TD6 : Couples aléatoires Université Paris Dauphine

Université Paris Dauphine
Probabilités discrètes
A.M.Boussion
DE MI2E 1
2012-2013
TD6 : Couples aléatoires
Exercice 1
Une urne contient cinq boules de couleurs différentes. On en tire trois une à une avec remise.
Déterminer la loi de X, nombre de couleurs apparues.
Exercice 2
Dire si chacune des fonctions Fsuivantes peut être la fonction de répartition d’une v.a. X, et si
oui donner la loi de X:
1. ∀x∈RF(x)=0
2. ∀x∈RF(x)=0si x<π et F(x)=1sinon
3. ∀x∈RF(x)=0si x < 0,F(x) = 1
3si 0≤x < 1,F(x)=1si x≥1
Exercice 3
Une urne contient nboules blanches et deux boules noires. On tire les boules une à une sans
remise. Déterminer la loi de X, rang d’apparition de la première boule noire.
Vérifier que X
i∈X(Ω)
P(X=i)=1
Exercice 4
Un atelier fonctionne avec deux équipes d’ouvriers, une du matin et l’autre du soir. Chaque jour,
on enregistre le nombre d’ouvriers absents, et on note Xle nombre d’absences dans l’équipe de
jour, et Yle nombre d’absences dans l’équipe de nuit.
La loi de (X, Y )est donnée par le tableau suivant :
1. Déterminer la constante cet donner les lois marginales de Xet Y.
2. Donner la loi de Xsi le tirage se fait sans remise (on suppose alors k≤n).
3. Déduire de la deuxième question que pour 1≤k≤n:
n
X
i=k
Ck−1
i−1=Ck
n(c’est la formule d’itération de Pascal que l’on retrouve ainsi)
Exercice 5
On dessine sur des cartes les différentes parties de l’ensemble {1, 2, ..., n}, puis on tire au hasard
l’une de ces cartes. Xest la variable aléatoire égale au cardinal de la partie figurant sur la carte
tirée. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
Exercice 6
Un jeu consiste à miser 2 euros et à tirer 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. On reçoit alors aeuros
pour chaque roi obtenu. On note Xle nombre de rois obtenus, et Gle gain algébrique du joueur.
1. Exprimer Gen fonction de Xet de a.
2. Si le tirage se fait avec remise, donner la loi de Xet son espérance.
Le jeu est dit favorable au joueur si l’espérance du gain est positive.
Pour quelles valeurs de ale jeu est-il favorable au joueur ?
1

3. Reprendre la même question si le tirage se fait sans remise.
4. Si a= 3,20 euros, quelle différence y a-t-il entre ces deux jeux ?
Exercice 7
Soit Xune v.a. suivant la loi hypergéométrique H(N, n, p)(Net nentiers non nuls, 0<p<1).
Montrer qu’en écrivant
n
X
k=0
P(X=k)=1, on retrouve l’égalité de Van der Monde.
Calculer E(X)et var(X).
Exercice 8
Un avion est muni de réacteurs dont chacun a une probabilité de tomber en panne égale à (1 −p)
(0<p<1), les pannes des différents réacteurs étant indépendantes. Pour fonctionner, l’avion
doit avoir au moins la moitié de ses réacteurs en état de marche. Déterminer selon la valeur de
psi un quadriréacteur est préférable à un biréacteur.
Exercice 9
Calculer E(1
X+ 1):
1. si Xsuit la loi binômiale B(n, p).
2. si Xsuit la loi de Poisson P(λ).
Exercice 10
Un tireur à l’arc dispose de nflèches (n≥1). Pour chaque tir la probabilité qu’il atteigne la cible
est égale à p(0< p < 1), et ses tirs sont indépendants. Il s’arrête dès qu’il a atteint la cible ou
lorsqu’il n’a plus de flèches.
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de flèches utilisées.
1. Déterminer la loi de X.
Vérifier que les pk=P(X=k)déterminés définissent bien une loi de probabilité.
2. Combien le tireur utilise-t-il de flèches en moyenne ?
Exercice 11
Un rat de laboratoire est placé dans une cage comportant 4 portes, derrière lesquelles se trouve
un morceau de fromage. Lorsqu’il essaie de franchir ces portes, il reçoit une décharge électrique,
sauf pour l’une des portes qui est la seule à s’ouvrir.
Soit Xle nombre d’essais effectués par le rat pour trouver la bonne porte.
Donner la loi de Xet son espérance dans les cas suivants :
1. le rat n’a pas de mémoire : il renouvelle ses essais sans tenir compte de ses échecs précédents.
2. le rat a seulement une mémoire immédiate : en cas de nouvelle tentative, il ne tient compte
que de l’échec qui la précède immédiatement.
3. le rat a une bonne mémoire : il laisse systématiquement de côté les portes où il a eu un
échec.
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