c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/20 Centrale Maths 2 MP 2001 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Olivier Schmitt (École Polytechnique). Ce problème développe certains aspects géométriques de la théorie des formes quadratiques sur R3 . C’est un excellent sujet de révision sur les quadriques ; il est assez classique. • La première partie étudie quelques propriétés de cônes isotropes contenant cinq vecteurs donnés. • La deuxième partie montre algébriquement qu’une section plane d’un tel cône est une conique. • La troisième partie donne une condition algébrique, nécessaire et suffisante, pour qu’une telle section soit un cône. • La quatrième partie montre géométriquement que l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan est une conique, celle-ci étant caractérisée par la donnée d’un couple foyer-directrice et d’une excentricité. • La cinquième partie donne des conditions pour que la conique soit une conique à centre. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/20 Indications Partie I I.B.1 Construire « canoniquement » une application linéaire τ 7→ qτ de R3 vers l’ensemble Qi,j,k des formes quadratiques q telles que Cq contienne i, j, k. Remarquer alors que l(τ ) = qτ (e). . . I.B.3 Traduire la condition (2) sur les coordonnées de e ∧ e′ et remarquer que {e ∧ e′ }⊥ = Vect (e, e′ ). Traduire ensuite le fait qu’une forme q appartient à Qe,e′ par un système linéaire puis résoudre ce système. Partie II II.A Dans toute base (en particulier une base orthonormale) de P0 , la matrice de q est symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale. . . II.B.1.a On a nécessairement |z0 | = d(P0 , P1 ). II.B.1.c Utiliser la forme de la matrice de qτ relativement à B écrite à la question II.B.1.b. Partie III III.A Rechercher explicitement le couple (λ, l) qui peut convenir, puis vérifier qu’il convient bien. III.B Calculer explicitement x′ , y ′ et z ′ et se servir d’une expression de qτ obtenue avant le calcul de la forme linéaire l de la question III.A. Partie IV −−→ −−→ kOΩa ∧ OMk . IV.A Utiliser la formule d (Ωa , (OM) ) = −−→ kOMk IV.C Commencer par chercher un scalaire ν tel que (x + y + z − a)2 = ν d(M, Pa )2 Partie V V.B Utiliser le fait que H⊥ = Vect (V). V.C Commencer par décrire le supplémentaire F potentiel à l’aide de la question V.B. Rechercher ensuite à quelle condition il s’agit effectivement d’un supplémentaire. V.D Utiliser « la » formule sur la comatrice. . . V.E Se ramener à un système linéaire à résoudre. Pour la fin de la question, remarquer que SP1 est une symétrie centrale et laisse Cq stable. V.F Utiliser (également) la question II.B.1.c. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/20 Question préliminaire A Comme le suggère l’énoncé, faisons une disjonction de cas portant sur le signe de det M = rt − s2 . Premier cas : rt − s2 = 0 La forme quadratique q est dégénérée et non nulle (par hypothèse), donc q est de rang 1. Le théorème d’inertie de Sylvester dit qu’il existe un réel non nul a et une forme linéaire non nulle l sur R2 tels que ∀x ∈ E q(x) = a l(x)2 Nécessairement, l’un des deux réels r ou t est non nul (sinon, s serait également nul et q serait donc la forme quadratique nulle). De plus, r et t sont de même signe : c’est le signe de a étant donné que r = q(i) = a l(i)2 et t = q(j) = a l(j)2 . Il nous faut maintenant discuter selon ce signe, qui est d’après ce qui vient d’être dit, le signe (strict) de r + t : • si r + t > 0, q a pour signature (1, 0) ; • si r + t < 0, la signature de q est (0, 1). Dans les deux cas, Cq = {x ∈ E | q(x) = 0} = {x ∈ E | l(x) = 0} = Ker l Cq est donc un hyperplan de E, c’est-à-dire une droite. Second cas : rt − s2 6= 0 Dans ce cas, q est non dégénérée et il existe deux réels non nuls a1 , a2 , ainsi que deux formes linéaires indépendantes sur R2 , l1 et l2 tels que ∀x ∈ E q(x) = a1 l1 (x)2 + a2 l2 (x)2 Dans la base duale de (l1 , l2 ) que l’on note B′ , q a donc pour matrice ! a1 0 Mat B′ (q) = 0 a2 Comme le signe du déterminant dans une base de la matrice de q ne dépend pas de la base, a1 a2 est du signe de rt − s2 . • Si rt − s2 est négatif, a1 et a2 sont de signe opposé. Quitte à intervertir les couples (a1 , l1 ) et (a2 , l2 ), on peut supposer a1 strictement positif et a2 strictement négatif. On a en notant (x, y) les coordonnées d’un vecteur X ∈ R2 dans la base B′ , √ √ √ √ X ∈ Cq ⇐⇒ ( a1 x − −a2 y)( a1 x + −a2 y) = 0 √ √ √ √ ⇐⇒ a1 x − −a2 y = 0 ou a1 x + −a2 y = 0 Cq est donc réunion de deux droites. • Si rt−s2 est positif, a1 et a2 sont de même signe, qui est le signe de r = q(i) = a1 l1 (i)2 + a2 l2 Deux sous-cas se présentent : – si r > 0, q est définie positive et est donc un produit scalaire ; alors Cq = {0} et q a pour signature (2, 0) ; – si r < 0, q est définie négative. Dans ce cas, Cq = {0} et q a pour signature (0, 2). Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/20 L’énoncé suggère de faire une discussion. Pour répondre précisément à la question, la discussion doit se faire jusqu’au bout sur les données de l’énoncé, c’est-à-dire sur r, s et t (et non pas sur des quantités introduites dans la réponse, comme ici a, a1 . . .) I. Cône contenant cinq vecteurs donnés I.A Notons M la matrice de q relativement à Bc a11 a12 M = Mat Bc (q) = a12 a22 a13 a23 de sorte que a13 a23 a33 q ((x, y, z)) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2 a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz Ainsi, il vient q(i) = 0 ⇐⇒ a11 = 0 Donc i ∈ Cq si et seulement si le premier coefficient de la matrice de q relativement à Bc est nul. De même, j et k sont dans Cq si et seulement si les coefficients diagonaux de M sont nuls, si bien que, en notant a23 = 2α, a13 = 2β, a12 = 2γ, il vient que : Cq contient i, j et k si, et seulement si, il existe des réels α, β et γ tels que ∀X = (x, y, z) ∈ R3 q(X) = α yz + β xz + γ xy I.B.1 Pour un triplet τ , notons qτ la forme quadratique qui à X = (x, y, z) ∈ R3 associe qτ (X) = α yz + β xz + γ xy. Notons également Qi,j,k l’ensemble des formes quadratiques telles que Cq contienne i, j et k. L’application τ 7→ qτ est visiblement linéaire de R3 dans Q. D’après la question précédente, son image est exactement Qi,j,k . Elle est également injective : si qτ = 0, 0 γ β 1 Mat Bc (Qτ ) = γ 0 α = 0 2 β α 0 et donc τ =0 De plus, nous avons, pour τ ∈ R3 qτ (e) = l(τ ) qτ (e′ ) = l′ (τ ) Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .