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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/20
Centrale Maths 2 MP 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Olivier Schmitt (École Polytechnique).
Ce problème développe certains aspects géométriques de la théorie des formes
quadratiques sur R3. C’est un excellent sujet de révision sur les quadriques ; il est
assez classique.
•La première partie étudie quelques propriétés de cônes isotropes contenant cinq
vecteurs donnés.
•La deuxième partie montre algébriquement qu’une section plane d’un tel cône
est une conique.
•La troisième partie donne une condition algébrique, nécessaire et suffisante,
pour qu’une telle section soit un cône.
•La quatrième partie montre géométriquement que l’intersection d’un cône de
révolution et d’un plan est une conique, celle-ci étant caractérisée par la donnée
d’un couple foyer-directrice et d’une excentricité.
•La cinquième partie donne des conditions pour que la conique soit une conique
à centre.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/20
Indications
Partie I
I.B.1 Construire « canoniquement » une application linéaire τ7→ qτde R3vers
l’ensemble Qi,j,k des formes quadratiques qtelles que Cqcontienne i, j, k.
Remarquer alors que l(τ) = qτ(e)...
I.B.3 Traduire la condition (2)sur les coordonnées de e∧e′et remarquer que
{e∧e′}⊥= Vect (e, e′). Traduire ensuite le fait qu’une forme qappartient à
Qe,e′par un système linéaire puis résoudre ce système.
Partie II
II.A Dans toute base (en particulier une base orthonormale) de P0, la matrice de
qest symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale. . .
II.B.1.a On a nécessairement |z0|=d(P0,P1).
II.B.1.c Utiliser la forme de la matrice de qτrelativement à Bécrite à la question
II.B.1.b.
Partie III
III.A Rechercher explicitement le couple (λ, l)qui peut convenir, puis vérifier qu’il
convient bien.
III.B Calculer explicitement x′,y′et z′et se servir d’une expression de qτobtenue
avant le calcul de la forme linéaire lde la question III.A.
Partie IV
IV.A Utiliser la formule d(Ωa,(OM) ) = k−−→
OΩa∧−−→ OMk
k−−→ OMk
.
IV.C Commencer par chercher un scalaire νtel que
(x+y+z−a)2=ν d(M,Pa)2
Partie V
V.B Utiliser le fait que H⊥= Vect (V).
V.C Commencer par décrire le supplémentaire Fpotentiel à l’aide de la ques-
tion V.B. Rechercher ensuite à quelle condition il s’agit effectivement d’un
supplémentaire.
V.D Utiliser « la » formule sur la comatrice. . .
V.E Se ramener à un système linéaire à résoudre. Pour la fin de la question,
remarquer que SP1est une symétrie centrale et laisse Cqstable.
V.F Utiliser (également) la question II.B.1.c.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/20
Question préliminaire A
Comme le suggère l’énoncé, faisons une disjonction de cas portant sur le signe de
det M = rt −s2.
Premier cas : rt −s2= 0
La forme quadratique qest dégénérée et non nulle (par hypothèse), donc qest de
rang 1. Le théorème d’inertie de Sylvester dit qu’il existe un réel non nul aet une
forme linéaire non nulle lsur R2tels que
∀x∈Eq(x) = a l(x)2
Nécessairement, l’un des deux réels rou test non nul (sinon, sserait également nul
et qserait donc la forme quadratique nulle). De plus, ret tsont de même signe : c’est
le signe de aétant donné que r=q(i) = a l(i)2et t=q(j) = a l(j)2. Il nous faut
maintenant discuter selon ce signe, qui est d’après ce qui vient d’être dit, le signe
(strict) de r+t:
•si r+t > 0,qa pour signature (1,0) ;
•si r+t < 0, la signature de qest (0,1).
Dans les deux cas,
Cq={x∈E|q(x) = 0}={x∈E|l(x) = 0}= Ker l
Cqest donc un hyperplan de E, c’est-à-dire une droite.
Second cas : rt −s26= 0
Dans ce cas, qest non dégénérée et il existe deux réels non nuls a1, a2, ainsi que
deux formes linéaires indépendantes sur R2,l1et l2tels que
∀x∈Eq(x) = a1l1(x)2+a2l2(x)2
Dans la base duale de (l1, l2)que l’on note B′,qa donc pour matrice
Mat B′(q) = a10
0a2!
Comme le signe du déterminant dans une base de la matrice de qne dépend pas de
la base, a1a2est du signe de rt −s2.
•Si rt −s2est négatif, a1et a2sont de signe opposé. Quitte à intervertir les
couples (a1, l1)et (a2, l2), on peut supposer a1strictement positif et a2stricte-
ment négatif. On a en notant (x, y)les coordonnées d’un vecteur X∈R2dans
la base B′,
X∈Cq⇐⇒ (√a1x−√−a2y)(√a1x+√−a2y) = 0
⇐⇒ √a1x−√−a2y= 0 ou √a1x+√−a2y= 0
Cqest donc réunion de deux droites.
•Si rt−s2est positif, a1et a2sont de même signe, qui est le signe de r=q(i) = a1l1(i)2+a2l2
Deux sous-cas se présentent :
– si r > 0,qest définie positive et est donc un produit scalaire ; alors Cq=
{0}et qa pour signature (2,0) ;
– si r < 0,qest définie négative. Dans ce cas, Cq={0}et qa pour signature
(0,2).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/20
L’énoncé suggère de faire une discussion. Pour répondre précisément à la
question, la discussion doit se faire jusqu’au bout sur les données de l’énoncé,
c’est-à-dire sur r,set t(et non pas sur des quantités introduites dans la
réponse, comme ici a,a1. . .)
I. Cône contenant cinq vecteurs donnés
I.A Notons Mla matrice de qrelativement à Bc
M = Mat Bc(q) = 
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
de sorte que
q((x, y, z)) = a11 x2+a22 y2+a33 z2+ 2 a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz
Ainsi, il vient q(i) = 0 ⇐⇒ a11 = 0
Donc i∈Cqsi et seulement si le premier coefficient de la matrice de qrelativement
àBcest nul.
De même, jet ksont dans Cqsi et seulement si les coefficients diagonaux de M
sont nuls, si bien que, en notant a23 = 2α, a13 = 2β, a12 = 2γ, il vient que :
Cqcontient i,jet ksi, et seulement si, il existe des réels α,βet γtels que
∀X = (x, y, z)∈R3q(X) = α yz +β xz +γ xy
I.B.1 Pour un triplet τ, notons qτla forme quadratique qui à X = (x, y, z)∈R3
associe qτ(X) = α yz +β xz +γ xy. Notons également Qi,j,k l’ensemble des formes
quadratiques telles que Cqcontienne i,jet k. L’application τ7→ qτest visiblement
linéaire de R3dans Q. D’après la question précédente, son image est exactement
Qi,j,k. Elle est également injective : si qτ= 0,
Mat Bc(Qτ) = 1
2
0γ β
γ0α
β α 0
= 0
et donc τ= 0
De plus, nous avons, pour τ∈R3
qτ(e) = l(τ)
qτ(e′) = l′(τ)
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