x trigonométriques rayon

MODULE 7
Les rapports trigonométriques
CORRIGÉ p. 135
Préparation
1. a) c 5
a2 1 b2
b) Vrai, car les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
c) c , c , a 1 b
c
a b
d) a , b , c
c c a 1b
2. L’affirmation est fausse.
Les triangles rectangles ci-dessous ne sont pas semblables, car ils n’ont qu’une paire d’angles homologues isométriques
(leurs angles droits).
b) 6 ou 3
10 5
3. a) 1
CORRIGÉ, p. 136
Activité 1
a) La valeur des rapports dépend de la mesure de l’angle aigu choisie par l’élève. Les différentes valeurs possibles
apparaissent dans le tableau du point d), ci-dessous.
b) et c)
Dans le cas de triangles rectangles ayant la même mesure d’angle aigu, la valeur du rapport 1 est la même, celle du
rapport 2 est la même et celle du rapport 3 est la même. Tous les triangles rectangles ayant le même angle aigu sont
semblables par la propriété des triangles semblables A-A.
d)
MESURE DE L’ANGLE
RAPPORT 1
RAPPORT 2
RAPPORT 3
20°
0,3420
0,9397
0,3640
30°
0,5000
0,8660
0,5774
45°
0,7071
0,7071
1,0000
60°
0,8660
0,5000
1,7321
70°
0,9397
0,3420
2,7475
e) La valeur du rapport (1, 2 ou 3) est en relation avec la mesure de l’angle aigu. Ainsi, si la mesure de l’angle aigu varie,
celle de chacun des rapports variera aussi. De plus, tous les triangles rectangles semblables ont des rapports 1 équivalents,
des rapports 2 équivalents et des rapports 3 équivalents.
CORRIGÉ, p. 137
Activité 2
a) Le sinus d’un angle est associé au rapport 1.
Le cosinus d’un angle est associé au rapport 2.
La tangente d’un angle est associée au rapport 3.
Module 7 • Les rapports trigonométriques
1
CORRIGÉ, p. 137 (suite)
b) Angle dont la valeur du sinus est 0,5.
Puisque le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
mesure du côté opposé à l’angle A
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant un angle aigu de 30°,
mesure de l’hypoténuse
la mesure du côté opposé à cet angle est la moitié de celle de l’hypoténuse.
Angle dont la valeur du cosinus est 0,5.
Puisque le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
mesure du côté adjacent à l’angle A
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant
mesure de l’hypoténuse
un angle aigu de 60°, la mesure du côté adjacent à cet angle est la moitié de celle de l’hypoténuse.
Angle dont la valeur de la tangente est 1.
Puisque la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
mesure du côté opposé à l’angle A
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant un angle aigu
mesure du côté adjacent à l’angle A
de 45°, la mesure du côté opposé à cet angle est égale à celle du côté adjacent à ce même angle aigu.
Par conséquent, ce triangle rectangle est isocèle.
c) Évolution des valeurs du sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure
du côté opposé à l’angle aigu augmente au fur et à mesure que l’angle aigu augmente, s’approchant ainsi de la mesure
de l’hypoténuse. Par conséquent, la valeur du rapport sinus s’approche de 1 au fur et à mesure que l’angle aigu augmente.
La valeur du sinus varie donc dans l’intervalle ]0,1[.
Évolution des valeurs du cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure du côté adjacent à l’angle aigu diminue au fur et à mesure que l’angle aigu
augmente, s’approchant ainsi d’une valeur nulle. Par conséquent, la valeur du rapport cosinus s’approche de 0 au fur et
à mesure que l’angle aigu augmente.
La valeur du cosinus varie donc dans l’intervalle ]0,1[.
Évolution des valeurs de la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure du côté opposé à l’angle aigu augmente et celle du côté adjacent diminue
au fur et à mesure que l’angle aigu augmente. Ainsi, la valeur du rapport tangente augmentera de plus en plus, puisque
le premier terme du rapport a une valeur de plus en plus grande et le second terme, une valeur de plus en plus petite.
Par conséquent, la valeur du rapport tangente est inférieure à 1 lorsque l’angle aigu est plus petit que 45°, égale à 1
lorsque l’angle est de 45° et supérieure à 1 lorsqu’il est plus grand que 45°.
La valeur du rapport tangente varie donc dans l’intervalle ]0, ⫹∞ [.
d) 1) Affirmation vraie.
e) Activité de partage et de validation.
2)
Affirmation vraie.
CORRIGÉ, p. 138
Activité 3
a) Triangle 1:
< 3,92
< 70°
Triangle 2:
1,34
70°
< 20°
3,68
7
Triangle 3:
< 25,54
< 5,36
20°
24
50°
< 4,50
Triangle 4:
7,22
1,35
70°
< 8,74
2
Module 7 • Géométrie
80°
10°
< 7,11
CORRIGÉ, p. 138 (suite)
Triangle 5:
45°
Triangle 6:
65°
< 13,24
5
< 3,54
< 5,60
25°
45°
12
< 3,54
b) Activité de partage et de validation.
c) Les élèves devraient tous et toutes obtenir les mêmes mesures d’angles et de côtés pour chacun des triangles.
Le tableau de valeurs permet de trouver la valeur du sinus, du cosinus ou de la tangente d’un angle, qui servira à trouver
la mesure d’un côté. On peut également utiliser les données du tableau de façon inverse: en connaissant le sinus, le
cosinus ou la tangente d’un angle aigu, on peut déterminer la mesure de cet angle dans le triangle rectangle.
d) m ∠ F ⫽ 80°
m ∠ G ⫽ 30°
m EF 1,39 unité
m DE ⫽ 7,88 unités
m ∠ H ⫽ 60°
m GI 4,21 unités
CORRIGÉ, p. 139 et 140
Activité 4
a) Triangles avec angle de 30° et angle de 60° : les cathètes mesurent 1 unité et 3 unité.
2
2
Triangle avec angle de 45° : chaque cathète mesure 2 unité.
2
b) Voir le schéma ci-contre.
c) Les coordonnées sur l’axe des abscisses
correspondent aux cosinus des angles, et celles
sur l’axe des ordonnées correspondent
aux sinus des angles.
( 21, 23 )
2
2 )
2
(
d), e) et f) Voir le schéma ci-contre.
g) Si le rayon du cercle était de 2 unités, la valeur de
chaque coordonnée doublerait. Si le rayon du cercle
était de 0,5 unité, la valeur de chaque coordonnée
serait divisée par 2. Si le rayon du cercle était de
8 unités, la valeur de chaque coordonnée serait
8 fois plus grande. De façon générale, pour
un rayon de k unités, la valeur de chaque coordonnée
serait multipliée par k.
2
2,
2
(
2
3, 1
2 2
(
2
3, 21
2
2
(
( )
P3 1 , 3
2 2
P2
)
1
)
2
( 22 , 22 )
P ( 3 , 1)
2 2
( 23 , 21)
( 22 , 22 )
(21, 23 )
2
2, 2 2
2
2
)
2
( 21, 23 )
2
2
2
h) Il s’agit d’une homothétie dont le centre est à l’origine du plan et de rapport k.
CORRIGÉ, p. 143
Exercices
1. a)
1)
sin A ⫽ 0,8000
1)
sin A ⫽ 0,3846
2)
cos A ⫽ 0,6000
2)
cos A ⫽ 0,9231
3)
tan A ⫽ 1,3333
3)
tan A ⫽ 0,4167
4)
sin B ⫽ 0,6000
4)
sin B ⫽ 0,9231
5)
cos B ⫽ 0,8000
5)
cos B ⫽ 0,3846
6)
tan B ⫽ 0,7500
6)
tan B ⫽ 2,4000
2. a) m ∠ B ⫽ 50°,
b)
m AC 4,77 cm,
m AB 6,22 cm
m AC 8,16 cm,
m BC 3,80 cm
d) m ∠ A ⫽ 45°,
m AB ⫽ 14 cm,
m ∠ B ⫽ 45°,
m AC 12,12 cm
f) m ∠ A ⫽ 53,13°,
m ∠ B 36,87°,
m AB 3,86 cm,
m AC 3,73 cm
b) 25° et 65°
c) 10° et 80°
b) m ∠ B ⫽ 65°,
c) m ∠ B ⫽ 60°,
e) m ∠ C ⫽ 90°,
3. a) 30° et 60°
m AB 11,31 cm
m AB ⫽ 5 cm
Module 7 • Les rapports trigonométriques
3
CORRIGÉ, p. 144
4. a) x 8,0 unités
c) x 4,7 unités
b) x 17,9 unités
d) x 16,2 unités
5. a) 12,5 cm
d) 10 cm
b) 12 cm
e) 3,46 cm
c) 14 cm
f) 14,14 cm
6. a) Faux.
d) Vrai.
b) Vrai.
e) Vrai.
c) Faux.
7. a) 3
d) 2
b) 1
e) 5
c) 4
CORRIGÉ, p. 145
8. a) m ∠ BAC ⫽ 45°, car le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle et que chacun de ses angles aigus mesure 45°,
soit 90° ⫼ 2 (les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires).
b) m ∠ AC 8,4853 cm
c)
1)
sin 45° 0,7071
9. a) m ∠ A 35°
10. a)
b)
c)
d)
2)
cos 45° 0,7071
b) m ∠ A 46°
c) m ∠ A 56°
⫺1
29
m ∠ A 48°, car tan A ⫽ , m ∠ A tan 1,1154, m ∠ A 48,1221°
26
26
m ∠ B 42°, car tan B ⫽ , m ∠ B tan⫺1 0,8966, m ∠ B 41,8779°
29
m ∠ G 36°, car cos G ⫽ 17 , m ∠ G cos⫺1 0,8095, m ∠ G 35,9506°
21
17
m ∠ H 54°, car sin H ⫽ , m ∠ H sin⫺1 0,8095, m ∠ H 54,0494°
21
2 ,29
m ∠ D 45°, car sin D ⫽ 3 ,23 , m ∠ D sin⫺1 0,7090, m ∠ D 45,1518°
2,29
m ∠ F 45°, car cos F ⫽ 3,23 , m ∠ F cos⫺1 0,7090, m ∠ F 44,8482°
1,25
m ∠ J 10°, car sin J ⫽ 7 ,22 , m ∠ J sin⫺1 0,1731, m ∠ J 9,9697°
1, 25
m ∠ L 80°, car cos L ⫽ 7, 22 , m ∠ L cos⫺1 0,1731, m ∠ L 80,0301°
11. a) sin 27° 0,4540
c) cos 75° 0,2588
b) sin 78° 0,9781
e) cos 102° ⫺0,2079
d) sin 102° 0,9781
CORRIGÉ, p. 146
12. a) tan θ ⫽ 5 0,577
c) tan θ ⫽ 5 2,142
b) tan θ ⫽ 5 1
d) tan θ ⫽ 5 5,661
13. a) m ∠ B 32°, m ∠ C 130°, m AB 34,7 cm et m BC 14 cm
24 sin 18° 3 34 , 7
Aire du triangle:
128,67 cm2
2
b) m ∠ A 20°, m ∠ B 70°, m ∠ C ⫽ 90°, m AB 10,6 cm et m BC 3,6 cm
10 3 3 ,6
Aire du triangle:
18 cm2
2
4
Module 7 • Géométrie
14. a) 0,125
b) 0,5
c) 0,5
15. a) 60°
b) 30°
c) A
d) 90° – A
16. a) 0,25
b) 0,75
c) 0,4830
d) 1,5
e) 0,3572
17. a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 0°
e) 90°
CORRIGÉ, p. 147
(
)(
18. a) 45°
19. a) 0
1 3
20. P1 22 , 2 P2
21. a), d), h) et i)
b) 60°
b)
2
)(
2 , 2 P 3 , 21
2 2 3 2
2
)
c) 30°
d) 30°
c)
d)
e) 1
b), e), f) et j)
c), g), k) et l)
CORRIGÉ, p. 148
Consolidation
1. La mesure de l’angle d’élévation est d’environ 2°.
En effet, la distance horizontale entre Éléonor et le ballon est de 1200 mètres, et la distance verticale entre Éléonor
et le ballon est de 42 mètres, soit 32 m ⫹ 11,4 m ⫺ 1,4 m.
Donc,
sin u 5
mesure du côté opposé à l’angle
5 42 5 0, 035
mesure du côté adjacent à l’angle
1200
θ ⫽ 2,006
2. a) Au rapport tangente.
b) La dénivellation sera d’environ 16 m, soit 0,08 ⫻ 200 m.
3. La longueur de la surface de la rampe est d’environ 287,94 cm ou 2,88 m.
Soit x, la longueur de la surface de la rampe.
sin 10° 5 50 , x 5 50 ø 287, 94
x
sin 10°
4. Émilie est à environ 15,72 m du poteau.
Soit x, la distance qui la sépare du poteau.
8,5 2 1,5
sin 24° 5
, x 5 7 ø 15, 72
x
sin 24°
CORRIGÉ, p. 149
5. a) Le poteau mesure environ 8,18 m.
En effet, la hauteur du poteau est x ⫹ 1,25, où x ⫽ 12 ⫻ tan 30° 6,93.
Hauteur du poteau 6,93 m ⫹ 1,25 m 8,18 m.
b) L’angle entre l’échelle et le sol est d’environ 65,5°.
Démarche:
L’échelle est appuyée au tiers du poteau mesurant 8,18 m, soit à 2,73 m.
mesure du côté opposé à l’angle
2, 73
5
5 0,91
3
mesure de l’hhypoténuse
La mesure de l’angle est sin⫺1 0,91 ⫽ 65,5°.
6. a) La longueur de la corde est d’environ 3,3 m. En effet, la corde est fixée à l’arbre à 2,7 m du sol, soit 3 3 3, 36.
4
2, 7
ø 3 ,2961 m.
Donc, la longueur de la corde
sin 55°
2, 7
b) La corde est à environ 1,9 m du pied de l’arbre. En effet, si x est la longueur recherchée, tan 55° 5
x
2, 7
x 5
ø 1,8974.
tan 55°
Module 7 • Les rapports trigonométriques
5
CORRIGÉ, p. 149 (suite)
7. La fenêtre est à 11,27 m de hauteur.
Soit h, la hauteur de la fenêtre à partir des yeux de Camille et x, la distance entre Camille et le mur.
1)
h ⫽ x tan 70°
2)
h ⫽ (x ⫹ 8) tan 40°
En comparant les équations 1) et 2), on obtient
x tan 70° ⫽ (x ⫹ 8) tan 40°
x tan 70° ⫽ x tan 40° 8 tan 40°
x tan 70° ⫺ x tan 40° ⫽ 8 tan 40°
x(tan 70° ⫺ tan 40°) ⫽ 8 tan 40°
8 tan 40°
ø 3 ,52
x 5
(tan 70° 2 tan 40°)
En remplaçant cette valeur dans l’équation 1), on obtient
h 3,52 tan 70° 9,67.
La hauteur de la fenêtre est 9,67 m ⫹ 1,6 m, soit environ 11,27 m.
8. La longueur exacte de la ligne rouge est de 20 cm. Soit h1, l’hypoténuse du premier triangle et h2, la mesure de
3
l’hypoténuse du deuxième triangle (ligne rouge).
h1 5 5
cos 30˚
5 5
3
2
10
5
3
h1
h2 5
cos 30°
5 10 3 2
3
3
20
5
3
Donc, la mesure de la ligne rouge est de 20 cm.
3
9. Charles est à 1,32 m du sol. En effet, si h est la hauteur recherchée,
sin 26° ⫽ x
3
x ⫽ 3 sin 26° 1,3151 m.
CORRIGÉ, p. 150
10. L’angle A mesure environ 25°.
Démarche:
On cherche d’abord la mesure de l’angle B ci-contre:
21, 5
cos B ⫽
28
⫺1 21, 5
B ⫽ cos
28
B
B 40°
Compte tenu que B ⫹ 2 ⫻ A ⫽ 90°, alors A ⫽ (90° ⫺ B) ⫼ 2.
Ainsi, A (90° ⫺ 40°) ⫼ 2 ou 25°.
11. a.
1)
L’aire du triangle BEF est 21,65 unités carrées.
En effet, BE ⫽ 5 ⫻ tan 60° 8,6603 unités.
8 ,663 3 5
Aire du triangle BEF 21,6506 unités carrées.
2
2)
L’aire du triangle BDF est 53,12 unités carrées.
8 ,6603
En effet, DE ⫽
7,2669 unités.
tan 60°
(7, 2669 1 5 3 8 ,6603)
Aire du triangle BDF 53,1175 unités carrées.
2
b) Oui, la surface du triangle BDF occupe la moitié de la surface du rectangle ACDF. En effet, la base et la hauteur
du triangle BDF correspondent à la base et la hauteur du rectangle ACDF.
6
Module 7 • Géométrie
CORRIGÉ, p. 150 (suite)
12. a)
B
60°
1,05 m
2,1 m
30°
C
A
b) L’angle formé par la planche et le sol est de 30°.
1,05
⫽ 0,5
En effet, sin θ ⫽
21
⫺1
θ ⫽ sin 0,5 ⫽ 30°
c)
1)
E
1,05 m
70°
20°
F
2)
D
La longueur de la planche est d’environ 3,07 m,
1, 05
1, 05
car
3,07 m.
sin 20°
0, 03420
CORRIGÉ, p. 151
13. La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est de 239 978 km.
Soit d, la distance recherchée.
d
tan (90 ⫺ 0,758) ⫽ 6380 / 2
tan 89,242 ⫽
75,584 ⫽
d
3190
d
3190
d ⫽ 241 113
14. a) La longueur du câble est d’environ 2,69 m. En effet, la diagonale du rectangle au fond de la boîte
mesure 5 22 1 12 5 5 ø 2, 24 m.
La diagonale recherchée mesure donc 1, 52 1 2, 24 2 ø 2 ,69 m.
b) m ∠ A 68,18°, soit cos⫺1 1
2, 69
m ∠ B 41,97°, soit cos⫺1 2
2,69
m ∠ C 56,11°, soit cos⫺1 1, 5
2,69
15. Les angles aigus mesurent 11,42° et 78,58°.
En effet, le schéma ci-dessous montre la feuille dépliée. On peut voir que, si x représente la longueur de l’hypoténuse
du triangle rectangle, alors les cathètes sont 1 et 10 ⫺ x.
Selon la relation de Pythagore,
x2 ⫽ 12 ⫹ (10 ⫺ x)2.
1 cm
Donc,
x2 ⫽ 1 ⫹ 100 ⫺ 20x ⫹ x2
0 ⫽ 101 ⫺ 20x
x
x ⫽ 101 ⫽ 5,05
20
Ainsi, l’hypoténuse mesure 5,05 cm et le côté vertical
du triangle mesure 4,95 cm (10 cm ⫺ 5,05 cm).
Soit θ1, l’angle entre l’hypoténuse et le côté vertical du triangle.
sin θ1 ⫽ 1 ⫽ 0,198
5,05
10 cm
10 − x
x
θ1 ⫽ sin⫺1 0,198 ⫽ 11,42°
Soit θ2, l’angle entre l’hypoténuse et le côté horizontal du triangle.
θ2 ⫽ 90 ⫺ θ1
⫽ 90 ⫺ 11,42
⫽ 78,58°
Module 7 • Les rapports trigonométriques
7
CORRIGÉ, p. 152
16. a) La longueur de l’hypoténuse du plus grand triangle rectangle est d’environ 6,84 cm.
En effet, on peut trouver la mesure h1 de l’hypoténuse du plus petit triangle :
h1 5 3 5 3,213 cm.
cos 21°
On peut ensuite trouver la mesure h2 de l’hypoténuse du deuxième triangle :
h1
h2 5
cos 21°
3, 312
5
5 3,442 cm.
cos 21°
On remarque qu’avec chaque triangle, on doit, pour trouver la mesure de l’hypoténuse, multiplier la mesure
del’hypoténuse du triangle précédent par 1 .
cos 21°
On peut donc établir la formule suivante pour trouver la mesure des autres hypoténuses :
n
hn 5 3 1
cos 21°
Le plus grand triangle est le 12e triangle de la suite. Ainsi :
( )
(cos121°)
y 5 3( 1 )
cos 21°
12
h12 5 3
5 6 ,84
n
b)
17. La longueur de la courroie entourant la poulie est d’environ 228,105 cm. Les parties de la courroie, en partant du plus
grand cercle et en suivant le sens horaire, font 63,489 cm, 51,388 cm, 33,427 cm, 37,477 cm, 8,190 cm et 34,134 cm.
Compte tenu que le rayon du grand cercle est de 22,1, on peut calculer les longueurs des parties droites de la courroie
en procédant dans l’ordre indiqué par les numéros en rouge sur la figure.
1 ⫽ 52 ⫻ sin 8,8° ⫽ 7,955 cm
2 ⫽ 37 ⫻ sin 22,7° ⫽ 14,279 cm
3 ⫽ 22,1 ⫺ 2 ⫽ 7,821 cm
4 ⫽ 22,1 ⫺ 1 ⫽ 14,145 cm
5 ⫽ 4 ⫺ 3 ⫽ 6,324 cm
6 ⫽
382 2 5 2 ⫽37,477 cm
7 ⫽
372 2 2 2 (ou 37 ⫻ cos 22,7°) ⫽ 34,134 cm
8 ⫽
522 2 15 2 (ou 52 ⫻ cos 8,8°) ⫽ 51,39 cm
On obtient les longueurs des parties courbes de la courroie à l’aide des angles et des rayons des cercles,
avec le rapport angle/360 de chaque circonférence.
9 ⫽ 60 ⫽ 8,190 cm
360
164,6
10 ⫽
⫽ 63,489 cm
360
10
11 ⫽ 135 , 4 ⫽ 33,427 cm
360
164,6°
22,1 cm
3
7
9
60°
7
2
4
1
37 cm
22,7°
52 cm
3
8
8
3
38 cm
8,8°
6
4
6
5
3
8
Module 7 • Géométrie
135,4°
11
CORRIGÉ, p. 153
Défi
16. a) Étape 1 : cos(∠EOP) ⫽ cos(∠TOQ) ⫽ OT
OQ
cos(∠EOM) ⫽ cos(∠TOM) ⫽ OT
OM
OT 5 OQ 3 OT
OM
OM OQ
Étape 2 :
Étape 3 :
cos(∠EOM) ⫽ cos(∠POM) ⫻ cos(∠EOP)
⫽ 0,791 223 533 0 ⫻ 0,562 804 927 7
⫽ 0,445 304 503 3.
Puis, en utilisant la calculatrice, on détermine que l’angle EOM vaut approximativement 63,56 degrés.
∠EOM ⫽ cos⫺1 (0,445 304 503 3)
⫽ 63,56°
Puisque la circonférence complète correspond à 360 degrés, l’angle EOM correspond à la fraction
63, 56 de la circonférence de la Terre. La longueur de l’arc EM vaut donc  63 ,56 3 (2π 3 6380) ,
 360 
360
soit environ 7077,5 km.
b) cos(∠ EOM) ⫽ cos(∠ POM) ⫻ cos(∠ EOP)
⫽ 0,700 909 264 299 ⫻ 0,282 676 303 383 1
⫽ 0,198 130 44
Puis, en utilisant la calculatrice, on détermine que l’angle EOM vaut approximativement 78,57 degrés.
∠EOM ⫽ cos⫺1 (0,198 130 44)
⫽ 78,57°
Puisque la circonférence complète correspond à 360 degrés, l’angle EOM correspond à la fraction
78,57 de la circonférence de la Terre. La longueur de l’arc EM vaut donc  78, 57 3 (2π 3 6380) ,
 360 
360
soit environ 8748,93 km.
CORRIGÉ, p. 154
Autoévaluation
1. a) m ∠ D ⫽ 63° et m ∠ F ⫽ 60°
b) m ∠ A ⫽ 30° et m ∠ C ⫽ 27°
c) m ∠ G ⫽ 20° et m ∠ I ⫽ 70°
2. a) Chaque corde est fixée à 2 m de la base de l’antenne.
En effet, sin 30° ⫽ mBC
4
mBC ⫽ 4 ⫻ sin 30°
⫽2
b) mAC 3,4641 m, car
c)
1)
2)
42 2 22 3,4641 m.
3 , 4641
cos 30° 0,8660, soit
4
tan 30° 0,5774, soit 2
3 , 4641
3. La hauteur de l’arbre est d’environ 15,0 m, soit 10,5 ⫻ tan 55° 14,9956 m.
4. La mesure de l’angle de dépression est d’environ 68,75°,
 1, 8 
car tan⫺1   68,7495°.
0, 7
Module 7 • Les rapports trigonométriques
9
CORRIGÉ, p. 155
5. Le merle est à environ 6,3 m du sol.
Soit x, la hauteur du merle par rapport aux yeux de Jonathan. Cette distance est identique à celle entre l’arbre et le
deuxième point d’observation, car l’angle d’élévation est de 45°. Alors,
x
tan 30° ⫽ x 1 3 ,9
Merle
x ⫽ (x3,9) tan 30°
x ⫽ x tan 30° ⫹ 3,9 tan 30°
x ⫹ x tan 30° ⫽ 3,9 tan 30°
x
x(1tan 30°) ⫽ 3,9 tan 30°
3,9 tan 30°
ø 5,33 m.
x 5
(1 2 tan 30°)
45°
x
30°
3,9 m
Yeux de Jonathan
1,6 m
Donc, la hauteur du merle est
d’environ 5,33 m ⫹ 1,6 m 6,93 m.
sol
6. L’aire du carré est de 18 cm2.
En effet, la moitié du côté du carré mesure 3 sin 45° 2,1213.
La mesure du côté du carré est de 2 ⫻ 2,1213 4,2426 cm.
Donc, l’aire du carré est de (4,2426)2 17,9997 cm2.
7. L’angle formé par les chaînes et l’horizontale mesure environ 32,23°.
En effet, la poutre de métal est à 3,6 m du sol. Lorsque la planche est à 2 m du sol, la distance verticale entre
la poutre et la planche est de 1,6 m. Donc, la mesure de l’angle formé par la chaîne et l’horizontale est
 1, 6
sin⫺1  3  32,23°.
8. a) La distance entre Samuel et Jacob est d’environ 6,92 m. Comme le triangle
initial n’est pas rectangle, il faut tracer la hauteur h issue de la position de
Jacob
Zachary. Cette hauteur h mesure 4 sin 48°2,97 m. La distance entre Samuel
et la hauteur est de 4 cos 48° 2,68 m.
2,97
4,24 m.
tan 35°
La distance entre Samuel et Jacob est d’environ 2,68 m ⫹ 4,24 m 6,92 m.
La distance entre Jacob et la hauteur est d’environ
35°
b) La distance entre Zachary et Jacob est d’environ 5,18 m,
2,97
car
5,18 m.
sin 35°
h
48°
Samuel
10
Module 7 • Géométrie
Zachary