Espaces vectoriels 1 2 3 4 5 6 7

Spéciales MPFeuille d’exercices n◦810/2004
Espaces vectoriels
1Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, uet vdeux endomorphismes de E. Montrer que :
|rg u−rg v|rg (u+v)rg u+ rg v(CCP)
2Soient pet qdeux projecteurs d’un K-espace vectoriel (Kest Rou C).
1) Soit r=p+q.
a) Montrer que rest un projecteur si et seulement si q◦p=p◦q= 0.
b) On suppose que rest un projecteur. Déterminer Ker ret Im r.
2) On suppose que Im p⊂Ker q. Soit r=p+q−p◦q.
a) Montrer que rest un projecteur.
b) Déterminer Ker ret Im r. (C)
3Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, pet qdeux projecteurs qui commutent. Montrer que
pq est un projecteur, que Im pq = Im p∩Im qet que Ker pq = Ker p+ Ker q. (X)
4Soit Eun espace vectoriel, uun endomorphisme de Evérifiant un=I, V un sous-espace de Estable
par u, p un projecteur de Ed’image Vet :
q=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k
1) Montrer que q◦u=u◦qet q◦p=p.
2) Montrer que qest un projecteur d’image V.
3) En déduire que Ker qest un supplémentaire de Vstable par u. (M)
5On note Enl’ensemble des polynômes de Rn[X]s’annulant en 0, et l’on pose, pour P∈En, u (P) =
X(P(X)−P(X−1)) .
1) Montrer que uest un endomorphisme de En.Noyau ? Image ?
2) Soit Q∈R[X].A quelle condition existe-t-il un polynôme Ptel que Q=X(P(X)−P(X−1)) ?
(d’après M)
6Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net u, v dans L(E)tels que u+v= IEet rg u+ rg vn.
Montrer que uet vsont des projecteurs. (M)
7Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L (E)de rang 1.
1) Soit g∈ L (E)de rang 1. Montrer que :
rg (f+g)1⇔Im f= Im gou Ker f= Ker g
2) Donner les sous-espaces vectoriels Vde L(E)maximaux pour l’inclusion tels que :
f∈Vet ∀g∈V, rg g1.(C)
1

8Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Soit u∈ L (E).Montrer :
u∈Vect uk, k 2⇔E= Ker uIm u. (M)
indication :Montrer d’abord que E= Ker uIm uéquivaut à Ker u2= Ker u, puis pour ⇐,
considérer une relation de la forme p
i=0 λiui= 0 avec λp= 0 et pminimal.
9Soit Kun corps fini de cardinal qet Eun K-espace vectoriel de dimension n1.
1) Déterminer le cardinal de Eet le nombre de droites vectorielles.
2) Soit p∈[[1, n]].Déterminer le nombre de systèmes libres à péléments. En déduire le nombre de
sous-espaces de dimension p.
3) Nombre d’endomorphismes ? d’automorphismes ? (CCP)
10 Soit Kun Q-sous-espace vectoriel de dimension finie de R,stable par produit, non réduit à {0}.
1) Montrer que Kest un sous-corps de R.
2) Montrer que, pour tout x∈K\Q,il existe c > 0et n2tels que :
∀r=p
q∈Q,|x−r|c qn.
indication :Montrer l’existence de P∈Z[X], P = 0,tel que P(x) = 0.Puis, raisonner sur
P(x)−P(r)avec les accroissements finis.
3) Montrer que
+∞
n=0
1
2n!est transcendant. (X)
11 On note Pnl’espace vectoriel réel des polynômes réels de degré au plus n. On pose pour tout polynôme
réel P:I(P) = +∞
0
P(t) e−tdt.
1) On se donne deux réels distincts αet β. Montrer qu’il existe un et un seul (λ, µ)∈R2tel que :
∀P∈ P1, I (P) = λP (α) + µP (β)
2) Montrer qu’il existe un et un seul (λ, µ, α, β)∈R4tel que :
∀P∈ P3, I (P) = λP (α) + µP (β).
3) Avec le quadruplet défini en b), que dire de l’ensemble des P∈ Pntels que I(P) = λP (α) +
µP (β) ? (C)
12 Soient E=R2n−1[X]et (ai)1indes réels deux à deux distincts. On définit les formes linéaires uiet
vipar :
∀i∈ {1, . . . , n},∀P∈E, ui(P) = P(ai) et vi(P) = P(ai).
1) Montrer que B∗= (u1, . . . , un, v1, . . . , vn)est une base de E∗.
2) Notant T=n
i=1 (X−ai)et Ti=j=i(X−aj)pour 1in, expliciter la base Bde E
préduale de B∗.(C)
indication :on la notera (P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qn),et on exprimera Pi, Qià l’aide de pi=
j=i(ai−aj)et si=j=i
1
ai−aj
.
2

1Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, uet vdeux endomorphismes de E. Montrer
que |rg u - rg v|rg u+rg v.
On a Im (u+v)⊂Im u+ Im v, donc en passant aux dimensions, on obtient
rg (u+v)dim (Im u+ Im v)dim (Im u) + dim (Im v) = rg u+ rg v.
A fortiori, rg u= rg (u+v+ (−v)) rg (u+v) + rg (−v) = rg (u+v) + rg v, soit rg u−rg v
rg (u+v).Par symétrie, on a aussi rg v−rg urg (u+v),donc
|rg u−rg v|rg (u+v)rg u+ rg v.
2Soient pet qdeux projecteurs d’un K-espace vectoriel (Kest Rou C).
1) Étude de r=p+q
a) CNS pour que rsoit un projecteur : On a
r2= (p+q)◦(p+q) = p2+q2+p◦q+q◦p=p+q+p◦q+q◦p
donc r2=r⇔p◦q+q◦p= 0.Si on compose à droite par p, et indépendamment à gauche par
p, on obtient : p◦q◦p+q◦p=p◦q+p◦q◦p, donc p◦q=q◦p. En reportant dans la relation
initiale, on obtient 2p◦q= 0,donc p◦q= 0 = q◦p. Réciproquement, si p◦q=q◦p= 0,on a
p◦q+q◦p= 0,donc rest un projecteur.
b) Détermination de Ker ret Im rlorsque rest un projecteur
On remarque d’abord que r◦p=p◦r=p, r ◦q=q◦r=q.
•Noyau : On a Ker r⊂Ker (p◦r) = Ker pet de même Ker r⊂Ker q, donc Ker r⊂Ker p∩Ker q.
L’inclusion inverse étant évidente, on en déduit que Ker r= Ker p∩Ker q.
•Image : On a de façon évidente Im r⊂Im p+ Im q. Inversement, Im p= Im (r◦p)⊂Im ret
de même Im q⊂Im r, donc Im rétant stable par addition, Im p+ Im q⊂Im r, et finalement
Im r= Im p+ Im q. Enfin, comme Im p∩Im q⊂Ker q∩Im q={0},la somme est directe.
2) Étude de r=p+q−p◦qquand Im p⊂Ker q
•rest un projecteur : Si on pose q=q−p◦q, on a (q)2=q2+p◦q◦p◦q−q◦p◦q−p◦q2=q,
donc qest un projecteur. De plus, p◦q=q◦p= 0,donc par la question 1, r=p+qest un
projecteur.
•Noyau, image de r
—Image :On a Im r⊂Im (p−p◦q) + Im q⊂Im p+ Im q. La somme est directe comme à 1 car
Im p∩Im q⊂Ker q∩Im q={0}.Puis, comme on a de nouveau r◦p=pet r◦q=q, on
montre comme à 1 que Im p+ Im q⊂Im r, d’où : Im r= Im pIm q.
—Noyau :p(x) = q(x) = 0 ⇒r(x) = 0,donc Ker p∩Ker q⊂Ker r. L’inclusion inverse se montre
comme à 1 en utilisant les égalités p◦r=pet q◦r=q, d’où à nouveau Ker r= Ker p∩Ker q.
3Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, pet qdeux projecteurs qui commutent.
Montrer que pq est un projecteur, que Im pq = Im p∩Im qet que Ker pq = Ker p+ Ker q.
•pq est un projecteur : En effet, (pq)2= (pq) (pq) = p(qp)q=p(pq)q=p2q2=pq.
•Image de pq : Im pq ⊂Im pet Im pq = Im qp ⊂Im q, donc Im pq ⊂Im p∩Im q. Inversement, si
x∈Im p∩Im q, on a p(x) = q(x) = x, donc (pq) (x) = p(x) = x, ce qui implique x∈Im pq. Il
s’ensuit que Im p∩Im q⊂Im pq, donc finalement Im pq = Im p∩Im q.
1

•Noyau de pq :On a d’abord Ker p⊂Ker qp = Ker pq et de même Ker q⊂Ker pq, donc Ker p+
Ker q⊂Ker pq. Inversement, si (pq) (x) = 0,on a x=a+bavec a=q(x)∈Ker pet b=x−q(x)∈
Ker q, donc Ker pq ⊂Ker p+Ker q. En conclusion, Ker pq = Ker p+Ker q. Par contre, ici la somme
n’est pas forcément directe (prendre par exemple p=q).
4Soit Eun espace vectoriel, uun endomorphisme de Evérifiant un=I, V un sous-espace
de Estable par u, p un projecteur de Ed’image Vet :
q=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k
1) q◦u=u◦qet q◦p=p:On a u0◦p◦un=p=un◦p◦un−n,donc dans la définition de q, on
peut remplacer [[1, n]] par [[0, n −1]].On en déduit que :
q◦u=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k◦u=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k+1
=u◦1
n
n
k=1
uk−1◦p◦un−(k−1)=u◦1
n
n−1
k=0
uk◦p◦un−k=u◦q
Puis, si x∈E, p (x)∈V, donc un−k(p(x)) ∈Vet p◦un−k(p(x)) = un−k(p(x)) ,soit p◦un−k◦p=
un−k◦p, donc :
q◦p=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k◦p=1
n
n
k=1
uk◦un−k◦p=p
2) qest un projecteur d’image V:Si k∈[[1, n]], q et ukcommutent donc :
q◦uk◦p◦un−k=uk◦q◦p◦un−k=uk◦p◦un−k
donc :
q2=1
n
n
k=1
q◦uk◦p◦un−k=1
n
n
k=1
uk◦p◦un−k=q
ce qui établit que qest un projecteur. Puis, l’égalité q◦p=pimplique V= Im p= Im (q◦p)⊂Im q.
Pour l’inclusion inverse, on remarque que pour tout k∈[[1, n]],Im uk◦p◦un−k⊂Im uk◦p=
uk(Im p) = uk(V)⊂V, donc Im q⊂V. Finalement, Im q=V.
3) Ker qest un supplémentaire de Vstable par u:Si W= Ker q, on a E=VWcar qest un
projecteur. Puis, si x∈W, on a q(u(x)) = (q◦u) (x) = (u◦q) (x) = u(0) = 0,donc West stable
par u.
5On note Enl’ensemble des polynômes de Rn[X]s’annulant en 0, et l’on pose, pour P∈En,
u(P) = X(P(X)−P(X−1)) .
On va légèrement changer l’énoncé. On va noter Ele sous-espace de R[X]constitué des polynômes
qui s’annulent en 0, ul’application de Edans Edéfinie par u(P) = X(P(X)−P(X−1)) et un
l’application ude l’énoncé.
1) Étude de u
•uest bien définie et linéaire : C’est immédiat.
2

•Enest stable par u:En effet, si k∈[[1, n]],on a uXk=XXk−(X−1)kde degré kn,
donc comme En= Vect X, X2, . . . , Xn,on a u(En) = Vect (u(X), . . . , u (Xn)) ⊂En.Ceci
permet de définir uncomme endomorphisme de En.
•Noyau de uet un:Soit P∈Ker u. On a P(X) = P(X−1) ,donc P(x) = P(x−1) pour tout
x∈R.Comme P(0) = 0,on en déduit que P(n) = 0 pour tout n∈N,donc P= 0 (infinité de
racines). Ce qui montre que Ker u={0},donc uest injectif. A fortiori, unest injectif
•Image de un:unest un endomorphisme injectif en dimension finie, donc bijectif : on a donc
Im un=En.
2) Étude d’une équation : Soit Q∈R[X].S’il existe P∈R[X]tel que Q=X(P(X)−P(X−1)) ,
alors Q(0) = 0.Inversement, si Q(0) = 0,il existe n∈Ntel que Q∈En(on prend n= d◦Qsi
Q= 0 et n= 0 sinon). D’après le 1, il existe P∈Entel que u(P) = Q, donc la condition cherchée
est que Q(0) = 0.
Remarque : On peut alors montrer l’unicité de Psi on impose P(0) = 0,car on montre facilement
que uest une bijection de Edans E. En effet, c’est injectif et Im u=∪n∈NIm un=∪n∈NEn=E,
donc c’est surjectif !
6Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net u, v dans L(E)tels que u+v=IEet
rg u+ rg vn. Montrer que uet vsont des projecteurs.
On a n= rg IE= dim Im (u+v) = rg u+rg v−dim (Im u∩Im v)rg u+rg vn, donc Im u∩Im v=
{0}et dim (Im u) + dim (Im v) = n, ce qui implique que E= Im uIm v. De plus, par unicité, la
décomposition x=a+bselon cette somme directe est donnée par a=u(x)et b=v(x),donc en
écrivant u(x) = aet v(x) = b, on voit que uest le projecteur sur Im uparallèlement à Im vet vle
projecteur complémentaire.
7Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E)de rang 1.
1) Caractérisation de rg (f+g)1 : On a d’abord besoin d’un lemme :
Lemme :Si f∈ L(E),on a rg f1ssi il existe e∈Eet ϕ∈E∗tels que f(x) = ϕ(x)epour
tout x∈E.
La condition est clairement suffisante car alors Im f⊂Ke. Inversement, soit ftel que rg f1.Si
f= 0,on prend (e, ϕ)avec e= 0 ou ϕ= 0.Si rg f= 1,on prend e= 0 tel que Im f=Ke. Si
x∈E, on définit ϕ(x)par f(x) = ϕ(x)e, et la linéarité de fimplique celle de ϕ, d’où le résultat
obtenu. Montrons ensuite l’équivalence désirée :
• ⇐ : Si Im f= Im g, on a Im (f+g)⊂Im f+ Im g= Im f, donc rg (f+g)dim (Im f) =
rg f= 1.Si Ker f= Ker g, on écrit f, g sous la forme f(x) = ϕ(x)eet g(x) = ψ(x)e
avec ϕ, ψ formes linéaires non nulles et e, evecteurs non nuls. L’hypothèse Ker f= Ker gse
traduit par Ker ϕ= Ker ψ, donc (cf. cours), il existe λ∈K∗tel que ψ=λϕ. On a alors
(f+g) (x) = ϕ(x)e avec e =e+λe,donc par le lemme, rg (f+g)1.
Remarque : Si Eest de dimension finie, on a une méthode plus rapide en remarquant que
Ker f= Ker g⇒Ker f⊂Ker (f+g)et en appliquant la formule de Grassmann.
• ⇒ : Soit gde rang 1 tel que Im f= Im g. Soit e, e∈Eet ϕ, ϕ∈E∗tels que f(x) = ϕ(x)e
et g(x) = ϕ(x)epour tout x∈E. L’hypothèse Im f= Im gimplique que le système (e, e)
est libre. Si x∈E, (f+g) (x) = ϕ(x)e+ϕ(x)e∈Π = Vect (e, e)et comme rg (f+g) = 1,
le couple (ϕ(x), ϕ(x)) ne peut prendre toute valeur de K2(sinon Im (f+g)serait le plan Π),
donc l’application linéaire x→ (ϕ(x), ϕ(x)) n’est pas surjective. A fortiori, son image est
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