X Maths PC 2009 — Corrigé

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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/24
X Maths PC 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Ce sujet traite de l’ensemble M+
ndes matrices inversibles de Mn(R)dont tous les
déterminants extraits en position symétrique sont strictement positifs. En particulier,
on établit le théorème suivant :
Pour toute matrice P∈M+
n, il existe un vecteur X, dont tous les
coefficients sont strictement positifs, tel que les coefficients de PX
soient eux aussi tous strictement positifs.
Le sujet est constitué de quatre parties, qui sont indépendantes à l’exception de
la dernière question du sujet. Les questions étant très liées les unes aux autres au
sein de chaque partie, il faut les traiter dans l’ordre.
•La première partie établit quelques résultats simples sur M+
n; en particulier,
on démontre le théorème ci-dessus dans le cas n= 2. Elle permet de se familia-
riser avec les matrices de M+
net avec la manipulation des vecteurs à coefficients
positifs ou strictement positifs.
•La deuxième partie est totalement déconnectée du reste du sujet et permet
de tester ses connaissances sur les séries entières et les fonctions à plusieurs
variables.
•La troisième partie démontre que pour toute matrice Pde M+
n, il n’existe
aucun vecteur Xnon nul à coefficients positifs tel que les coefficients de PX
soient négatifs.
•Enfin, dans la dernière partie, on démontre le théorème annoncé en étudiant les
équations du type MX = DX d’inconnues Det X, où Dest une matrice diago-
nale à coefficients diagonaux dans {−1,1}et Xun vecteur ; Mest une matrice
orthogonale donnée. En particulier, on montre que ces équations admettent
toujours une solution pour laquelle le vecteur Xest à coefficients strictement
positifs.
C’est un sujet de difficulté moyenne pour l’École Polytechnique. Comme souvent,
il ne fait appel qu’à très peu de théorèmes du cours. Cependant, il nécessite d’être à
l’aise en algèbre linéaire et dans la manipulation des matrices, tout particulièrement
dans l’usage des matrices par bloc. Toutes les questions sont faisables ; la difficulté
est essentiellement de toutes les traiter, ou du moins le plus possible, dans le temps
imparti.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/24
Indications
1.a Comparer t(M(Σ))et (tM)(Σ).
1.c Utiliser les résultats des questions 1.a et 1.b.
2 Exprimer les coefficients de DX en fonction de ceux de Xet des éléments
diagonaux de D. Choisir ensuite convenablement les coefficients de la matrice D.
3.a Exprimer les conditions M∈M+
n,X≻0et 0<MX sous forme d’inégalités sur
des réels.
3.b Raisonner par l’absurde et reprendre les calculs de la question 3.a pour obtenir
M6∈ M+
n.
3.c Chercher Xsous la forme t( 1, y). Dans le cas b < 0, utiliser le fait que M
appartient à M+
n.
4 Utiliser la règle de d’Alembert.
5.a Montrer que uet vadmettent des dérivées partielles en déterminant les limites
des taux d’accroissement.
5.b Comparer Re ζet |ζ|.
6.a Quel est le rapport entre les solutions d’un système linéaire et les déterminants ?
6.b Que vaut PC ?
6.c Utiliser la question 6.b.
6.d Que vaut le j-ième coefficient de Y?
6.e Utiliser la question 6.d.
6.f Utiliser les questions 6.d et 6.e.
7 Interpréter géométriquement la propriété (Pn).
8 Calculer explicitement tX2X1−tX2DX1.
Pour la deuxième question, commencer par montrer que D1D2= In.
9.a Que peut-on dire du signe de tUU?
9.b Utiliser les relations obtenues à la question précédente pour montrer que Uet V
sont nuls. En déduire que West orthogonale. Que vaut alors M?
10 Calculer tM1M1et tM−2M −2avec les relations obtenues à la question 9.a.
11.a Calculer tM2M1. Quelle est la taille de la matrice tX2V? et de tV X1?
11.b Utiliser la question précédente.
11.c Que vaut D1D2?
11.d Quelle autre décomposition de Maurait-on pu considérer ?
12.a Calculer de deux façons différentes le produit tX′tM MX.
13.a Calculer de deux façons différentes tX NX, où Xest un vecteur propre.
Que sait-on de λsi N−λInn’est pas inversible ? et réciproquement ?
13.b Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales.
13.c Calculer la matrice NY en faisant apparaître la matrice M.
14 Se servir du résultat de la question 13.c et « découper » le vecteur obtenu de
taille 2nen deux vecteurs de taille n. Que vérifient ces deux vecteurs ?
15 Utiliser la question précédente et le résultat de la troisième partie.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/24
Première partie
1.a Commençons par remarquer que pour toute matrice A∈Mnet pour toute
partie Σ⊆[[ 1 ; n]], on a
(tA)(Σ) =t( A(Σ))
En effet, si A∈Mnet Σ⊆[[ 1 ; n]], la matrice (tA)(Σ) est la sous-matrice obtenue en
supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de tApour tout i∈Σ,ie la transposée
de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème colonne et la i-ème ligne de A
pour tout i∈Σ. On en déduit l’égalité (tA)(Σ) =t( A(Σ)).
Soit M∈M+
n. Montrons que tM∈M+ n. Fixons donc Σ⊆[[ 1 ; n]] et mon-
trons que le déterminant de (tM)(Σ) est strictement positif. On vient de voir que
(tM)(Σ) =t( M(Σ)). Comme le déterminant d’une matrice est égal au déterminant
de la transposée et que Mest dans M+
n, on obtient det( tM)(Σ) >0. Ceci étant vrai
pour tout sous-ensemble Σde [[ 1 ; n]], on conclut que
tM∈M+
n
L’énoncé n’est pas parfaitement clair sur la définition des matrices de M+
n.
En effet, s’il précise que dans le cas Σ = ∅, on pose M(∅)= M, que se passe-
t-il si Σ = [[ 1 ; n]] ? La matrice M([[ 1 ; n]]) est la matrice sans ligne ni colonne.
Que vaut son déterminant ? Nous passerons donc sur ce détail dans tout ce
corrigé.
1.b Soient M∈Mn,D∈ Dnet Σ⊆[[ 1 ; n]]. Les matrices M(Σ),D(Σ) et (MD)(Σ)
sont des matrices carrées de taille n−Card Σ.
Notons (C1,...,Cn)les colonnes de Met (e C1,...,e Cn)les colonnes obtenues en
supprimant les coefficients d’indice ide toutes les colonnes de Mpour tout i∈Σ.
Les colonnes de M(Σ) sont alors les e Ckpour k∈[[ 1 ; n]] et k6∈ Σ.
Notons maintenant (d1,...,dn)les coefficients diagonaux de D. La matrice D(Σ)
est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les dkpour k∈[[ 1 ; n]]
et k6∈ Σ. Calculons le produit MD avec ces notations :
MD = 
C1··· Cn ×
d10
...
0dn
=
d1C1··· dnCn
En effectuant le produit M(Σ)D(Σ) de la même manière, on constate que les co-
lonnes de M(Σ)D(Σ) sont les dke Ckpour k∈[[ 1 ; n]] et k6∈ Σ. Ce sont les mêmes co-
lonnes que si l’on supprime les i-ème lignes et i-ème colonnes de MD pour tout i∈Σ.
Conclusion :
M(Σ)D(Σ) = (MD)(Σ)
Il est important de savoir interpréter le produit de deux matrices carrées en
fonction des lignes et colonnes de celles-ci. En particulier, étant donné deux
matrices carrées Aet Bde taille n, si on note (C1,...,Cn)les colonnes de B,
alors le produit AB vaut
AB = A ×
C1··· Cn = AC1··· ACn
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/24
De plus, si on note (E1,...,En)la base canonique de Rn, on obtient pour
tout i∈[[ 1 ; n]]
BEi=
C1··· Cn ×Ei= Ci
Ce sont ces deux résultats qui permettent d’obtenir l’égalité précédente.
1.c Soient M∈M+
net D∈ Dn. Fixons Σ⊆[[ 1 ; n]] et montrons que le déterminant
de (DMD)(Σ) est strictement positif. En appliquant le résultat de la question 1.b aux
matrices DM ∈Mnet D∈ Dn, on obtient l’égalité
((DM)D)(Σ) = (DM)(Σ)D(Σ)
Montrons maintenant que (DM)(Σ) = D(Σ)M(Σ) en utilisant la transposée pour
se ramener au résultat de la question 1.b. On a établi à la question 1.a l’identité
t( A(Σ)) = ( tA)(Σ) pour toute matrice A∈Mn. On en déduit
t((DM)(Σ)) = ( t( DM))(Σ) = ( tMtD)(Σ) = ( tM D)(Σ)
Le résultat de la question 1.b donne alors
t((DM)(Σ)) = ( tM)(Σ)D(Σ)
soit (DM)(Σ) =t( D(Σ))t(( tM)(Σ))
Comme Dest diagonale, D(Σ) l’est aussi et t( D(Σ)) = D(Σ). De plus, d’après le
résultat de la question 1.a, t(( tM)(Σ)) = M(Σ). Il vient
(DM)(Σ) = D(Σ)M(Σ)
et finalement (DMD)(Σ) = D(Σ)M(Σ)D(Σ)
Comme le déterminant d’un produit de matrices carrées est égal au produit de
leurs déterminants,
det((DMD)(Σ)) = det(D(Σ)M(Σ)D(Σ))
= det D(Σ) det M(Σ) det D(Σ)
det((DMD)(Σ)) = det M(Σ) (det D(Σ))2
Comme D(Σ) est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans l’ensemble
{−1; 1}, son déterminant est non nul. De plus, comme M∈M+
n, le déterminant de
M(Σ) est strictement positif. On en déduit l’inégalité
det((DMD)(Σ))>0
Conclusion : DMD ∈M+
n
Pour montrer que det((DMD)(Σ))>0, on peut aussi dire que le déterminant
de D(Σ) vaut 1ou −1, ce qui entraîne
det((DMD)(Σ)) = det M(Σ)(det D(Σ))2= det M(Σ) >0
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