1 Echauffement - Les pages perso du Crans

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no1 – Topologie & espaces métriques.
1 Echauffement
Exercice 1:
Soit Xun espace topologique, A6=∅une partie de X. Dire si les propriétés suivantes sont vraies.
Si elles sont fausses donner des contre-exemples et, éventuellement, des conditions supplémentaires pour
qu’elles soient vraies :
1. Si B⊂Aest ouvert dans Apour la topologie induite sur A,Best aussi ouvert dans X.
2. Si B⊂Aest ouvert dans X,Best aussi ouvert dans A.
3. Si B⊂Aest fermé dans A,Best aussi fermé dans X.
4. Si B⊂Aest fermé dans X,Best aussi fermé dans A.
5. Si Xest un espace métrique complet, Aest complet.
6. Il existe une fonction f:Q→Nnon constante, continue (topologie usuelle pour Q, discrète pour
N).
Exercice 2:
Soit Xun ensemble ayant plus d’un élément. On pose ∀x, y ∈X,d(x, y) = 1 si x6=y, et d(x, x) = 0.
1. Montrer que (X, d) est un espace métrique. Quels sont les ouverts et les fermés de X?
2. Quelle est la boule ouverte centrée en x0∈Xet de rayon 1 ? La boule fermée ? L’adhérence de la
boule ouverte ?
3. Quelles sont les suites convergentes? Les suites de Cauchy ? Est-ce un espace complet ?
Exercice 3:
Soient (X, d1) et (X, d2) deux espaces métriques ayant le même ensemble de base.
1. On suppose que les deux distances sont fortement équivalentes, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes
β≥α > 0 telles que αd1≤d2≤βd1. Montrer qu’elles sont alors uniformément équivalentes, c’est-
à-dire qu’elles induisent la même topologie et que toute suite de Cauchy de (X, d1) est aussi une
suite de Cauchy de (X, d2) et réciproquement.
2. On suppose que les distances sont topologiquement équivalentes (elles induisent la même topologie).
Montrer par un contre-exemple qu’une suite de Cauchy pour d2n’est pas forcément une suite de
Cauchy pour d1; en particulier, il se peut que (X, d1) soit complet et que (X, d2) ne le soit pas.
(On pourra considérer R, avec d1la distance usuelle et d2(x, y) = |arctan x−arctan y|.)
3. Que peut-on dire lorsque d2=f(d1), où fest une fonction strictement croissante de R+dans
lui-même, continue en 0 et telle que f(0) = 0 et f(x+y)≤f(x) + f(y) ?
Exercice 4:
Soit Aune partie non vide d’un espace métrique (X, d). Démontrer que l’application x7→ d(x, A)
est 1-lipschitzienne. Démontrer que ¯ Aest l’ensemble des points xde Xtels que d(x, A) = 0.
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2 Un exemple de topologie non métrisable
On dit qu’un espace topologique (X, O) est métrisable lorsqu’il est homéomorphe à un espace métrique.
Cela revient à dire qu’il existe sur Xune distance dont la topologie induite est précisément O. Un espace
topologique métrisable est donc automatiquement séparé ce qui nous fournit déjà plusieurs exemples de
topologies non métrisables (Rmuni de la topologie grossière par exemple).
Intéressons nous maintenant à un exemple classique de topologie non métrisable (moins pathologique que
la topologie grossière). Soient a < b ∈R, la topologie de la convergence simple sur F([a, b],C) (l’ensemble
des fonctions du segment [a, b] dans C) est la topologie engendrée par les ensembles
Uε
z,x ={g∈F([a, b],C) : |g(x)−z|< ε},
où z,xet εparcourent respectivement C, [a, b] et R∗
+. La non métrisabilité de cette topologie peut s’ob-
tenir par (au moins) deux méthodes que nous exposons ici.
Exercice 1: Préliminaire
1. Vérifier que la topologie de la convergence simple sur F([a, b],C) est séparée.
Remarque : Attention, si on remplace Cpar un espace topologique non séparé, ce n’est plus le cas !
2. Vérifier qu’une suite de fonction (fn)n∈F([a, b],R) converge simplement vers une fonction gsur
[a, b] si et seulement si elle converge au sens de la topologie de la convergence simple.
Exercice 2: Une partie dense non séquentiellement dense
Dans la suite on appellera fonction simple tout élément de F([a, b],C) nul en dehors d’un nombre
fini de points de [0,1].
1. Vérifier que l’ensemble des fonctions simples est dense dans F([a, b],C) pour la topologie de la
convergence simple.
2. Montrer que la fonction constante égale à 1 n’est pas limite simple de fonctions simples.
3. En déduire que la topologie de la convergence simple sur F([a, b],C) n’est pas métrisable.
Exercice 3: Un compact non séquentiellement compact
On note Ule cercle unité du plan complexe.
1. Vérifier que U[0,2π]muni de la topologie produit est homéomorphe à un sous-ensemble de F([0,2π],C)
muni de la topologie de la convergence simple.
2. Pour tout n∈N, notons enla fonction définie sur [0,2π] par x7→ einx. Montrer que si la suite
(en)n∈Nadmet une sous-suite simplement convergente sur [0,2π], alors cette sous-suite est également
convergente dans L2([0,2π]).
3. Montrer que les termes de la suite (en)n∈Nsont tous distants deux à deux de 2√πdans L2([0,2π])
et en déduire que la topologie de la convergence simple sur F([0,2π],C) n’est pas métrisable.
3 Topologie et dénombrabilité
Exercice 1: Théorème de Cantor-Bendixson
Un peu de vocabulaire. Soit Xun espace topologique séparé et Aune partie de X. Un point a∈A
est dit isolé dans Asi il possède un voisinage ne contenant aucun autre point de A. Un point x∈X
est un point d’accumulation de Asi tout voisinage de xcontient un élément de Aautre que xlui-même.
Noter que les points d’accumulation de An’appartiennent pas nécessairement à A. L’ensemble des points
d’accumulation de Aest l’ensemble dérivé de A, on le note A′. Un ensemble Aégal à son ensemble dérivé
est dit parfait.
2

1. Vérifier que (Afermé) ⇔(A′⊂A). Un ensemble parfait est donc un ensemble fermé, sans point
isolé.
2. On suppose que Xadmet une base dénombrable d’ouverts. On considère
P:= {x∈X: tout voisinage de xest indénombrable}.
Montrer que X−Pest dénombrable et en déduire que Pest parfait. Au final on a montré que
tout tout espace topologique à base dénombrable d’ouverts s’écrit comme la réunion disjointe d’un
ensemble parfait (i.e. fermé, sans point isolé) et d’un ensemble dénombrable : c’est le théorème de
Cantor-Bendixson.
Exercice 2:
1. Montrer qu’un espace métrique complet parfait est indénombrable. Le résultat persiste-t-il sans
l’hypothèse de complétude ?
2. Montrer qu’un espace métrique connexe (non réduit à un point) est indénombrable.
4 Compacité
Exercice 1:
1. On considère R− {1}muni de la topologie induite par celle de R. [0,1[ est-il fermé pour cette
topologie ? Compact ?
2. Soit Xun espace topologique compact. Que dire d’une suite (un)n∈XNpossédant au plus une
valeur d’adhérence ?
3. Montrer qu’un espace métrique compact est séparable.
4. Montrer qu’un espace métrique compact est complet. Réciproque ?
5. Montrer que dans un espace métrique si une partie compacte est disjointe d’une partie fermée alors
elles sont à distance strictement positive. Est-ce toujours vrai avec deux parties fermées ?
6. Montrer qu’un segment de Rn’est homéomorphe a aucun intervalle ouvert de R.
7. Soit Kun espace topologique compact et Xun espace topologique séparé. Montrer qu’une bijection
continue f:K→Xest un homéomorphisme. En déduire qu’une surjection continue de [0,1] sur
[0,1] ×[0,1] (courbe de Peano par exemple) ne peut pas être injective.
8. Soit Eun espace topologique séparé et (xn)n∈N∈ENune suite convergeant vers a∈E. Montrer
que {xn|n∈N} ∪ {a}est compact.
Exercice 2:
Soit (K, d) un espace métrique compact et f:K→Kune application « écartante » :
∀x, y ∈K, d(f(x), f(y)) ≥d(x, y).
1. Soit a, b ∈K. Montrer qu’il existe une sous-suite strictement croissante (nk)k∈Nd’entiers telle que
les suites (fnk(a))k∈Net (fnk(b))k∈Nconvergent.
2. Montrer que (fnk+1−nk(a))k∈Net (fnk+1 −nk(a))k∈Nconvergent respectivement vers aet bet en
déduire que f(K) est dense dans K.
3. Montrer que fest surjective et isométrique.
Exercice 3:
Soit [a, b] muni de la distance d(x, y) = |x−y|. Le but de cet exercice est de démontrer que cet
espace topologique est compact, par la propriété de Borel-Lebesgue. Soit donc [a, b]⊂Ω = Si∈IUiun
recouvrement de notre intervalle par des ouverts.
On pose M:= {x∈[a, b]:[a, x] admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω}
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1. Montrer que Mest un intervalle non vide puis qu’il admet une borne supérieure : c.
2. Montrer que Mne peut être de la forme [a, c[.
3. Montrer que c=b.
Exercice 4: Idéaux maximaux de C0(K, R)
Soit Kun espace topologique compact et C0(K, R) l’algèbre des fonctions continues sur Kà valeurs
réelles.
1. Soit Iun idéal propre de C0(K, R). Expliquer pourquoi tout élément de Idoit s’annuler en au
moins un point de K.
2. Montrer qu’il existe x∈Ktel que f(x) = 0 pour tout f∈I.
3. En déduire les idéaux maximaux de C0(K, R) et les morphismes d’algèbre de C0(K, R) dans R.
Exercice 5: Points fixes
1. Soit Eun espace vectoriel normé et C⊂Eun convexe, compact. Montrer que tout application
1-lipschitzienne de Cdans lui-même admet un point fixe.
Indication : Considérer pour z∈Cfixé, fn(x) := 1
n+1 z+n n+1 f(x).
2. Soit (X, d) un espace métrique compact et f:X→Xtelle que d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour x6=y.
(a) Expliquer pourquoi le théorème de point fixe de Picard ne s’applique pas.
(b) Montrer cependant que fadmet un unique point fixe a∈X.
(c) Montrer que la suite des itérées de fconverge simplement vers la fonction constante égale à a.
(d) Que dire dans le cas de l’inégalité large d(f(x), f(y)) ≤d(x, y) (les autres hypothèses étant
vérifiées par ailleurs) ?
Indication : Considérer x7→ −xsur un compact de Rbien choisi.
5 Complétude
Exercice 1: Complété d’un espace métrique
Soit (M, d) un espace métrique. Notons Cl’ensemble des suites de Cauchy de M.
1. On considère la relation binaire Rsur Csuivante : si u= (un)n∈Net v= (vn)n∈Nsont deux
éléments de C,
uRv⇔lim
n→∞ d(un, vn) = 0.
Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Montrer que pour tout couple (u,v)∈C2, la suite (d(un, vn))n∈Nest de Cauchy dans R. On note
δl’application ainsi définie sur C2et à valeurs dans R+, par δ(u,v) := lim
n→∞ d(un, vn).
3. Montrer que δvérifie tous les axiomes d’une distance, hors mis la séparation.
4. On pose ˜ M:= C/R(ensemble des classes d’équivalences de Cselon la relation R). Pour u∈C,
on note Cu∈˜ Msa classe d’équivalence. Vérifier que la formule ˜ δ(Cu,Cv) := δ(u,v) définit sans
ambiguïté une distance ˜ δsur ˜ M.
5. Montrer que (M, d) s’injecte isométriquement dans ( ˜ M, ˜ δ) et que son image est une partie dense.
Montrer que ( ˜ M, ˜ δ) est complet.
Exercice 2: Prolongement des applications uniformément continues et application
1. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A
une partie dense de Eet f:A→Fune application uniformément continue. Montrer l’existence
d’une unique application continue gprolongeant fàEtout entier, gétant de plus uniformément
continue.
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2. Pour tout n∈N∗, on considère la série harmonique tronquée Hn:=
n
X
k=1
1
k.
(a) Montrer que pour tout p∈N∗, la suite (Hnp −Hn)n∈N∗est croissante et admet une limite
(dans R+), que l’on notera λ(p). Montrer que λest croissante sur N∗,λ(1) = 0 et que pour
p, q ∈N∗,λ(pq) = λ(p) + λ(q).
(b) Pour p, q ∈N∗on pose λ(p/q) := λ(p)−λ(q). Montrer que l’on prolongement bien de cette
manière λàQ∗
+, sans ambiguïté. Montrer que λest alors croissante sur Q∗ +, vérifie toujours
l’équation fonctionnelle de la question précédente, et de plus les estimations
∀r∈Q∗
+,r
1 + r≤λ(1 + r)≤r,
∀s∈Q∗
+∩]0,1[,−s
1−s≤λ(1 −s)≤ −s.
(c) Montrer que pour tout 0 < ε < R,λest uniformément continue sur [ε, R] et en déduire qu’elle
se prolonge alors sur R∗
+tout entier en une fonction (notée ln) continue sur R∗ +, croissante
et vérifiant la même équation fonctionnelle. Vérifier que la fonction ln est dérivable et que sa
dérivée est bien 1/x.
Exercice 3: Théorème de Cantor
Montrer que pour un espace métrique (X, d) la complétude équivaut à la propriété suivante : « si
(Fn)n∈Nest une suite décroissante de fermés non vides vérifiant lim
n→∞ diam(Fn) = 0, alors ∩n∈NFnest un
singleton ».
6 Baireries
Exercice 1:
1. Montrer qu’un espace vectoriel à base dénombrable n’est complet pour aucune norme.
2. Soit Eun espace métrique complet et soit (Fn)n∈Nune suite de fermés de Etelle que E=[
n∈N
Fn.
Montrer que [
n∈N
˚
Fnest un ouvert dense de E.
Indication : Le complémentaire de la réunion des ˚ Fnest complet.
3. Soit Tune application linéaire continue d’un espace de Banach Edans lui-même localement nilpo-
tente est nilpotente.
Remarque : On dit que T∈L(E)est localement nilpotente lorsque pour tout x∈Eil existe nx∈N
tel que Tnx(x) = 0.
Exercice 2: Une caractérisation de l’exponentielle
Soit f∈C∞(R) vérifiant f(n)(x)−→
n→∞ f(x) pour tout x∈R.
1. Soit I⊂Run segment non réduit à un point. On pose Gp:= {x∈I:|f(p)(x)| ≤ sup
t∈I|f(t)|+ 1}et
Fn:= \
p≥n
Gp.Montrer que l’un des Fnest d’intérieur non vide.
2. En déduire que f′et fcoïncident sur un ensemble dense puis que fest un multiple de l’exponentielle.
Exercice 3: Points de continuité
Soit (fn)n∈N∈C0(R,R)Nconvergeant simplement vers f.
1. fest elle continue ?
2. Soit δ > 0, on pose Fδ
n:= {x∈R:∀i≥n, |fi(x)−fn(x)| ≤ δ}. Vérifier que Uδ:= [
n∈N
˚
Fδ
nest un
ouvert dense et en déduire que fest continue sur une partie dense de R.
Remarque : On pourra utiliser la question 2.de l’exercice 1.
3. Si g∈C0(R,R) est dérivable sur R, montrer que sa dérivée est continue sur une partie dense.
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