Espaces probabilisés finis

Chapitre 15
Espaces probabilisés finis
Les but de ce chapitre sont :
– connaître les définitions et les propriétés des espaces probabilisés,
– savoir décrire l’univers associé à une expérience aléatoire,
– savoir reconnaître quand utiliser la probabilité uniforme, et savoir comment
l’utiliser,
– savoir utiliser la formule de Poincaré,
– connaître la définition de la probabilité conditionnelle,
– connaître la formule des probabilités composées,
– connaître la formule des probabilités totales,
– connaître la formule de Bayes,
– avoir compris la notion d’indépendance d’événements.
Les probabilités demandent d’être capable de traduire un énoncé écrit dans le lan-
gage courant dans la théorie mathématiques. On doit par exemple être capable
de repérer l’indépendance d’événement ou l’univers associé à une expérience aléa-
toire.
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I Introduction
I.1 Expérience et événement aléatoire
Les probabilités modélisent de manière théorique les phénomènes aléatoires.
Définition 1. On dit qu’une expérience est aléatoire si on peut la répéter dans les mêmes conditions,
mais sans pouvoir prévoir le résultat. On note Ωet on appelle univers l’ensemble des résultats
possibles. Dans une expérience aléatoire, cet ensemble est toujours connu. Les éléments de Ωsont les
éventualités, et les sous-ensembles de Ωsont appelés événements.
Le but de la théorie des probabilités est de mesurer le poids des événements, qui modélisent
les issues possibles de l’expérience aléatoire. Pour ces problèmes il est important de bien modéliser
1

CHAPITRE 15. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 2
l’univers, qui est l’ensemble des événements possibles. Un exercice de probabilité commencent ainsi
toujours par une réflexion sur l’ensemble Ω.
Exemple:
– Lancer de dès, Ω est alors {1,2,3,4,5,6}, un exemple d’évenement est alors « sortir un nombre
pair »
– Lance trois fois une pièce , Ω = {P, F }3, en exemple d’évenement est par exemple « obtenir au
moins une fois pile »,
– Tirage dans une urne, tirage de carte, etc.
– Durée de vie d’une ampoule, Ω = R+et un exemple d’évenement est par exemple : « la durée
de vie est supérieure à 100h »
Dans le programme de BCPST , on se restreint au cas où l’univers Ωest fini en première année.
Dans la suite du chapitre Ω est donc un ensemble fini non vide. C’est le cas le plus simple, où
toutes les définitions sont directes.
Les cas principaux d’univers que l’on rencontrera sont :
– un ensemble fini décrits par la liste de ses éléments,
– un ensemble de p-uplets,
– un ensemble de combinaisons à péléments parmi n,
– un ensemble d’arrangements,
– un ensemble de permutations.
Exemple: Voici un exemple qui synthétise tous ces cas : On tire des boules numérotées de 1 à 8
dans une urne.
– Si on tire une seule boule alors l’univers est [[1,8]], son cardinal est 8.
– Si on tire 4 boules successivement avec remise, alors l’univers correspond au 4-uplets de [[1,8]],
i.e. [[1,8]]4et son cardinal est 84.
– Si on tire 4 boules successivement sans remise, alors l’univers correspond au 4-arrangements de
[[1,8]], et est donc de cardinal A4
8.
– Si on tire 4 boules simultanément, alors l’univers correspond au 4-combinaisons de [[1,8]], et est
donc de cardinal C4
8.
– Si on tire les 8 boules une à une, alors l’univers correspond aux permutations de [[1,8]] et est
donc de cardinal 8!.
Attention à ne pas confondre l’univers Ω et son cardinal.
La rédaction doit faire apparaître une description de Ω puis son cardinal. Par exemple : on identifie
les rangements avec les fonctions de [[1, n]] dans [[1, p]], il y a donc pnrangements possible.
Définition 2. Quelques autres définitions sur les événements :
–∅est l’événement impossible, tandis que Ωest l’événement certain,
– Deux évènements sont disjoints ou incompatibles si A∩B=∅
– Un singleton {a}est appelé événement élémentaire, les événements élémentaires sont in-
compatibles,
– On peut définir l’événement contraire ¯ A,
– De même, la réunion et l’intersection d’événement, via les opérations sur les ensembles. Cela
correspond au « et » et au « ou ».

CHAPITRE 15. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 3
– Si Aet Bsont deux événements, on dit que Aimplique B, si A⊂B.
Les événements en tant que partie de Ω modélise les éléments qui satisfont certaines conditions :
Exemple: On tire un dé et on s’intéresse aux événements :
– « obtenir 2 », événement élémentaire qui correspond à l’ensemble {2}.
– « obtenir un nombre pair » et « obtenir 3 ou 6 » qui sont deux événements incompatibles.
Bien entendu, la réunion d’événement représente le « ou », tandis que l’intersection d’événement le
«et ».
Enfin, il arrive que l’on ne puisse pas donner précisément Ω, mais simplement un ensemble Eplus
grand tel que Ω ⊂E.
Exemple: VAR hypergéométrique.
I.2 Système complet d’événements
Définition 3. Soit Ωun univers, on appelle systèmes complets d’événements de Ωtoute famille
d’événements (A1,...,Am), avec m∈N, vérifiant :
–∀(i, j)∈[[1, m]] , i 6=j⇔Ai∩Aj=∅,i.e. ces ensembles sont deux à deux disjoints.
–
m
[
i=1
Ai= Ω.
On peut aussi définir un système complet d’événements dans le cas où la famille est infinie (indexée
sur tous les entiers, ou sur des réels par exemple).
Ce qu’il faut comprendre de cette définition est que le systèmes complets d’événements est une
liste d’événements semblable à une partition 1.
Exemple: Les système complets d’événements les plus simple sont :
– si Aest un événement, Aet Aforment un système complet d’événement, cela signifie que deux
cas sont possibles : Aa lieu ou pas.
– si Ω = {e1, e2,...,en}, alors les événements élémentaires {ei}i∈[[1,n]] forment un système complet
d’événements. Il y a donc ncas possibles.
Les systèmes complets d’événements permettent de découper l’univers Ω en différents parties qui
correspondront à différents cas.
Exemple: Un dé et 6 urne : on lance le dé puis on tire dans l’urne correspondante.
I.3 Espace probabilisés fini
Définition 4. Soit Ωun ensemble de résultats possibles i.e. un univers. On appelle probabilité sur Ω
une application p:P(Ω) →[0,1], telle que :
–p(∅) = 0,p(Ω) = 1,
– si Aet Bsont disjoints, p(A∪B) = p(A) + p(B).
Le triplet (Ω, P (Ω), p)est appellé espace probabilisé, ici fini car Ωest fini.
Une probabilité permet ainsi de « mesurer » les événements, en leur donnant un poids donné par
p(A). C’est donc une fonction de l’ensemble des parties de Ω dans [0,1].
1. La différence avec une partition est que certains événements peuvent être vide, ce qui n’est pas le cas dans une
partition.

CHAPITRE 15. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 4
Proposition 1. Soit (Ω, P (Ω), p)un espace probabilisé, et Aun événement :
–p(¯ A) = 1 −p(A),
–06p(A)61,
– Si A⊂B, p(A)6p(B).
–p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B), en particulier p(A∪B)6p(A) + p(B),
– pour une famille d’événements deux à deux incompatibles, on a :
p(A1∪. . . An) =
n
X
k=1
p(Ak)
– la formule de Poincaré est admise :
p(A1∪A2· · · ∪ An) =
n
X
k=1 X
16i1<i2<i3···<ik6n
(−1)k+1p(Ai1∩Ai2· · · ∩ Aik)
Démonstration. – Pour la première égalité, on a : p(Ω) = 1 = p(A) + p(A).
– La deuxième provient directement de la définition (une probabilité pest valeurs dans [0,1]).
– La troisième provient de p(B) = p(B∩A) + p(B∩A)>p(B∩A) = p(A).
Enfin, on a : A∪B=A∪(B\A), ces dernière réunion étant disjointe. D’où : p(A∪B) =
p(A)+p(B\A). Puis B= (B∩A)∪(B\A), cette dernière réunion étant disjointe, d’où p(B) =
p(B∩A)+p(B\A). Soit en remettant dans l’égalité ci-dessus : p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B).
– La propriété suivante s’obtient facilement par récurrence.
– Pour la formule de Poincaré, elle est admise. Elle peut-être facilement déduite de la formule du
crible dans le cas de la probabilité uniforme, dans le cas général cela se démontre par récurrence
en utilisant : p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B).
En ce qui concerne la formule de Poincaré, il faut, comme la formule du Crible, savoir l’appliquer
à des petites valeurs de net connaître la formule générale.
Définition 5. Soit (Ω, P (Ω), p)un espace probabilisé. Un évenement Anon vide est dit négligeable
ou quasi-impossible, si p(A) = 0. Au contraire, on dit que Aest presque certain si p(A) = 1.
Note: On rencontrera rarement des événements négligeables. En effet, si la probabilité d’un événement
est nul c’est qu’il n ’est pas dans l’univers Ω. Ces définitions serviront donc plus dans le cadre des probabilités
sur des ensembles infinis.
Notation VAR
I.4 Construction d’espaces probabilisés finis
La théorème suivant dit deux choses :
– une probabilité sur un ensemble fini est entièrement déterminée par la probabilité des événe-
ments élémentaires,
– on peut construire une probabilité sur Ω en se donnant nréels de somme 1.

CHAPITRE 15. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 5
Théorème 6. Soit Ω = {w1,...wn}un ensemble fini de cardinal n∈N∗. On considère nnombres
réels p1, p2,...pn, tels que :
∀i∈[[1, n]] , pi>0et
n
X
i=1
pi= 1.
Alors il existe une unique probabilité pdéfinie sur P(Ω), telle que ∀i∈[[1, n]] , p({wi}) = pi. Elle
est définie pour tout événement Apar :
p(A) = X
{i|wi∈A}
pi
La réciproque est vraie : si pest une probabilité et si on définit pipar ∀i∈[[1, n]] , p({wi}) = pi, alors
les pisont positifs et de somme égale à 1.
Démonstration. Démontrons tout d’abords l’unicité : Soit pet qdeux probabilités sur Ω telle que
∀i∈[[1, n]] , p({wi}) = q({wi}) = pi.
Soit A∈P(E), alors Aest l’union disjointe de ces éléments, i.e. des {wi∈A}, on a :
p(A) = X
{i|wi∈A}
pi=q(A).
Ainsi, pest unique.
Au passage, si pvérifie ∀i∈[[1, n]] , p({wi}) = pi, alors forcément la valeur de p(A) est donné dans
le théorème.
Montrons maintenant que pest une probabilité :
– On a clairement, p(∅) = 0, et p(Ω) = Pipi= 1.
– Si A∈P(E), on a :
06X
{i|wi∈A}
pi6X
{i|wi∈A}
pi+X
{i|wi/∈A}
pi= 1,
ainsi pest à valeurs dans [0,1].
– Si Aet Bsont deux parties de Ω, disjointes, on a :
p(A∪B) = X
{i|wi∈A∪B}
pi=X
{i|wi∈A}
pi+X
{i|wi∈B}
pi=p(A) + p(B)
Ainsi pest une probabilité.
Réciproquement si pest une probabilité alors les pisont clairement positifs, et leur somme fait
p(Ω), c’est-à-dire 1.
Application pratique : lorsque la probabilité dépends d’un paramètre on utilise Pipi= 1.
Application 1 On lance un dé pipé telle que la probabilité d’obtenir la face iest égale à λi, pour
un certains λ∈R,i.e. la probabilité d’une face est proportionnelle au chiffre de cette face.
– Quel est la valeur de λ?
– Déterminer la probabilité d’obtenir un chiffre pair.