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X Maths 2 MP 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Cette épreuve d’algèbre linéaire se propose de démontrer un élégant théorème de
coréduction :
Si E est un C-espace vectoriel et si G est un sous-groupe de GL(E) formé
d’éléments unipotents, alors il existe une base de E dans laquelle tous les
éléments de G sont représentés par des matrices triangulaires supérieures
dont les coefficients diagonaux sont égaux à un.
Ce problème ne requiert pas l’utilisation de théorèmes complexes, mais une certaine dextérité dans la manipulation des matrices et une bonne intuition en algèbre
linéaire.
Dans la première des quatre parties de ce problème, on effectue les calculs classiques des commutants de SO(2, R) d’une part, et de SO(n, R) pour n > 3 d’autre part.
Dans la deuxième, on montre que le commutant d’une partie irréductible de L(C n )
est trivial. La troisième constitue la démonstration proprement dite du théorème de
coréduction annoncé. Enfin, dans la quatrième et dernière partie de ce problème,
on établit le lemme « clef » de la démonstration de la partie précédente : la seule
sous-algèbre irréductible de L(C n ) contenant idn est L(C n ) tout entier.
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Indications
Première Partie
2 Qu’est-ce qu’un élément de SO(2, R) ?
3.a Utiliser la question 1.
3.b Utiliser la rotation d’angle π/2 pour la dimension 2, et généraliser pour les
dimensions supérieures.
Deuxième Partie
4 Une matrice de SO(2, R) est une matrice de passage d’une base orthonormée
directe vers une base orthonormée directe.
6 Utiliser la question 5.
7 Qu’a-t-on calculé dans la première partie ?
Troisième Partie
8 Montrer que si x est nilpotent d’ordre p, alors (id −x) est inversible, d’inverse
p−1
P
xk .
k=0
11 Quelle est la trace d’un endomorphisme nilpotent ?
12 Utiliser la question 11.
13 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 12.
14 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 13.
Quatrième Partie
15.c Montrer que si x est un vecteur non nul de E, alors Wx = {w(x) w ∈ W} = E.
16 Construire W′ à partir de certains Vj qui ne sont pas dans W, en pensant
au théorème de la base incomplète.
17 Montrer que Ai,j est dans le commutant de W.
P
19 Calculer Ai,j (ei ).
i
20 Utiliser les questions 15.c et 19.
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Première partie
1 Soit B une matrice de M (n, R) commutant

a1 b1,1 a1 b1,2
 a2 b2,1 a2 b2,2

AB =  .
..
 ..
.
et
an bn,1

a1 b1,1
 a1 b2,1

BA =  .
 ..
a1 bn,1
an bn,2
a2 b1,2
a2 b2,2
..
.
a2 bn,2
avec A. Alors, on a

· · · a1 b1,n
· · · a2 b2,n 

.. 
..
.
. 
· · · an bn,n

· · · an b1,n
· · · an b2,n 

.. 
..
.
. 
· · · an bn,n
En identifiant les coefficients d’indice (i, j) dans l’égalité AB = BA, on trouve
ai bi,j = bi,j aj . L’hypothèse ai 6= aj implique bien
bi,j = 0
2 Le groupe SO(2, R) est constitué des matrices de la forme
a −b
b a
où a et b sont des réels vérifiant a2 + b2 = 1.
Soit A une matrice de M (2, R) commutant avec toute matrice de SO(2, R).
Écrivons
x y
A=
z t
Soient a et b deux réels vérifiant a2 + b2 = 0. Calculons
x y
a −b
a −b
x y
·
=
·
z t
b a
b a
z t
xa + yb −xb + ya
xa − zb ya − tb
=
za + tb −zb + ta
xb + za yb + ta
En mettant tous les termes de cette dernière égalité à gauche, il vient
y+z t−x
b
=0
t − x −y − z
En prenant (a, b) = (0, 1), on en déduit que x = t et y = −z.
Réciproquement, il suffit de « remonter » les calculs pour vérifier que toute matrice
de la forme
x −y
avec x ∈ R et y ∈ R
y x
commute avec toute matrice de SO(2, R). Le commutant de SO(2, R) est donc
l’ensemble
x −y
x ∈ R, y ∈ R
y x
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Il est indispensable de connaître le groupe SO(2, R). Il faut aussi savoir
que le groupe des déplacements de l’espace affine R2 est constitué des rotations et des translations.
Le commutant que l’on a calculé est en fait le groupe des similitudes,
auquel on a ajouté la matrice nulle.
3.a Soit n > 3. Soit B ∈ M (n, R) commutant avec toute matrice de SO(n, R).
Montrons que B est une matrice diagonale.
Montrons d’abord que b1,2 est nul. Notons


1 0
0
e
A
0
e = 0 −1 0 
A=
où A
0 In−3
0 0 −1
Alors A t A = In donc A ∈ O(n, R). De plus, comme son déterminant vaut 1,
A est dans SO(n, R). Puisque B commute avec A, et comme a1 6= a2 , d’après la
question 1, b1,2 est nul.
De même, pour i et j distincts dans [[ 1 ; n ]], comme n > 3, on choisit un k dans
[[ 1 ; n ]], distinct de i et de j. Alors, en utilisant la matrice diagonale A dont les
coefficients diagonaux sont
−1 si ℓ = j ou k
aℓ =
1 sinon
on montre bi,j = 0. On en déduit que
B est une matrice diagonale.
Il est bon de connaître les différentes caractérisations des matrices orthogonales. La plus utile d’entres elles est sans doute celle utilisée ici :
A ∈ O(n, R)
⇐⇒
t
A A = In
3.b Soit B une matrice dans le commutant de SO(n, R). D’après la question 3.a,
c’est une matrice diagonale. Notons (b1 , . . . , bn ) ses coefficients diagonaux et montrons
que B = b1 In .
Montrons par exemple b2 = b1 . Notons
e
0 −1
A
0
e
A=
où A =
1 0
0 In−2
t
Alors A A = In donc A ∈ O(n, R). En outre,
e det In−2 = det A
e =1
det A = det A.
d’où A ∈ SO(n, R). Ainsi, A et B commutent. De plus, en notant e1 et e2 les deux
premiers vecteurs de la base canonique de Rn , on a
AB(e1 ) = A(b1 e1 ) = b1 e2
et
BA(e1 ) = B(e2 ) = b2 e2
de sorte que b1 = b2 .
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