02 Permutations

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Chapitre 2 : Permutations
Dans ce chapitre, ndésigne un entier naturel non nul.
IGénéralités
Snest le groupe des permutations sur J1, nK, muni de la loi ˝.
Notation :
‚Le neutre est noté Id ou 1Sn.
‚σ˝σ1est noté σσ1(attention, non commutatif)
‚Le symétrique de σest noté σ´1.
Soit σPSn. Alors :
‚Soit AĂ t1, . . . nu. Alors :
Aest stable par σðñ
déf σ(A)ĂA
ðñ σ(A) = A
(2.1)
La deuxième équivalence se justie par le fait que σest bijective et Aest nie donc σ(A)et Aont
même cardinal.
‚Soit iPJ1, nK. On dit que σxe i, ou que iest invariant par σ, ou encore que iest un point xe
de σlorsque σ(i) = i.
‚Le support de σest tiPJ1, nK, σ(i)‰iu
Proposition :
Soit σPSn,Ale support de σ. Alors Aest stable par σet on peut identier σà une permutation sur
Aou n’importe quelle partie Btelle que AĂBĂ t1, . . . nu.
Démonstration :
Soit iPA. Montrons qu’alors σ(i)PA, c’est-à-dire que σ(σ(i)) ‰σ(i). Supposons que σ(σ(i)) = σ(i).
Alors σ´1(σ(σ(i))) = σ´1(σ(i)), soit σ(i) = i, ce qui est impossible car iPA. Donc Aest stable par σ.
Ainsi, σ|Adénit une bijection de Adans A. On peut donc considérer que σ|APS(A)(ensemble des
permutations sur A).
Exemple :
σ=
1234567
4231567
(2.2)
Alors σPS7, mais on peut considérer que σPS4ou même S(t1,4u).
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1 Ismaël Bouya

II. TRANSPOSITIONS ET AUTRES CYCLES CHAPITRE 2. PERMUTATIONS
II Transpositions et autres cycles
A) Transposition
Dénition :
Soient i, j PJ1, nK, distincts. La transposition sur iet j, notée τi,j ou (i, j)est la permutation τdénie
par
$
’
’
&
’
’
%
τ(i) = j
τ(j) = i
@kPJ1, nKti, ju, τ(k) = k
(2.3)
Proposition :
Soit τ= (i, j)une transposition. Alors le support de τest ti, ju, et τ´1=τ, c’est-à-dire que τ˝τ=Id
ou que τest d’ordre 2.
B) Cycles
Dénition :
Soit pě2. Un cycle de longueur pest une permutation σtelle qu’il existe a1, a2, . . . apPJ1, nK, distincts
deux à deux, de sorte que :
σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, σ(a3) = a4, . . . σ(ap) = a1.(2.4)
Et @kPJ1, nKzta1, a2, . . . apu, σ(k) = k.
Proposition :
Si σest un cycle de longueur palors le support de σest de cardinal pet σest d’ordre p. On note, s’il
n’y a pas d’ambiguïté, σ= (a1, a2, a3. . . ap).
Théorème (admis) :
Toute permutation s’écrit comme un produit de cycles de supports disjoints.
Proposition :
Deux permutations de supports disjoints commutent.
Démonstration :
Soit σde support I,σ1de support J. On suppose que IXJ=H(c’est-à-dire que les supports sont
disjoints). Montrons alors que σ˝σ1=σ1˝σ.
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CHAPITRE 2. PERMUTATIONSIII. DÉCOMPOSITION D’UNE PERMUTATION EN TRANSPOSITIONS, SIGNATURE
Soit kPJ1, nK.
Si kPI, alors σ˝σ1(k) = σ(k)(car σ1(k) = kpuisque kRJ). Et σ1˝σ(k) = σ(k)car σ(k)PI, donc
σ(k)RJ. Donc σ˝σ1(k) = σ1˝σ(k).
On fait le même raisonnement si kPJ.
Si kRIYJ, alors σ˝σ1(k) = σ1˝σ(k) = k. Donc σ˝σ1=σ1˝σ.
III Décomposition d’une permutation en transpositions, signature
Théorème :
Toute permutation σPSnse décompose en produit de transpositions. On dit que Snest engendré par
les transpositions.
Démonstration :
Montrons par récurrence que @nPN˚,@σPSn,« σse décompose en produit de transpositions ». (on
note P(n) = «@σPSn, . . . »).
Pour n= 1,S1=tIdu, ok.
Pour n= 2,S2=tId, τ1,2u, Id =τ1,2˝τ1,2et τ1,2=τ1,2.
Soit ně3, supposons P(n´1). Soit σPSn.
Si σ(n) = n,σpeut être vue comme un élément de Sn´1. Donc σse décompose en produit de transpo-
sitions sur J1, n ´1K.
Sinon, σ(n) = k, où kPJ1, n ´1K. Notons alors τ= (k, n). Alors τ˝σ(n) = n, donc τ˝σs’écrit comme
produit de transpositions, à savoir :
τ˝σ=τ1˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝ τp(2.5)
Donc σ=τ˝τ˝σ=τ˝τ1˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝ τp, ce qui achève la récurrence.
Exemple :
Avec la méthode :
σ=
123456789
286591743
,
(3,9) ˝σ=
123456789
286531749
,
(8,4) ˝(3,9) ˝σ=
123456789
246531789
. . .
(1,2) ˝(3,1) ˝(4,3) ˝(5,3) ˝(6,1) ˝(8,4) ˝(3,9) ˝σ=Id
(2.6)
Donc σ= (3,9) ˝(8,4) ˝(6,1) ˝(5,3) ˝(4,3) ˝(3,1) ˝(1,2).
Décomposition d’un cycle :
(1,2,3,4,5,6,7) = (1,7)(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2) = (1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7) (2.7)
Plus généralement :
(a1, a2, . . . ap) = (a1, ap)(a1, ap´1) . . . (a1, a2) = (a1, a2)(a2, a3). . . (ap´1, ap)(2.8)
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III. DÉCOMPOSITION D’UNE PERMUTATION EN TRANSPOSITIONS, SIGNATURECHAPITRE 2. PERMUTATIONS
Théorème, dénition (admis) :
Il n’y a pas unicité de la décomposition d’une permutation σen produit de transpositions (évident),
mais la parité du nombre de transpositions ne dépend que de σ.
Par dénition, la signature de σ, notée ε(σ)est 1si ce nombre est pair, ´1sinon.
Proposition :
L’application ε:SnÝÑ t´1; 1u
σÞÝÑ ε(σ)
est un morphisme de (Sn,˝)dans (t´1; 1u,ˆ).
Démonstration :
Soient σ, σ1décomposées respectivement en pet qtranspositions. Alors σ˝σ1se décompose en p+q
transpositions. Donc ε(σ˝σ1) = (´1)p+q= (´1)p(´1)q=ε(σ)ˆε(σ1).
Le noyau de εest An=tσPSn, ε(σ) = 1u, qui est un sous-groupe de Sn. On l’appelle le groupe alterné
sur néléments ; on a card(An) = n!
2.
Démonstration :
En eet, Sn=AnY(SnzAn). Donc card(An) + card(SnzAn) = card(Sn) = n!. De plus, l’application
φ:σÞÑ τ˝σ(où τest une transposition xée) est bijective (d’inverse elle-même), et φ(An) = SnzAn.
Donc card(An) = card(SnzAn), d’où le résultat.
Exemple (important) :
Un cycle de longueur pest de signature (´1)p´1.
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