Structures algébriques, feuille 10

Structures algébriques, feuille 10
Exercice 1.
a.
b.
c.
Soit A un anneau commutatif et K un corps.
Montrer que A[X] n'est pas un corps. Quels sont ses éléments inversibles ?
Montrer que si A est intègre, alors pour tout a ∈ A, X − a est irréductible dans A[X]. Est-ce
toujours vrai lorsque A n'est pas intègre ? (On pourra multiplier 3X − 1 et 2X + 1 dans Z/6Z).
Donner tous les polynômes irréductibles de C[X], puis de R[X]. (On pourra factoriser dans C un
polynôme à coecients réels).
d.
Démontrer que K[X] admet une innité de polynômes irréductibles unitaires.
e.
Rappeler pourquoi K[X] est principal. Montrer que Z[X] n'est pas principal.
Exercice 2. Caractéristique d'un corps
a.
b.
. Soit A un anneau commutatif et K un corps.
Prouver qu'il existe un unique morphisme d'anneaux de Z dans A. (A fortiori, il existe un unique
morphisme d'anneaux de Z dans K )
Soit φ l'unique morphisme d'anneaux : Z −→ K , montrer que le noyau de φ est de la forme nZ,
où n est soit 0, soit un nombre premier. On appelle n la caractéristique du corps K .
c.
Quelle est la caractéristique de Q ? De R ? De Z/pZ ?
d.
Soit K −→ L un morphisme de corps. Montrer que K et L ont la même caractéristique.
Exercice 3. Polynôme dérivé
dérivé
. Soit K un corps. Pour tout P =
de P et on note P 0 le polynôme
n
P
n
P
ai X i ∈ K[X], on appelle
polynôme
i=0
iai X i−1 de K[X].
i=1
a.
Montrer que l'application
K[X] −→
P
7−→
K[X]
P0
est K -linéaire (où K[X] est muni de sa structure de K -espace vectoriel)
b.
c.
d.
Supposons que K est de caractéristique 0 (cf. exercice 2). Soit P ∈ K[X], montrer que P 0 = 0 si
et seulement si P est constant.
Supposons que K est de caractéristique p, où p est un nombre premier. Soit P ∈ K[X], montrer
que P 0 = 0 si et seulement si il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel que P = Q(X p ).
On dénit par récurrence le n-ème polynôme dérivé de P , noté P (n) , par P (0) = P et P (n+1) =
(P (n) )0 . Supposons que K est de caractéristique 0. Montrer que pour tout a ∈ K et r ∈ N, (X − a)r
divise P si et seulement si ∀i ∈ {0, ..., r − 1}, P (i) (a) = 0.
1
. Soit K un corps. On dénit l'anneau des polynômes à deux
sur K , noté K[X, Y ], comme K[X][Y
est combinaison linéaire de monômes
P ]. Un tel polynôme
de la forme X i Y j . Si on a un tel P =
λi,j X i Y j , on a une fonction polynômiale associée P̃
Exercice 4. Polynômes à plusieurs variables
variables
0≤i≤n,0≤j≤m
K 2 −→
(a, b) 7−→
P̃ (a, b) =
K
P
λi,j ai bj
0≤i≤n,0≤j≤m
On notera abusivement P (a, b) au lieu de P̃ (a, b). Si P (a, b) = 0, on dit que (a, b) est une
a.
b.
c.
On suppose K inni. Donner un polynôme non-nul de K[X, Y ] admettant une innité de racines
dans K 2 .
Si K est inni, montrer que P̃ est la fonction nulle si et seulement si P est le polynôme nul. (On
pourra utiliser le fait qu'un polynôme en une variable sur un corps inni est nul si et seulement si
la fonction polynomiale associée est nulle.) Est-ce vrai si K est ni ?
a.
Existe-t-il un polynôme P ∈ R(X) tel que P 2 = (X − 1)3 ?
Existe-t-il une fraction rationnelle F ∈ R(X) telle que F 2 = (X − 1)3 ?
Exercice 6.
a.
suivantes :
Décomposer en éléments simples dans C(X), puis dans R(X), les fractions rationnelles
(a)
1
(X 2 + 1)(X 2 − 1)
(b)
X7 + 1
(X 2 + 1)(X 2 + X + 1)
(c)
b.
b.
b.
c.
Pour p un nombre premier, on note Fp le corps à p éléments Z/pZ .
Soit P un polynôme de degré 2 ou 3 sur un corps quelconque, montrer que P est irréductible si et
seulement si il n'a pas de racine. En déduire tous les polynômes irréductibles unitaires de degré 2
de F2 [X] et de F3 [X].
En déduire tous les polynômes irréductibles unitaires de degré 4 sur F2 .
Exercice 8.
a.
X3 + X
(X 2 + X + 1)2
Soit P ∈ C[X], décomposer en éléments simples la fraction rationnelle P 0 /P dans C(X).
Exercice 7.
a.
de P .
K[X, Y ] est-il principal ?
Exercice 5.
b.
racine
On admet qu'il existe un corps de cardinal 4, qu'on note K .
Montrer que K est de caractéristique 2.
Soit j un élément de K qui n'est ni 0, ni 1. Montrer que j 3 = 1 (on pourra utiliser le fait que K ∗ est
un groupe pour la multiplication). En déduire que j 2 + j + 1 = 0, puis que K = {0, 1, j, j + 1 = j 2 }.
Les polynômes suivants sont-ils irréductibles dans K[X] ?
(a) X 2 + X + 1
2
(b) X 2 + X + j
(c) X 2 + X + j 2
d.
Trouver la décomposition en facteurs irréductibles dans K[X] des polynômes suivants :
(a) X 4 + X
(b) X 4 + jX 3 + j 2 X 2 + j 2 X + j 2
(c) X 4 + X + 1
3