4 /N ] = Y
Z
O
+ :3
( ∊ N4 /N = (@9
+ 5! ∧ S1
A
S2
j O
IV. Mouvement plan sur plan
1. Définition et propriétés
On considère un disque (S) qui roule sur une table (S0).
0(O0, w0, x0, j0) : Référentiel lié à (S0)
: Plan de référence perpendiculaire à j0 .
Π0(O0, wO , xO )
≡j
0) : Référentiel lié à (S).
(O,w,x,j
j
0
O0
i0

j
i
O
Si chaque point de (S) se déplace dans un plan (Π)
Π) de () parallèle au plan de référence (Π
Π0), alors on dit que le
mouvement de (S) par rapport à (S0) est un mouvement plan sur plan.
Exemple : mouvement du fer à repasser
Ω
• Les vecteurs vitesse de tous les points de (S)
restent dans des plans (Π)
Π) parallèles à (Π
Π 0).
(∆
∆)
A
Soit A ∊(S) et évoluant dans (Π
Π). Le mouvement est plan
sur plan alors :
= 0 car (A/ 0) ∊ (Π
(A/ 0) .j
Π)
I
T(A/ 0)
∏
∏0
• Le vecteur rotation instantané du solide (S)
!
par rapport à (0) est perpendiculaire au plan
(M⁄O ∧ du mouvement Π:
Ω
j = O
(M⁄O = «!
Ω
Pour A et B ∈(S) et évoluant dans (Π
Π) on a :
(S/ 0) ∧ (S/ 0) ∧ (S/ 0) ⊥ Π
[T(/O − T(/O ] = Ω
­ ⟹ Ω
∊ Π ⟹ Ω
¡¢¢¢¢¢¢¢£¢¢¢¢¢¢¢¤
∈∏
2. Centre Instantané de Rotation (CIR)
Mouvement plan sur plan
:
∈∏
(N⁄O = O
(
/O . Ω
>[¯] = (M⁄O ≠ O,
Ω
ˆ de vecteur directeur ! et passant par le point central I
Axe central = droite ∆‡>, !
Moment central nul :
Le point I est unique
T'∈
∈/O = O.
Torseur cinématique = Glisseur
Définition
On appelle centre instantané de rotation (CIR), à l’instant t, du mouvement plan sur plan de (S) par rapport à ( 0),
le point I, intersection entre le plan (Π
Π) et l’axe instantané de rotation (∆) tel que::
(>∈⁄O = O
> ∈ ± ∩ ∆
Au cours du mouvement, le point I change de position dans (Π) et (Π0).
3. Base et roulante
Base :
Trajectoire du CIR dans le plan (Π
Π0 )
Roulante :
Trajectoire du CIR dans le plan (Π
Π)
La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur
l’autre. Les deux courbes sont tangentes au point I
(CIR)
4. Recherche géométrique du CIR
I ≡ Centre instantané de rotation.
Soit M un point quelconque lié au plan (Π
Π) du solide (S).
T (A/ 0)
T (C/ 0)
T (B/ 0)
B
C
(N/O ∧ (N/O ∧ (/O = (>/O + Ω
> = Ω
>
Donc
(/O ⊥ >
Le CIR se trouve à l’intersection des perpendiculaires
aux vecteurs vitesse du solide.
A
I
5. Champ des vecteurs. Méthode des triangles :
(™′⁄ℛO Connaissant la position du CIR et un vecteur vitesse, on peut
déterminer géométriquement tous les vecteurs vitesse d'un solide.
car Ω
(N/O ⊥ >
‖
(/O ‖=>Ω
∀ ∊(Π
Π) lié à (S) on a :
‖
(/O ‖
= ^_
>
(
⁄ℛO A
B
C
C’
I
Pour les points quelconques A, B, C, on a :
‖
(⁄O ‖ ‖
(™⁄O ‖
(
⁄O ‖ ‖
=
=
>
>
>™
- Les vecteurs situés sur une même trajectoire circulaire ont donc même module. C et C’appartiennent à une même
(™⁄O ‖ = ‖
(™′⁄O ‖
trajectoire circulaire de centre I: IC’ = IC. Donc : ‖
Exercice 1
y
Soit une barre (AB) rigide et homogène de longueur L, en mouvement
). L’extrémité A glisse B
dans le plan vertical xOy du référentiel (O,w,x,j
)
sur l’axe Ox, alors que l’extrémité B glisse sur l’axe Oy. Soit 1(A, ',),j
le référentiel lié à la barre (AB). La barre (AB) est repérée dans ( par
l’angle α. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base
) de (
(i,j,j
1. Paramétrage de (S)
I
J
j
2. Déterminer le torseur cinématique au point A [W (AB / )]A.
α
x
Préciser sa nature.
i
3. Déterminer le moment central et l’axe central du torseur
A
O
cinématique
(⁄ et ´
( ∈ /.
4. Calculer de deux manières différentes les vecteurs vitesses : ´
(⁄ et l
( ∈ /
5. Calculer de deux manières différentes les vecteurs accélérations : l
6. Trouver géométriquement et par calcul, la position du centre instantané de rotation I du mouvement plan sur plan
de la barre (AB) dans (
7. Déterminer la base (b) et la roulante (r) du mouvement plan sur plan de la barre (AB) par rapport à (). Tracer la
base et la roulante.
('/¶. Conclure
('/µ et ´
8. Calculer les vecteurs vitesses du centre instantané de rotation: ´
1. Paramétrage de (S)
Nombre de paramètres primitifs : n=
n=5 car la barre est un solide rectiligne
Nombre de liaisons : Dans le repère (R), A(xxA,yA,zA) et B(xxB,yB ,zB )
A glisse sur l’axe (O, i),
donc yA =0 et zA =0
J
B glisse sur l’axe (O,1,
α
j
k
α
I
i
donc xB =0 et zB =0
Donc –— = 4 .
Nombre de degrés de liberté :
– = E − –— = F − › = 4 seul degré de liberté
On choisit l’angle de rotation α pour définir sa position par rapport à (R).
>ˆ = (1,
?.
Posons ¾ = ‡0,
> = ^”š ¾0 + š‰E ¾1
2. Torseur cinématique au point A
(N⁄
Ω
(
⁄ = Donc:
3. Moment central et Axe central ∆
N⁄ = 0
(A/R) . Ω
I[VV ] = A
α
i
? = −š‰E¾0 + ^”š ¾1
et
= Á¾ ^”š ¾0
N⁄ ≠ O
Ω
O
¾ !
[W(N/]
= Y
Z= § O
Á¾ ^”š ¾0
¾
Donc c’est un glisseur.
(I ∈ S/R) = 0
Par conséquent, son moment central est nul : ∀ I ∈ (∆) v
Axe central ∆:
O
I
(S/R) =¾ !
Ω
Z
[¯(N/]
= Y
(
⁄
=L sin α i
OA
J
j
B
Á¾ ^”š ¾
¨
O
O
(0,1,!
(N/ ≠ O donc l’axe central existe.
Ω
passant par le point I et de vecteur directeur Ω
tel que :
L’axe central est la droite ∆(Ι, Ω
> = (⁄
4. Directement:
=Á ^”š ¾1
F.F.C.S. :
Donc:
(N⁄∧
(
⁄
Ω
(N⁄
Ω
Donc :
v
( ⁄ = v( ⁄ )
=
∧Á¾ ^”š ¾0
¾ !
ˆ
‡¾ !
(⁄ = P
Q = −Á¾ š‰E ¾1
( S⁄R) ∧ + Ω
∧ L? = Á¾ ^”š ¾0 − Á¾ >
= Á¾ ^”š ¾0 + ¾ !
(⁄ = −Á¾ š‰E ¾1
( ∊ N⁄ :
F.F.C.S.
= Á ^”š ¾1 = ∊ N :
( ∊ N⁄) = v
( A⁄R ) + Ω ( S⁄R) ∧ ∧
= Á¾ ^”š ¾0 + ¾ !
∧(−Á š‰E ¾0
= Á¾ (^”š ¾0 − š‰E ¾1
( ∊ N⁄) = ( ∊ 4⁄) = ( ⁄) - ( ⁄4)
Composition
(⁄ = O
( ⁄4 = 4
i
=
4
= −
L sin αi
4
= −Á¾
i
^”š ¾0 − L sin α 4
∧ ‰ = −¾ Ã
+ Ω ( ⁄4 ) ∧ 0 = −¾ !
i
( ⁄4 = −Á¾ ^”š ¾0 + L ¾ sin α 1
( ∊ N⁄) = Á¾ (^”š ¾‰ − š‰E ¾Ã
(B⁄R:
5. γ
Directement :
(⁄
s(⁄ = P
Q = −Á(¾Å š‰E ¾ + ¾ ^”š ¾1
(N⁄Ç ∧ (N/ ∧ ut
(N/ ∧ (⁄ = s
(
⁄ + Æ t
s
+ t
v
Champ :
(
⁄
(
⁄ = P
s
Q = Á(¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾0
∧ L? = −Á¾Å > = −Á¾Å (cos α i+ sin α j
(N⁄Ç ∧ Æ t
= ¾Å !
∧
∧ L? = −Á¾ ? = −Á¾ (−š‰E¾0 + ^”š ¾1
t
(N⁄ ∧ ut
(N⁄ ∧ ∧ (¾ !
v = ¾ !
(⁄ = −Á(¾Å š‰E ¾ + ¾ ^”š ¾1
s
(O∊S⁄R):
γ
A ∊ S :
⁄) +
∊ N⁄) = s
s
N⁄)
t
N/) ∧ ut
N/) ∧ ∧ + t
v
= −Áš‰E ¾0
⁄) = Á¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾)‰
s
∧ Áš‰E ¾0 − ¾ !
∧(¾ !
∧
∊ N⁄) = Á¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾)0 − ¾Å !
s
∧ Áš‰E ¾0)=Á¾Å ^”š ¾ 0 − š‰E ¾1)
N/) ∧ ∊ N⁄) = s
⁄) − s
⁄4 ) − t
s
( ⁄4 )
Composition :
⁄) = O
s
( ⁄4 ) = −Á¾ ^”š ¾0 + L ¾ sin α 1
(⁄4 (⁄4 = P
s
Q
4
i
= −Á(¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾‰ + L (¾Å sin α + ¾ ^”š ¾Ã − Á¾ ^”š ¾ P
Q
4
j
+ L ¾ sin α P
+ L ¾ sin α }
= −Á¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾)‰ + L ¾Å sin α + ¾ ^”š ¾Ã + Á¾ ^”š ¾ j
= −Á(¾Å ^”š ¾ − ¾ š‰E ¾‰ + L (¾Å sin α + ¾ ^”š ¾Ã
j
j
∧ Ã = ¾ }
Car: = + Ω ( ⁄4 ) ∧ 1 = −¾ !
4
Q
4
N/) ∧ t
( ⁄4 )O = ¾ ! ∧ −Á¾ ^”š ¾0 + L ¾ sin α 1 = −Á¾ ^”š ¾1 − L ¾ sin α w
Finalement :
( ∊ N⁄) = Á¾Å ^”š ¾ 0 − š‰E ¾1)
s
REMARQUE :
∊N⁄)
j
6. Détermination du CIR
Par calcul :
> = Á ^”š ¾1 = Le point I est le 4ème sommet du rectangle
BOAI
J
I
I
B
Géométriquement:
L’axe central (∆
∆) du glisseur ⁄⁄ k.
(Π
Π0) le plan (O, i, j) . (Π)
Π) le plan (A, I, J).
I (∆
∆ ) ℜ Π0
v(I ∊ S/R) = 0
(S/ R ) ∧ IA
= Ω
(S/ R ) ∧ IA
/ = vI/R + Ω
Donc: vA/R ⊥IA
(S/ R ) ∧ (S/ ) ∧ vB/R = vI/R + Ω
> = Ω
IB
Donc : vB/R ⊥IB
G
v
(B/R)
α
O
A
v (A/R)
i
On trace les perpendiculaires aux vecteurs vitesse en A et en B. L’intersection des deux normales donne
la position du CIR=I.
j
7. Base et roulante
Base: Lieu des points I( x, y) dans R(O; i, j, k) :
+ > = > = Á š‰E ¾0 + Á ^”š ¾1
OI
OI=
=L
+2 + y2 = L2
=L
La base (b) est un quart de cercle de centre O et de
rayon L dans (R)
Roulante : Lieu des points I (X, Y) dans R1(A, I, J,
K)
> = Á ^”š ¾1 = Á^”š¾‡š‰E ¾> + ^”š¾?ˆ
= È> + É?
È = Á^”š¾ š‰E ¾ =
Áš‰E¾
;
Á(4 + ^”š¾)
É = Á(^”š¾) =
J
Roulante
Base
B
v
(B/R)
I
I
G
O
Á
Á
È + É − = La roulante (r) est un demi cercle de centre ˜(O, Á/, O) et de rayonÁ/ dans (R1).
8.
> = Á š‰E ¾0 + Á ^”š ¾1
>
(>⁄Ê) = /
Ë = Á¾ (^”š ¾0 − š‰E ¾ 1)
A
α
v (A/R)
i
> = Á ^”š ¾1:
>
(>⁄„ = /
Ë = Á¾ (^”š ¾0 − š‰E ¾ 1
4
Conclusion:
(>⁄Ê = (>⁄„
Par conséquent:
(>∈„⁄Ê = 0: La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre.
Exercice 2 : Variateur à plateau
(O; w, x, j) un repère fixe. Un disque (S1) de centre C1 et de rayon R1,
tourne autour de l’axe (O w) . Le centre C1 est sur (O w) et le plan de (S1)
est perpendiculaire à (O 0 ). Un plateau circulaire (S2) de centre C2
tourne autour de l’axe (O j). Le centre C2 est sur (O j) et le plan de
(S2) est perpendiculaire à (O j). Le plateau circulaire roule sans glisser
sur le disque (S1) en un point I tel que :
™ > = 0.
( > O
(M4 / = Í4 w
Ω
(M / = Í j
Ω
S2
I
C2
O
C1
S1
1. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire Í du plateau (S2) et la vitesse angulaire Í4 du disque (S1).
2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de (S2) par
rapport à (S1) en fonction de Í4 , R1 et R2.
1. Déterminer la relation entre Í et Í4
(S2) roule sans glisser sur (S1), donc :
œ (>; N ⁄N4 = (> ∈ N ⁄N4 = O
Or :
(> ∈ N4 ⁄
(> ∈ N ⁄N4 = (> ∈ N ⁄ − (N ⁄∧™
(> ∈ N ⁄ = (™ ⁄ + Ω
>
;
(™ ⁄ = O
(> ∈ N ⁄ = Í !∧„ 0 = „ Í 1
(N4 ⁄∧™
(> ∈ N4 ⁄ = (™4 ⁄ + Ω
(™4 ⁄ = O
4 >;
= −„4 Í4 1
(> ∈ N4 ⁄ = Í4 0∧„4 !
Donc la vitesse de glissement s’écrit:
Pas de glissement :
(> ∈ N ⁄N4 = („ Í + Í4 „4 1
„ Í + Í4 „4 = O
2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de
(S2) par rapport à (S1) en fonction de α1 , r1 et r2.
(N ⁄N4 = Ω
(N / - Ω
(N4 / = Í ! − Í4 0
Ω
k).
Le plan tangent en I entre (S1) et (S2) est le plan (I, i, j) et la normale à ce plan est (I, • Le vecteur rotation de pivotement est suivant la normale (I, k) au plan :
Ω
E (N ⁄N4 = Í ! = − „4 Í4 k
„
• Le vecteur rotation de roulement est parallèle au plan donc :
(N ⁄N4 = −Í4 0
Ω