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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/17
X Maths 2 MP 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Cette épreuve d’algèbre linéaire se propose de démontrer un élégant théorème de
coréduction :
Si Eest un C-espace vectoriel et si Gest un sous-groupe de GL(E) formé
d’éléments unipotents, alors il existe une base de Edans laquelle tous les
éléments de Gsont représentés par des matrices triangulaires supérieures
dont les coefficients diagonaux sont égaux à un.
Ce problème ne requiert pas l’utilisation de théorèmes complexes, mais une cer-
taine dextérité dans la manipulation des matrices et une bonne intuition en algèbre
linéaire.
Dans la première des quatre parties de ce problème, on effectue les calculs classi-
ques des commutants de SO(2,R)d’une part, et de SO(n, R)pour n>3d’autre part.
Dans la deuxième, on montre que le commutant d’une partie irréductible de L(Cn)
est trivial. La troisième constitue la démonstration proprement dite du théorème de
coréduction annoncé. Enfin, dans la quatrième et dernière partie de ce problème,
on établit le lemme « clef » de la démonstration de la partie précédente : la seule
sous-algèbre irréductible de L(Cn)contenant idnest L(Cn)tout entier.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/17
Indications
Première Partie
2 Qu’est-ce qu’un élément de SO(2,R)?
3.a Utiliser la question 1.
3.b Utiliser la rotation d’angle π/2pour la dimension 2, et généraliser pour les
dimensions supérieures.
Deuxième Partie
4 Une matrice de SO(2,R)est une matrice de passage d’une base orthonormée
directe vers une base orthonormée directe.
6 Utiliser la question 5.
7 Qu’a-t-on calculé dans la première partie ?
Troisième Partie
8 Montrer que si xest nilpotent d’ordre p, alors (id −x)est inversible, d’inverse
p−1
P
k=0
xk.
11 Quelle est la trace d’un endomorphisme nilpotent ?
12 Utiliser la question 11.
13 Faire une récurrence sur la dimension de Eet utiliser la question 12.
14 Faire une récurrence sur la dimension de Eet utiliser la question 13.
Quatrième Partie
15.c Montrer que si xest un vecteur non nul de E, alors Wx={w(x)w∈W}= E.
16 Construire W′à partir de certains Vjqui ne sont pas dans W, en pensant
au théorème de la base incomplète.
17 Montrer que Ai,j est dans le commutant de W.
19 Calculer P
i
Ai,j (ei).
20 Utiliser les questions 15.c et 19.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/17
Première partie
1Soit Bune matrice de M(n, R)commutant avec A. Alors, on a
AB = 
a1b1,1a1b1,2··· a1b1,n
a2b2,1a2b2,2··· a2b2,n
.
.
..
.
.....
.
.
anbn,1anbn,2··· anbn,n
et BA = 
a1b1,1a2b1,2··· anb1,n
a1b2,1a2b2,2··· anb2,n
.
.
..
.
.....
.
.
a1bn,1a2bn,2··· anbn,n
En identifiant les coefficients d’indice (i, j)dans l’égalité AB = BA, on trouve
aibi,j =bi,j aj. L’hypothèse ai6=ajimplique bien
bi,j = 0
2Le groupe SO(2,R)est constitué des matrices de la forme
a−b
b a 
où aet bsont des réels vérifiant a2+b2= 1.
Soit Aune matrice de M(2,R)commutant avec toute matrice de SO(2,R).
Écrivons
A = x y
z t
Soient aet bdeux réels vérifiant a2+b2= 0. Calculons
x y
z t·a−b b a =a−b b a ·x y z t
xa +yb −xb +ya
za +tb −zb +ta=xa −zb ya −tb xb +za yb +ta
En mettant tous les termes de cette dernière égalité à gauche, il vient
by+z t −x
t−x−y−z= 0
En prenant (a, b) = (0,1), on en déduit que x=tet y=−z.
Réciproquement, il suffit de « remonter » les calculs pour vérifier que toute matrice
de la forme x−y
y x avec x∈Ret y∈R
commute avec toute matrice de SO(2,R). Le commutant de SO(2,R)est donc
l’ensemble x−y
y x x∈R, y ∈R
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/17
Il est indispensable de connaître le groupe SO(2,R). Il faut aussi savoir
que le groupe des déplacements de l’espace affine R2est constitué des rota-
tions et des translations.
Le commutant que l’on a calculé est en fait le groupe des similitudes,
auquel on a ajouté la matrice nulle.
3.a Soit n>3. Soit B∈M(n, R)commutant avec toute matrice de SO(n, R).
Montrons que Best une matrice diagonale.
Montrons d’abord que b1,2est nul. Notons
A = e
A 0
0 In−3où e
A = 
1 0 0
0−1 0
0 0 −1
Alors AtA = Indonc A∈O(n, R). De plus, comme son déterminant vaut 1,
Aest dans SO(n, R). Puisque Bcommute avec A, et comme a16=a2, d’après la
question 1, b1,2est nul.
De même, pour iet jdistincts dans [[ 1 ; n]], comme n>3, on choisit un kdans
[[ 1 ; n]], distinct de iet de j. Alors, en utilisant la matrice diagonale Adont les
coefficients diagonaux sont
aℓ=−1si ℓ=jou k
1sinon
on montre bi,j = 0. On en déduit que
Best une matrice diagonale.
Il est bon de connaître les différentes caractérisations des matrices orthogo-
nales. La plus utile d’entres elles est sans doute celle utilisée ici :
A∈O(n, R)⇐⇒ AtA = In
3.b Soit Bune matrice dans le commutant de SO(n, R). D’après la question 3.a,
c’est une matrice diagonale. Notons (b1,...,bn)ses coefficients diagonaux et montrons
que B = b1In.
Montrons par exemple b2=b1. Notons
A = e
A 0
0 In−2où e
A = 0−1
1 0 
Alors AtA = Indonc A∈O(n, R). En outre,
det A = det e A.det In−2= det e A = 1
d’où A∈SO(n, R). Ainsi, Aet Bcommutent. De plus, en notant e1et e2les deux
premiers vecteurs de la base canonique de Rn, on a
AB(e1) = A(b1e1) = b1e2
et BA(e1) = B(e2) = b2e2
de sorte que b1=b2.
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