peuille d9exer™i™e n¦Q Équ—tions différentielles

IMERIR
Bases de mathématiques
Année 2012/2013
Promotion Maisonnier
Feuille d'exercice n3
Équations diérentielles
Exercice 1 On considère l'équation diérentielle suivante :
y 00 + 2y 0 + y = 2e−x
(E )
1. Déterminer le réel λ tel que la fonction y0 dénie sur R par y0 (x) = λx2 e−x soit solution de
l'équation (E ).
2. Démontrer que y , fonction numérique deux fois dérivable sur R, est solution sur R de (E ) si
et seulement si la fonction z dénie par z = y − y0 est solution de l'équation diérentielle (E1 )
suivante : u00 + 2u0 + u = 0.
3. Soit la fonction t = u0 + u. Montrer que t0 + t = 0.
4. Résoudre l'équation diérentielle (E1 ).
5. En déduire l'ensemble des solutions de (E ).
6. Déterminer la solution f de (E ) dont la courbe représentative dans un repère orthonormé (O,~ı, ~ )
passe par le point de coordonnées (−1, 0) et admet en ce point une tangente de vecteur directeur ~ı.
Exercice 2 Soit l'équation diérentielle suivante :
y 0 + 2y = 4e1−2x
(E )
1. Démontrer que la fonction f dénie sur R par f (x) = 4xe1−2x est une solution particulière de
(E ).
2. Résoudre l'équation diérentielle y 0 + 2y = 0 (E0 ).
3. Démontrer qu'une fonction g dénie sur R est solution de (E ) si et seulement si g − f est solution
de (E0 ).
4. En déduire toutes les solutions g de l'équation (E ).
5. Déterminer la fonction g0 , solution de (E ), qui prend la valeur −2e en 0.
Exercice 3 On considère l'équation 2diérentielle (E) suivante : y00 − 2y0 + y = x2.
1. Montrer que la fonction f (x) = x + 4x + 6 est solution de (E).
2. Montrer que f est l'unique fonction polynomiale de degré 2 solution de (E).
3. Montrer que g(x) = (2x − 5)ex + x2 + 4x + 6 est solution de (E).
Exercice 4 Résoudre les équations diérentielles suivantes :
• f 0 + 2f = 0 avec f (1) = 3
• 3f 0 − 2f = 0 avec f (3) = −1
• 2f 0 = f avec 2f (−1) = 3
• f − 2f 0 = 0 avec f (0) = 3
1
Exercice 5 L'intensité i du courant électrique (exprimée en ampères ) est fonction du temps t
(exprimé en secondes ) et vérie l'équation diérentielle (Eq) suivante :
Li0 (t) + Ri(t) = E
L étant l'inductance de la bobine (exprimée en henrys ), R la valeur de la résistance (exprimée en
ohm ) et E la force électromotrice du générateur (exprimée en volts ).
Résistance
−
+
Générateur
Bobine
1. Étant donné L = 0, 2H , R = 100Ω et E = 10V , résoudre l'équation diérentielle (Eq) tout en
sachant qu'à l'instant t = 0, l'intensité est nulle.
2. Quelle est la limite de i(t) quand t tend vers +∞.
2