1 Echauffement - Les pages perso du Crans

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no 1 – Topologie & espaces métriques.
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Echauffement
Exercice 1:
Soit X un espace topologique, A 6= ∅ une partie de X. Dire si les propriétés suivantes sont vraies.
Si elles sont fausses donner des contre-exemples et, éventuellement, des conditions supplémentaires pour
qu’elles soient vraies :
1. Si B ⊂ A est ouvert dans A pour la topologie induite sur A, B est aussi ouvert dans X.
2. Si B ⊂ A est ouvert dans X, B est aussi ouvert dans A.
3. Si B ⊂ A est fermé dans A, B est aussi fermé dans X.
4. Si B ⊂ A est fermé dans X, B est aussi fermé dans A.
5. Si X est un espace métrique complet, A est complet.
6. Il existe une fonction f : Q → N non constante, continue (topologie usuelle pour Q, discrète pour
N).
Exercice 2:
Soit X un ensemble ayant plus d’un élément. On pose ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 1 si x 6= y, et d(x, x) = 0.
1. Montrer que (X, d) est un espace métrique. Quels sont les ouverts et les fermés de X ?
2. Quelle est la boule ouverte centrée en x0 ∈ X et de rayon 1 ? La boule fermée ? L’adhérence de la
boule ouverte ?
3. Quelles sont les suites convergentes ? Les suites de Cauchy ? Est-ce un espace complet ?
Exercice 3:
Soient (X, d1 ) et (X, d2 ) deux espaces métriques ayant le même ensemble de base.
1. On suppose que les deux distances sont fortement équivalentes, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes
β ≥ α > 0 telles que αd1 ≤ d2 ≤ βd1 . Montrer qu’elles sont alors uniformément équivalentes, c’està-dire qu’elles induisent la même topologie et que toute suite de Cauchy de (X, d1 ) est aussi une
suite de Cauchy de (X, d2 ) et réciproquement.
2. On suppose que les distances sont topologiquement équivalentes (elles induisent la même topologie).
Montrer par un contre-exemple qu’une suite de Cauchy pour d2 n’est pas forcément une suite de
Cauchy pour d1 ; en particulier, il se peut que (X, d1 ) soit complet et que (X, d2 ) ne le soit pas.
(On pourra considérer R, avec d1 la distance usuelle et d2 (x, y) = | arctan x − arctan y|.)
3. Que peut-on dire lorsque d2 = f (d1 ), où f est une fonction strictement croissante de R+ dans
lui-même, continue en 0 et telle que f (0) = 0 et f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ?
Exercice 4:
Soit A une partie non vide d’un espace métrique (X, d). Démontrer que l’application x 7→ d(x, A)
est 1-lipschitzienne. Démontrer que Ā est l’ensemble des points x de X tels que d(x, A) = 0.
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Un exemple de topologie non métrisable
On dit qu’un espace topologique (X, O) est métrisable lorsqu’il est homéomorphe à un espace métrique.
Cela revient à dire qu’il existe sur X une distance dont la topologie induite est précisément O. Un espace
topologique métrisable est donc automatiquement séparé ce qui nous fournit déjà plusieurs exemples de
topologies non métrisables (R muni de la topologie grossière par exemple).
Intéressons nous maintenant à un exemple classique de topologie non métrisable (moins pathologique que
la topologie grossière). Soient a < b ∈ R, la topologie de la convergence simple sur F ([a, b], C) (l’ensemble
des fonctions du segment [a, b] dans C) est la topologie engendrée par les ensembles
ε
Uz,x
= {g ∈ F ([a, b], C) : |g(x) − z| < ε},
où z,x et ε parcourent respectivement C, [a, b] et R∗+ . La non métrisabilité de cette topologie peut s’obtenir par (au moins) deux méthodes que nous exposons ici.
Exercice 1: Préliminaire
1. Vérifier que la topologie de la convergence simple sur F ([a, b], C) est séparée.
Remarque : Attention, si on remplace C par un espace topologique non séparé, ce n’est plus le cas !
2. Vérifier qu’une suite de fonction (fn )n ∈ F ([a, b], R) converge simplement vers une fonction g sur
[a, b] si et seulement si elle converge au sens de la topologie de la convergence simple.
Exercice 2: Une partie dense non séquentiellement dense
Dans la suite on appellera fonction simple tout élément de F ([a, b], C) nul en dehors d’un nombre
fini de points de [0, 1].
1. Vérifier que l’ensemble des fonctions simples est dense dans F ([a, b], C) pour la topologie de la
convergence simple.
2. Montrer que la fonction constante égale à 1 n’est pas limite simple de fonctions simples.
3. En déduire que la topologie de la convergence simple sur F ([a, b], C) n’est pas métrisable.
Exercice 3: Un compact non séquentiellement compact
On note U le cercle unité du plan complexe.
1. Vérifier que U[0,2π] muni de la topologie produit est homéomorphe à un sous-ensemble de F ([0, 2π], C)
muni de la topologie de la convergence simple.
2. Pour tout n ∈ N, notons en la fonction définie sur [0, 2π] par x 7→ einx . Montrer que si la suite
(en )n∈N admet une sous-suite simplement convergente sur [0, 2π], alors cette sous-suite est également
convergente dans L2 ([0, 2π]).
√
3. Montrer que les termes de la suite (en )n∈N sont tous distants deux à deux de 2 π dans L2 ([0, 2π])
et en déduire que la topologie de la convergence simple sur F ([0, 2π], C) n’est pas métrisable.
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Topologie et dénombrabilité
Exercice 1: Théorème de Cantor-Bendixson
Un peu de vocabulaire. Soit X un espace topologique séparé et A une partie de X. Un point a ∈ A
est dit isolé dans A si il possède un voisinage ne contenant aucun autre point de A. Un point x ∈ X
est un point d’accumulation de A si tout voisinage de x contient un élément de A autre que x lui-même.
Noter que les points d’accumulation de A n’appartiennent pas nécessairement à A. L’ensemble des points
d’accumulation de A est l’ensemble dérivé de A, on le note A′ . Un ensemble A égal à son ensemble dérivé
est dit parfait.
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1. Vérifier que (A fermé) ⇔ (A′ ⊂ A). Un ensemble parfait est donc un ensemble fermé, sans point
isolé.
2. On suppose que X admet une base dénombrable d’ouverts. On considère
P := {x ∈ X : tout voisinage de x est indénombrable}.
Montrer que X − P est dénombrable et en déduire que P est parfait. Au final on a montré que
tout tout espace topologique à base dénombrable d’ouverts s’écrit comme la réunion disjointe d’un
ensemble parfait (i.e. fermé, sans point isolé) et d’un ensemble dénombrable : c’est le théorème de
Cantor-Bendixson.
Exercice 2:
1. Montrer qu’un espace métrique complet parfait est indénombrable. Le résultat persiste-t-il sans
l’hypothèse de complétude ?
2. Montrer qu’un espace métrique connexe (non réduit à un point) est indénombrable.
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Compacité
Exercice 1:
1. On considère R − {1} muni de la topologie induite par celle de R. [0, 1[ est-il fermé pour cette
topologie ? Compact ?
2. Soit X un espace topologique compact. Que dire d’une suite (un )n ∈ X N possédant au plus une
valeur d’adhérence ?
3. Montrer qu’un espace métrique compact est séparable.
4. Montrer qu’un espace métrique compact est complet. Réciproque ?
5. Montrer que dans un espace métrique si une partie compacte est disjointe d’une partie fermée alors
elles sont à distance strictement positive. Est-ce toujours vrai avec deux parties fermées ?
6. Montrer qu’un segment de R n’est homéomorphe a aucun intervalle ouvert de R.
7. Soit K un espace topologique compact et X un espace topologique séparé. Montrer qu’une bijection
continue f : K → X est un homéomorphisme. En déduire qu’une surjection continue de [0, 1] sur
[0, 1] × [0, 1] (courbe de Peano par exemple) ne peut pas être injective.
8. Soit E un espace topologique séparé et (xn )n∈N ∈ E N une suite convergeant vers a ∈ E. Montrer
que {xn | n ∈ N} ∪ {a} est compact.
Exercice 2:
Soit (K, d) un espace métrique compact et f : K → K une application « écartante » :
∀x, y ∈ K,
d(f (x), f (y)) ≥ d(x, y).
1. Soit a, b ∈ K. Montrer qu’il existe une sous-suite strictement croissante (nk )k∈N d’entiers telle que
les suites (f nk (a))k∈N et (f nk (b))k∈N convergent.
2. Montrer que (f nk+1 −nk (a))k∈N et (f nk+1 −nk (a))k∈N convergent respectivement vers a et b et en
déduire que f (K) est dense dans K.
3. Montrer que f est surjective et isométrique.
Exercice 3:
Soit [a, b] muni de la distance d(x, y) = |x − y|. Le but de cet exercice est de démontrer que cet
S
espace topologique est compact, par la propriété de Borel-Lebesgue. Soit donc [a, b] ⊂ Ω = i∈I Ui un
recouvrement de notre intervalle par des ouverts.
On pose M := {x ∈ [a, b] : [a, x] admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω}
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1. Montrer que M est un intervalle non vide puis qu’il admet une borne supérieure : c.
2. Montrer que M ne peut être de la forme [a, c[.
3. Montrer que c = b.
Exercice 4: Idéaux maximaux de C 0 (K, R)
Soit K un espace topologique compact et C 0 (K, R) l’algèbre des fonctions continues sur K à valeurs
réelles.
1. Soit I un idéal propre de C 0 (K, R). Expliquer pourquoi tout élément de I doit s’annuler en au
moins un point de K.
2. Montrer qu’il existe x ∈ K tel que f (x) = 0 pour tout f ∈ I.
3. En déduire les idéaux maximaux de C 0 (K, R) et les morphismes d’algèbre de C 0 (K, R) dans R.
Exercice 5: Points fixes
1. Soit E un espace vectoriel normé et C ⊂ E un convexe, compact. Montrer que tout application
1-lipschitzienne de C dans lui-même admet un point fixe.
n
1
z + n+1
f (x).
Indication : Considérer pour z ∈ C fixé, fn (x) := n+1
2. Soit (X, d) un espace métrique compact et f : X → X telle que d(f (x), f (y)) < d(x, y) pour x 6= y.
(a) Expliquer pourquoi le théorème de point fixe de Picard ne s’applique pas.
(b) Montrer cependant que f admet un unique point fixe a ∈ X.
(c) Montrer que la suite des itérées de f converge simplement vers la fonction constante égale à a.
(d) Que dire dans le cas de l’inégalité large d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) (les autres hypothèses étant
vérifiées par ailleurs) ?
Indication : Considérer x 7→ −x sur un compact de R bien choisi.
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Complétude
Exercice 1: Complété d’un espace métrique
Soit (M, d) un espace métrique. Notons C l’ensemble des suites de Cauchy de M .
1. On considère la relation binaire R sur C suivante : si u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N sont deux
éléments de C ,
u R v ⇔ lim d(un , vn ) = 0 .
n→∞
Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Montrer que pour tout couple (u, v) ∈ C 2 , la suite (d(un , vn ))n∈N est de Cauchy dans R. On note
δ l’application ainsi définie sur C 2 et à valeurs dans R+ , par δ(u, v) := lim d(un , vn ).
n→∞
3. Montrer que δ vérifie tous les axiomes d’une distance, hors mis la séparation.
4. On pose M̃ := C /R (ensemble des classes d’équivalences de C selon la relation R). Pour u ∈ C ,
on note Cu ∈ M̃ sa classe d’équivalence. Vérifier que la formule δ̃(Cu , Cv ) := δ(u, v) définit sans
ambiguïté une distance δ̃ sur M̃ .
5. Montrer que (M, d) s’injecte isométriquement dans (M̃ , δ̃) et que son image est une partie dense.
Montrer que (M̃ , δ̃) est complet.
Exercice 2: Prolongement des applications uniformément continues et application
1. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A
une partie dense de E et f : A → F une application uniformément continue. Montrer l’existence
d’une unique application continue g prolongeant f à E tout entier, g étant de plus uniformément
continue.
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2. Pour tout n ∈ N∗ , on considère la série harmonique tronquée Hn :=
n
X
1
.
k
k=1
(a) Montrer que pour tout p ∈ N∗ , la suite (Hnp − Hn )n∈N∗ est croissante et admet une limite
(dans R+ ), que l’on notera λ(p). Montrer que λ est croissante sur N∗ , λ(1) = 0 et que pour
p, q ∈ N∗ , λ(pq) = λ(p) + λ(q).
(b) Pour p, q ∈ N∗ on pose λ(p/q) := λ(p) − λ(q). Montrer que l’on prolongement bien de cette
manière λ à Q∗+ , sans ambiguïté. Montrer que λ est alors croissante sur Q∗+ , vérifie toujours
l’équation fonctionnelle de la question précédente, et de plus les estimations
r
≤ λ(1 + r) ≤ r,
∀r ∈ Q∗+ ,
1+r
s
≤ λ(1 − s) ≤ −s.
∀s ∈ Q∗+ ∩]0, 1[, −
1−s
(c) Montrer que pour tout 0 < ε < R, λ est uniformément continue sur [ε, R] et en déduire qu’elle
se prolonge alors sur R∗+ tout entier en une fonction (notée ln) continue sur R∗+ , croissante
et vérifiant la même équation fonctionnelle. Vérifier que la fonction ln est dérivable et que sa
dérivée est bien 1/x.
Exercice 3: Théorème de Cantor
Montrer que pour un espace métrique (X, d) la complétude équivaut à la propriété suivante : « si
(Fn )n∈N est une suite décroissante de fermés non vides vérifiant lim diam(Fn ) = 0, alors ∩n∈N Fn est un
n→∞
singleton ».
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Baireries
Exercice 1:
1. Montrer qu’un espace vectoriel à base dénombrable n’est complet pour aucune norme.
2. Soit E un espace métrique complet et soit (Fn )n∈N une suite de fermés de E telle que E =
[
Fn .
n∈N
Montrer que
[
F˚n est un ouvert dense de E.
n∈N
Indication : Le complémentaire de la réunion des F˚n est complet.
3. Soit T une application linéaire continue d’un espace de Banach E dans lui-même localement nilpotente est nilpotente.
Remarque : On dit que T ∈ L (E) est localement nilpotente lorsque pour tout x ∈ E il existe nx ∈ N
tel que T nx (x) = 0.
Exercice 2: Une caractérisation de l’exponentielle
Soit f ∈ C ∞ (R) vérifiant f (n) (x) −→ f (x) pour tout x ∈ R.
n→∞
1. Soit I ⊂ R un segment non réduit à un point. On pose Gp := {x ∈ I : |f (p) (x)| ≤ sup |f (t)| + 1} et
t∈I
\
Fn :=
Gp . Montrer que l’un des Fn est d’intérieur non vide.
p≥n
2. En déduire que f ′ et f coïncident sur un ensemble dense puis que f est un multiple de l’exponentielle.
Exercice 3: Points de continuité
Soit (fn )n∈N ∈ C 0 (R, R)N convergeant simplement vers f .
1. f est elle continue ?
2. Soit δ > 0, on pose Fnδ := {x ∈ R : ∀i ≥ n, |fi (x) − fn (x)| ≤ δ}. Vérifier que Uδ :=
[
F˚nδ est un
n∈N
ouvert dense et en déduire que f est continue sur une partie dense de R.
Remarque : On pourra utiliser la question 2. de l’exercice 1.
3. Si g ∈ C 0 (R, R) est dérivable sur R, montrer que sa dérivée est continue sur une partie dense.
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